2024湛江高一上学期期末考试数学含解析

这是一份2024湛江高一上学期期末考试数学含解析，共18页。
2024年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，有”的否定为（ ）
A. ，使B. ，使
C ，有D. ，有
2. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 的值为（ ）
A 0B. C. D.
4. 已知函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
6. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
7. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在R上定义新运算，若存在实数，使得成立，则m的最小值为（ ）
A. B. C. 0D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列函数在上单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______________．
14. 已知，满足，则______________．
15. 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则 ________．
16. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则取值范围是______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）若的终边经过点，求的值；
（2）若，且，求的值．
18. 已知幂函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）若，求实数a的取值范围．
19. 已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
（1）当时，求与；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
20. 随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤司料.当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.
（1）写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式；
（2）求年利润的最大值.
21. 已知函数．
（1）求的最小值及相应x的取值；
（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．
22 已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试
高一数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟）
2024年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，有”的否定为（ ）
A. ，使B. ，使
C. ，有D. ，有
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题否定特称命题即可.
【详解】根据将全称命题否定为特称命题即可.可得“，有”的否定为“，使”，
故选：A．
2. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.
【详解】易知，故图中阴影部分表示的集合为，共4个元素，
故选：B．
3. 的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】.
故选：D．
4. 已知函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用，得到，结合题意，即可求解.
【详解】由函数的图象知，，则，
因为，且处在函数的递减区间，所以，
又因为，所以.
故选：D．
5. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】由于均为定义域（0,+∞）内的单调递增函数，
所以函数在上单调递增，至多只有一个零点，
且，，故，
所以该函数的零点所在的区间是.
故选：C．
6. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得40-00密位的圆心角的弧度为 ，进而根据扇形的弧长公式即可求解.
【详解】40-00密位的圆心角的弧度为，设该扇形的半径为r，由，
解得，
故选：B．
7. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，故C错误；
又因为，
故函数的图象关于对称，故B错误；
当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误.
故选：A.
8. 在R上定义新运算，若存在实数，使得成立，则m的最小值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，转化为，令函数，，结合函数的奇偶性和单调性，求得，即可求解.
【详解】由，可得，
因为存在实数，使得，即，
令函数，，
由，可得是奇函数，且，
当时，，所以在上单调递减，所以，
同理可得，当时，，故，即，
所以实数的最小值为.
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】依题意列举A、B中的元素，观察可得答案
【详解】依题意，
，，
观察可知A，D错误，B，C正确，
故选：BC．
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用赋值法判断C.
【详解】因为 ，所以 ，且，故，故A正确；
因为，所以，故，故B正确；
取，，，则，，故C错误；
因为 ，由，则，故D错误，
故选：AB．
11. 下列函数在上单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，由对勾函数性质得到A错误；B选项，根据对数函数性质直接得到B正确；C选项，配方后得到函数的单调性；D选项，求出，故D错误.
【详解】A选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B选项，在上单调递增，故B正确；
C选项，在上单调递增，故C正确；
D选项，因为，，故D错误.
故选：BC．
12. 已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】AB
【解析】
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域
【详解】依题意，，得，则，故所求定义域为．
故答案为：
14 已知，满足，则______________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据三角函数的对称性可得，即可代入求解.
【详解】因为，由，得，所以．
故答案为：0
15. 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】通过已知条件确定取整函数的取值法则，即，；利用对数运算法则计算，进而确定的值.
【详解】，
因为为增函数，所以，，
故．
故答案为：
16. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】画出分段函数图像，数形结合，找到三根的关系，利用图像交点求出最后结果.
【详解】作出函数的图象，
知，，
故，即的取值范围是．
故答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）若的终边经过点，求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据正切定义求出，再利用两角和的正切公式计算即可；
（2）根据同角三角函数关系求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（1）因为的终边经过点，
所以，
所以．
（2）因为，则，且，
所以，
所以
．
18. 已知幂函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）代入点到函数中即可求解解析式，进而可求解值，
（2）根据函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
依题意，，解得，故（），
则．
【小问2详解】
易知在上是增函数，
依题意，，解得，
故实数a的取值范围为．
19. 已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
（1）当时，求与；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）用集合的新定义求解即可；
（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.
【小问1详解】
，
当时，，
所以，
．
【小问2详解】
因为“”是“”的必要条件，
所以，
故，
解得，
即实数a的取值范围是．
20. 随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤司料.当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.
（1）写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式；
（2）求年利润的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可；
（2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值.
【小问1详解】
由题意，当时，；
当时，；
所以；
【小问2详解】
当时，，
当且仅当即时等号成立；
当时，；
因为，所以当时，年利润有最大值为万元.
21. 已知函数．
（1）求的最小值及相应x的取值；
（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．
【答案】（1）时，取得最小值．
（2），．
【解析】
【分析】（1）化简得到，根据正弦型函数的性质，即可求解；
（2）化简得到，结合题意，利用正弦型函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以当，即时，取得最小值．
【小问2详解】
由函数，
由，可得，
又，取时，可得；取时，可得；
所以在上的单调递增区间为，．
22. 已知函数．
（1）当时，求在上最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．
【答案】（1）最小值为；最大值8
（2）
【解析】
【分析】（1）换元后结合二次函数单调性得到最值；
（2）令，求出，转化为在区间上存在最小值，分和两种情况，结合函数单调性，得到方程，求出实数a的值.
【小问1详解】
当时，，
令，因为，所以．
所以，．
故当时，；当时，，
即当时，取得最小值；当时，取得最大值8．
【小问2详解】
，
令，则，当且仅当，即时，等号成立，
于是问题等价转化为在区间上存在最小值，
二次函数的对称轴方程为，
当，即时，在区间上单调递增，此时存在最小值，
令，解得，不符合题意，舍去；
当，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以存在最小值，
令，解得（负值舍去）．
综上得，．