2023-2024学年广东省韶关市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省韶关市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.点M(3,2)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−3,−2)D. (3,2)
3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6
4.据《央视网》2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示应为( )
A. 2.3×10−6B. 2.3×10−7C. 0.23×10−6D. 23×10−8
5.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是．( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.下列运算正确的是( )
A. (a2)3=a5B. a8÷a2=a4(a≠0)
C. a3⋅a5=a8D. (2a)−1=2a(a≠0)
7.如图，已知MA=NC，AC=BD，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN( )
A. MB=ND
B. ∠A=∠NCD
C. MA//NC
D. ∠M=∠N
8.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC=( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
9.已知2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+(2a−1)2的值是( )
A. 6B. −5C. −3D. 4
10.如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD=3cm，则△ABC的面积是cm2．( )
A. 24
B. 27
C. 30
D. 33
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式xx−4有意义，则x的取值范围是______．
12.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角的度数为_____°．
13.计算：2−1+30= ______．
14.计算：(12x3−6x2+3x)÷3x= ______．
15.如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A1，若∠A=30°，∠BDA1=80°，则∠CEA1的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(a−2b)(a+b)；
(2)解方程：1x−1=2x2−1．
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=2∠B．
(1)请用尺规作图法，作AB边的垂直平分线DE，交边BC于点D(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AD，求证：AC=AD．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6，其中a=2．
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−2,1)，B(−1,3)，C(−4,4)．
(1)作出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)写出A1，B1，C1的坐标；
(3)在y轴上找一点P，使PA+PC的长度最短．
20.(本小题9分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，求至少购买多少个A型充电桩？
21.(本小题9分)
已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
22.(本小题12分)
如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形.现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．

(1)观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积：
方法1：______，
方法2：______，
根据上面两种面积表示方法，写出一个关于a，b的公式：______；
(2)已知图2的总面积为100，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为58，求ab的值；
(3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，如果b−a=3，ab=28，求图3阴影部分的面积．
23.(本小题12分)
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形．
(1)求证AE=CD；
(2)连接FG，试判断△BFG的形状，并说明理由；
(3)连接BH，求证DH=EH+BH．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查轴对称中的坐标变化，关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于x轴对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相等．
根据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等回答即可．
【解答】
解：点M(3,2)关于y轴对称的点的坐标为(−3,2)．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；
∵2+2<7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；
∵4+5>7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；
∵3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，
故选：C．
根据三角形的三边关系分别判断即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．与绝对值较大的数表示不同的是n为负整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：0.00000023=2.3×10−7．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：设所求正n边形边数为n，
则60°⋅n=360°，
解得n=6．
故正多边形的边数是6．
故选：C．
多边形的外角和等于360°，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成60°n，列方程可求解．
本题考查了多边形的外角和求正多边形的边数．解题的关键是能够根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算．
6.【答案】C
【解析】解：A.(a2)3=a6，故此选项不符合题意；
B.a8÷a2=a6(a≠0)，故此选项不符合题意；
C.a3⋅a5=a8，故此选项符合题意；
D.(2a)−1=12a(a≠0)，故此选项不符合题意．
故选：C．
直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：由AC=BD可得AB=CD，
A.MB=ND，符合SSS，能判定△ABM≌△CDN，不符合题意；
B.由∠A=∠NCD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN不符合题意；
C.由MA//NC可得∠A=∠NCD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，符合题意；
D.∠M=∠N，不能判定△ABM≌△CDN．
故选：D．
根据三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种；如A，MB=ND，结合已知条件可知，三个条件满足SSS，能判定△ABM≌△CDN，自己对选项逐条验证即可．
本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是读懂题意．
8.【答案】C
【解析】解：在等边△ABC中，∠ABC=60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=30°，
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30°，
故选：C．
根据等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD=30°，再根据作图可知BD=ED，进一步可得∠DEC的度数．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：原式=(2a)2−32+(2a)2−4a+1
=2×(2a)2−4a−32+1
=8a2−4a−9+1
=8a2−4a−8
=4(2a2−a)−8．
∵2a2−a−3=0，
∴2a2−a=3，
∴4(2a2−a)−8=4×3−8=4．
故选：D．
分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．
本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行整式的混合运算能力，比较基础，一定的牢牢掌握．
10.【答案】B
【解析】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
同理可得OF=OD=3，
∴S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=12×OE×AB+12×OD×BC+12×OF×AC
=32(AB+BC+AC)，
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC=32×18=27(cm2).
故选B．
过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE=OD=3，OF=OD=3，由于S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
11.【答案】x≠4
【解析】解：由题意得：x−4≠0，
解得：x≠4，
故答案为：x≠4．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
12.【答案】65或50
【解析】解：∵等腰三角形的一个内角为50°，
若这个角为顶角，则底角为：(180°−50°)÷2=65°，
若这个角为底角，则另一个底角也为50°，
∴其一个底角的度数是65°或50°．
故答案为：65°或50°．
由等腰三角形的一个内角为50°，可分别从50°的角为底角与50°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质，比较简单，注意分类讨论思想的应用．
13.【答案】32
【解析】解：2−1+30
=12+1
=32，
故答案为：32．
根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
14.【答案】4x2−2x+1
【解析】解：(12x3−6x2+3x)÷3x
=12x3÷3x−6x2÷3x+3x÷3x
=4x2−2x+1，
故答案为：4x2−2x+1．
运用多项式除以单项式的计算方法进行求解．
此题考查了多项式除以单项式的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
15.【答案】20°
【解析】解：∵∠BDA1=80°，
∴∠ADA1=180°−80°=100°，
根据折叠的性质知∠ADE=∠A1DE=12∠ADA1=50°，
又∵∠A=30°，
∴∠DEC=80°，∠AED=∠A1ED=100°，
∴∠CEA1=∠A1ED−∠DEC=20°．
故答案为：20°．
由∠BDA1=80°，可知邻补角的度数，根据折叠的性质知∠ADE=∠A1DE，又∠A=30°，运用三角形的外角和求出∠DEC=80°，根据三角形内角和和折叠的性质知∠AED=∠A1ED=100°，从而∠CEA1=∠A1ED−∠DEC=20°．
本题考查了翻折变换(折叠问题)、三角形内角和及外角和，熟悉折叠的性质是解决问题的关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】解：(1)原式=a2+ab−2ab−2b2
=a2−ab−2b2；
(2)去分母得：x+1=2，
解答：x=1，
检验：把x=1代入得：(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)原式利用多项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
17.【答案】(1)解：图形如图所示：

(2)证明：∵DE垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B，
∵∠C=2∠B，
∴∠C=∠ADC，
∴AC=AD．
【解析】(1)根据要求作出图形；
(2)欲证明AC=AD，只要证明∠C=∠ADC即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
18.【答案】解：(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6
=a+3−4a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=a−1a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=2a−1，
当a=2时，原式=22−1=2．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)A1，(−2,−1)，B1，(−1,−3)，C1(−4,−4)；
(3)如图，点P即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)结合(1)即可写出A1，B1，C1的坐标；
(3)找到点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点P，即可使PA+PC的长度最短．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，
根据题意得：18x=24x+0.3，
解得：x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.3=0.9+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，依据题意得：
0.9m+1.2(25−m)≤26，
解得：m≥403，
∴m=14，
答：至少购买14个A型充电桩．
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型充电桩的单价，再将其代入(x+0.3)中，即可求出B型充电桩的单价；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，根据购买总费用不超过26万元即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D为BC的中点，
∴AD=12BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中，∠EBD=∠FADBD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF；
(2)BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB和△FDA中，∠EBD=∠FADBD=AD∠EDB=∠FDA，
∴△EDB≌△FDA(ASA)，
∴BE=AF．
【解析】(1)连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA)，再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；
(2)连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA(ASA)，再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：(1)根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；(2)根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA．
22.【答案】(a+b)2 a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2
【解析】解：(1)用两种方法表示出图2的总面积为(a+b)2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2；a2+2ab+b2；(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由题意得，(a+b)2=a2+2ab+b2=100，a2+b2=58，
∴ab=(a+b)2−(a2+b2)2
=100−582
=422
=21；
(3)由题意得图3中阴影部分的面积为：
b22+a2−a(a+b)2
=b2+2a2−a2−ab2
=(a−b)2+ab2，
把b−a=3，ab=28，代入得：
图3中阴影部分的面积为：
(−3)2+282=372．
(1)由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为(a+b)2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由题意得，a2+2ab+b2=100，a2+b2=58，两个等式作差可求得此题结果；
(3)由题意得b22+a2−a(a+b)2=(a−b)2+ab2，从而可解得此题结果．
本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC、△BDE均为等边三角形，
∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，
∴180°−∠EBD=180°−∠ABC，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD；
(2)解：△BFG是等边三角形，理由如下：

∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
又∵∠ABC=∠CBG=60°，AB=BC，
∴△ABF≌△CBG(ASA)，
∴BF=BG，
又∵∠FBG=60°，
∴△FBG是等边三角形；
(3)证明：在DC上截取DN=EH，连接BN，

∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
又∵EH=DN，BE=BD，
∴△BDN≌△BEH(SAS)，
∴BN=BH，∠NBD=∠HBE，
∴∠HBN=∠NBD=60°，
∴△BHN是等边三角形，
∴BH=HN，
∴DH=HN+DN=HE+BH．
【解析】(1)由“SAS”可证ABE≌△CBD，可得AE=CD；
(2)由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BCD，由“ASA”可证△ABF≌△CBG，可得BF=BG，即可得结论；
(3)由“SAS”可得△BDN≌△BEH，可得BN=BH，∠NBD=∠HBE，可证△BHN是等边三角形，可得BH=HN，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．