2023-2024学年广东省茂名市信宜市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市信宜市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，是从上面看一个几何体得到的图形，则该几何体可能是( )
A.
B.
C.
D.
2.一元二次方程3x2+2x+1=0一次项的系数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，csA的值是( )
A. acB. bcC. abD. ba
4.两个相似三角形的相似比是1：2.则其面积之比是( )
A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：4
5.已知x=1是方程x2+x−c=0的一个根，则c的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( )
A. 40个B. 35个C. 25个D. 15个
7.菱形不具有的性质是( )
A. 对角相等B. 对边平行C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
8.如图，双曲线y=kx与直线y=2x相交于A、B两点，A点坐标为(1,2)，则B点坐标为( )
A. (−1,−2)
B. (1,2)
C. (−1,2)
D. (1,−2)
9.某商场销售一批衬衣，已知平均每天售出20件衬衣时，每件盈利40元，而且每件衬衣降价10元时，平均每天可多售出20件.如果商场平均每天要盈利1200元，那么每件衬衣应降价多少元？若设每件衬衣降价x元，则可列方程为( )
A. (40−x)(20+2x)=1200B. (40+x)(20+2x)=1200
C. (40−x)(20−2x)=1200D. (40+x)(20−2x)=1200
10.如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算tan45°=______．
12.日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．
13.如图，在△ABC中，D为边AC上的点，连接BD，添加一个条件：______，可以使得△ADB∽△ABC.(只需写出一个)
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为______．
15.根据下面的表格请你写出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个近似解：______(精确到0.1)
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
解下列方程：
(1)x(x−1)=0；
(2)x2+2x−3=0．
17.(本小题8分)
试确定图中路灯的位置，并画出此时小明在路灯下的影子．
18.(本小题8分)
某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票．
(1)甲选择A检票通道的概率是______；
(2)求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
19.(本小题8分)
如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m，求AC的长度及此斜坡的倾斜角∠A的度数．
20.(本小题8分)
某公司前年盈利200万元，若该公司今年与去年的年增长率相同，则今年可盈利242万．
(1)求这两年中平均每年增长的百分率；
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
(1)求证：AE=DE；
(2)求∠AED的度数．
22.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)、点B(−4,n)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
23.(本小题8分)
综合与实践
(1)探究发现：如图1，在4×3的网格图中，在线段AB上求一点P，使得BP=12AP；小明同学发现，先在点B的左侧取点C，使BC为1个单位长度，在点A的右侧取点D，使AD为2个单位长度，然后连接CD交AB于点P(如图1)，就可以得到点P了.请你验证小明的做法，并求出tan∠APC的值．
(2)请你在图2中求作一点P，使得BP=23AP．
24.(本小题8分)
过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP.将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ=α，连接BQ．

(1)【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α=90°.无论点P在何处，总有BQ=DP，请证明这个结论．
(2)【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB=α=60°，∠MAD=15°，连接PQ.当PQ⊥BQ，AB= 6+ 2时，求AP的长；
(3)【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8，AM平分∠DAC，α=90°.在射线AQ上截取AR，使得AR=43AP.当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据俯视图的定义，将各个选项中的几何体的俯视图的形状进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解俯视图的定义是正确判断的前提．
【解答】
解：由简单几何体的俯视图的意义，对选项中的各个几何体的俯视图的形状进行判断可得，
选项D中的几何体符合题意，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：一元二次方程3x2+2x+1=0一次项的系数是2．
故选：C．
根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式(ax2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，a≠0)是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中：csA=ACAB=bc．
故选：B．
根据锐角三角函数的概念就可以求解．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
4.【答案】D
【解析】解：因为两个相似三角形的相似比是1：2，
所以它们的面积比是1：4．
故选：D．
利用似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
5.【答案】D
【解析】解：将x=1代入原方程可得：1+1−c=0，
∴c=2，
故选：D．
将x=1代入原方程即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
6.【答案】D
【解析】解：设袋中有黄球x个，由题意得x50=0.3，
解得x=15，
故选：D．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
7.【答案】D
【解析】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项D符合题意，
故选：D．
根据菱形的性质可判断．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：双曲线y=kx的图象是关于原点对称的中心对称图形，
∴点A与点B关于原点对称，
∵A(1,2)，
∴B(−1,−2)．
故选：A．
根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，由A点坐标可直接写出B点坐标即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
9.【答案】A
【解析】解：设每件衬衣降价x元，由题意得，
(40−x)(20+2x)=1200，
故选：A．
表示出每天降价x元后售出的数量，表示出利润，得到答案；
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地列出方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，面积=12AC×BD=24，
∴AC×BD=48，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF/​/OC，EG/​/OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=12OC=14AC，EG=12OB=14BD，
∴矩形EFOG的面积=EF×EG=14AC×14BD=116×48=3；
故选：A．
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，面积=12AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF/​/OC，EG/​/OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF=12OC=14AC，EG=12OB=14BD，由矩形面积即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：tan45°=1．
根据特殊角的三角函数值计算．
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=12，cs30°= 32，tan30°= 33，ct30°= 3；
sin45°= 22，cs45°= 22，tan45°=1，ct45°=1；
sin60°= 32，cs60°=12，tan60°= 3，ct60°= 33．
12.【答案】平行
【解析】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行．
根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
本题考查的是平行投影的概念：如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法．
13.【答案】∠ABD=∠C(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件为∠ABD=∠C
∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
故答案为：∠ABD=∠C(答案不唯一)．
根据题意可得已有的条件为∠A=∠A，再添加一个角即可．
本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，
∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故答案为：4．
因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求．
本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
15.【答案】2.6
【解析】解：由表格可知，当x=2.6时，ax2+bx+c=−0.04<0，
当x=2.65时，ax2+bx+c=0.0725>0，
根据ax2+bx+c的值由负到正，
又|−0.04|<|0.0725|，
可知ax2+bx+c=0的一个近似解为2.6．
故答案为：2.6．
随着x取值的变化，ax2+bx+c的值由负到正，由表格可近似地求出ax2+bx+c=0时的近似解．
此题主要考查了抛物线的增减性，利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．
16.【答案】解：(1)x(x−1)=0，
x=0或x−1=0，
所以x1=0，x2=1；
(2)x2+2x−3=0．
(x+3)(x−1)=0，
x+3=0或x−1=0，
所以x1=−3，x2=1．
【解析】(1)先利用因式分解法把方程转化为x=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可；
(2)先利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解：如图所示：
【解析】分别过物体的顶点及其影子的顶点作射线，两条射线的交点即为光源的位置，进而画出小明的影子即可．
本题考查了中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
18.【答案】13
【解析】解：(1)∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道，
∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况．
∴P(选择A)=13．
故答案为：13；
(2)由题意列树状图得，
由上图可以看出，
甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，
其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，
∴P(甲乙两人选择的通道相同)=39=13．
(1)因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是13；
(2)利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键．
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 402−202=20 3(m)，
∴sinA=BCAB=12，
∴∠A=30°，
答：AC长20 3m，此斜坡的倾斜角为30°．
【解析】根据勾股定理得到AC=20 3m，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设这两年中平均每年增长的百分率为x，
根据题意得：200(1+x)2=242，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不符合题意，舍去)．
答：这两年中平均每年增长的百分率为10%；
(2)根据题意得：242(1+20%)=266.2(万元)．
答：预计明年可盈利266.2万元．
【解析】(1)设这两年中平均每年增长的百分率为x，利用该公司今年的盈利=该公司前年的盈利×(1+这两年中平均每年增长的百分率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)利用该公司明年的盈利=该公司今年的盈利×(1+这两年中平均每年增长的百分率)，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABC−∠EBC=∠ECB−∠ECB，
∴∠ABE=∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠ABE=∠DCEBE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴AE=DE；
(2)由(1)得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE=x°，依题意得
180−2x=360−60−2(90−x)，
x=15，
180−2×15=150，
∴∠AED为150度．
【解析】(1)由正方形的性质得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，由等边三角形的性质得BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，则∠ABE=∠DCE，即可证明△ABE≌△DCE，得AE=DE；
(2)由(1)得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE=x°，依题意得180−2x=360−60−2(90−x)，求出x，再用180−2x即可．
此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
22.【答案】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=kx，一次函数y=x+b，
得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
所以反比例函数的解析式是y=4x，一次函数解析式是y=x+3；
(2)如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
当x=−4时，y=−1，
∴B(−4,−1)，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=152；
(3)∵B(−4,−1)，A(1,4)，
∴根据图象可知：当x>1或−4【解析】(1)把A的坐标分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式求出k，b即可；
(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
(3)根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
23.【答案】解：(1)如图1中，连接BC．
∵BC/​/AD
∴∠ABC=∠BAD，∠BCD=∠CDA，
∴△CBP∽△DAP，
∴BPAP=BCAD=12，
∵△CBP∽△DAP，
∴CPPD=BCAD=12，
∴CPCD=13，
∵AC= 12+12= 2,CD= 12+12= 2,AD=2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠ACD=ACAP=CDAP=3；
(2)如图2中，点P就是所求作的点．
【解析】(1)如图1中，连接BC.根据tan∠APC=PCAC，求解；
(2)取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
24.【答案】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAP+∠BAM=90°，
∵∠PAQ=90°，
∴∠BAQ+∠BAM=90°，
∴∠DAP=∠BAQ，
∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，
∴AP=AQ，
∴△ADP≌△ABQ(SAS)，
∴BQ=DP．
(2)解：如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，

由旋转得：AP=AQ，
∵∠DAB=α=60°，
即∠DAB=∠PAQ=60°，
∴△ADP≌△ABQ(SAS)，
∴BQ=DP，∠APD=∠AQB，
∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠AQP=60°，
∵PQ⊥BQ，
∴∠BQP=90°，
∴∠AQB=∠AQP+∠BQP=60°+90°=150°，
∴∠APD=∠AQB=150°，
∴∠DPM=180°−∠APD=180°−150°=30°，
∵∠MAD=15°，
∴∠ADP=∠DPM−∠MAD=30°−15°=15°，
∴∠ADP=∠MAD，
∴AP=DP，
∴AQ=BQ=PQ=AP，
∴∠ABQ=∠BAQ=∠MAD=15°，
∴∠PAH=∠PAQ−∠BAQ=60°−15°=45°，
∵PH⊥AB，
∴∠AHP=∠BHP=90°，
∴△APH是等腰直角三角形，
∴AH=PH= 22AP，
∵BQ=PQ，∠PQB=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠PBQ=45°，
∴∠PBH=∠PBQ−∠ABQ=45°−15°=30°，
∴BH=PHtan∠PBH= 22APtan30°= 62AP，
∴AB=AH+BH= 22AP+ 62AP= 2+ 62AP，
∵AB= 6+ 2，
∴ 2+ 62AP= 6+ 2，
∴AP=2；
(3)解：①当∠BRP=90°时，如图3，连接DP，PQ，过点B作BE⊥AQ于点E，
设AM交CD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAM+∠DAP=90°，∠ADC=90°，
∵∠BAM+∠BAR=90°，
∴∠DAP=∠BAR，
∵AD=6，AB=8，
∴ADAB=68=34，
∵AR=43AP，
∴APAR=34，
∴ADAB=APAR，
∴△ADP∽△ABR，
∴DPBR=ADAB=68=34，即BR=43DP，
∵AM平分∠DAC，FD⊥AD，FG⊥AC，
∴FD=FG，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= 62+82=10，
∴tan∠ACD=ADAC=610=35，
∵FGCF=tan∠ACD=35，
∴DFCF=35，
∵DF+CF=CD=8，
∴DF=3，CF=5，
在Rt△ADF中，AF= AD2+DF2= 62+32=3 5，
∵∠DAP=∠BAR，∠ADF=∠AEB=90°，
∴△ADF∽△AEB，
∴AEAD=BEDF=ABAF，即AE6=BE3=83 5，
∴AE=16 55，BE=8 55，
∵∠BRP=90°，
∴∠ARP+∠BRE=90°，
∵∠ARP+∠APR=90°，
∴∠BRE=∠APR，
∴tan∠BRE=tan∠APR，
∴BEER=ARAP=43，
∴ER=34BE=34×8 55=6 55，
∵AR+ER=AE，
∴43AP+6 55=16 55，
∴AP=3 52；
②当∠PBR=90°时，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，PH⊥AB于点H，
则sin∠DAF=PGAP=DFAF=33 5，cs∠DAF=AGAP=ADAF=63 5，
∴PG= 55AP，AG=2 55AP，

∵∠GAH=∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AGPH是矩形，
∴AH=PG= 55AP，PH=AG=2 55AP，
∴BH=AB−AH=8− 55AP，
∴BP2=PH2+BH2=(2 55AP)2+(8− 55AP)2=AP2−16 55AP+64，
在Rt△DPG中，DP2=DG2+PG2=(6−2 55AP)2+( 55AP)2=AP2−24 55AP+36，
∵BR=43DP，
∴BR2=169DP2=169AP2−128 515AP+64，
在Rt△APR中，PR2=AP2+AR2=AP2+(43AP)2=259AP2，
在Rt△PBR中，PR2=BP2+BR2，
∴259AP2=AP2−16 55AP+64+169AP2−128 515AP+64，
解得：AP=24 511；
③当∠BPR=90°时，
由②知：BR2=169AP2−128 515AP+64，PR2=259AP2，BP2=AP2−16 55AP+64，
∵PR2+BP2=BR2，
∴259AP2+AP2−16 55AP+64=169AP2−128 515AP+64，
解得：AP=0或AP=−8 53，均不符合题意；
综上所述，AP的长为3 52或24 511．
【解析】(1)利用正方形性质和旋转变换证明△ADP≌△ABQ(SAS)，即可证得结论；
(2)如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，先证明△ADP≌△ABQ(SAS)，可得BQ=DP，∠APD=∠AQB，再证明：△APQ是等边三角形，△APH是等腰直角三角形，△BPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；
(3)分三种情况讨论：①当∠BRP=90°时，②当∠PBR=90°时，③当∠BPR=90°时，分别求出AP的长．
本题考查了正方形和菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用前面所学的知识解答后面的题目，运用分类讨论思想和数形结合思想，具有很强的综合性，是中考常考题型．x
2
2.5
2.6
2.65
2.7
3
ax2+bx+c
−1
−0.25
−0.04
0.0725
0.19
1