2023-2024学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列交通标识中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2.用配方法解方程x2−6x−5=0时，原方程应边形为( )
A. (x+3)2=14B. (x−3)2=14C. (x+6)2=41D. (x−6)2=41
3.关于x的一元二次方程x2+(2a−3)x+a2+1=0有两个实数根，则a的最大整数解是( )
A. 1B. −1C. −2D. 0
4.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 车辆到达路口，遇到绿灯
B. 任意画一个五边形，其外角和是360°
C. 在标准大气压下，水的温度达到90℃时水沸腾
D. 图形在旋转过程中面积不变
5.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是
( )
A. x1C. x−1
6.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2−10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( )
A. 16B. 24C. 16或24D. 48
7.如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则锐角∠BDC的度数为( )
A. 57°
B. 52°
C. 38°
D. 26°
8.如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A. 13B. 14C. 16D. 18
9.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90°后，点E的对应点为E′，则点B到线段EE′距离的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
10.如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c中，以下结论：①abc4ac；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数)；⑥当x60)元．
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；
(2)现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
25.(本小题14分)
如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y=12x−2经过点B，点C．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB=∠ABC，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：第一个和第三个既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个既是中心对称图形，又是轴对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：x2−6x=5，
x2−6x+9=14，
(x−3)2=14．
故选：B．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2a−3)x+a2+1=0有两个实数根，
∴△=(2a−3)2−4(a2+1)≥0，
解得a≤512，
则a的最大整数值是0．
故选：D．
若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△8，即可得出菱形ABCD的周长．
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角．
【解答】
解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=38°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=52°，
∴∠BDC=∠BAC=52°．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的14，
∴飞镖落在阴影区域的概率是14．
故选B．
由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的14，据此可得答案．
本题主要考查几何概率．
9.【答案】D
【解析】解：如图，连接BE，BE′，EE′，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴∠DAC=∠DCA=45°，AC=4 2，
由旋转可知：AE′=CE，BE=BE′，∠EBE′=90°，∠D′AA′=∠DCA=45°，
∴△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC=90°，
过点B作BM⊥EE′于点M，
∴BM=12EE′，
∴要求BM的最小值，只需求EE′的最小值，
设AE=x，则AE′=CE=4 2−x，
在Rt△AEE′中，根据勾股定理得：
EE′2=AE2+AE′2，
∴EE′2=x2+(4 2−x)2=2(x−2 2)2+16，
当x=2 2时，EE′2有最小值，最小值为16，
此时，EE′=4，
∴BM=12EE′=2，
则点B到线段EE′距离的最小值为2．
故选：D．
连接BE，BE′，EE′，由旋转可得AE′=CE，BE=BE′，∠EBE′=90°，∠D′AA′=∠DCA=45°，证明△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC=90°，过点B作BM⊥EE′于点M，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=12EE′，要求BM的最小值，只需求EE′的最小值，设AE=x，则AE′=CE=4 2−x，根据勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．
本题旋转的性质，正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①由图象可知：a>0，c0，
∴b2>4ac，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，则x=0与x=2的函数值相等，
∴当x=2时，y=4a+2b+c0，
∴3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y取到最小值，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m(am+b)，故⑤正确，
⑥当x圆心A到y轴的距离，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切，⊙A与y轴的位置关系是相交，
故答案为：相切，相交．
解方程x2−2x−15=0得到⊙A的半径为5，于是得到⊙A的半径=圆心A到x轴的距离，即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
17.【答案】35°
【解析】解：由旋转的定义得：∠BCB′和∠ACA′均为旋转角，
∴∠BCB′=∠ACA′=35°，
∵∠A′CB=105°，
∴∠ACB′=∠A′CB−∠BCB′−∠ACA′=35°，
故答案为：35°．
先根据旋转的定义可得∠BCB′=∠ACA′=35°，再根据角的和差即可得．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
18.【答案】 36
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AD=2× 32= 3，
∴扇形的弧长为60π× 3180= 33π，
∴圆锥的底面圆的半径是 33π÷π÷2= 36．
故答案为： 36．
连接AD，根据等边三角形的性质可求AD，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
19.【答案】12.5
【解析】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10−x，
则：S=12AC⋅BD=12x(10−x)=−12(x−5)2+12.5，
当x=5时，S最大=12.5；
所以，四边形ABCD的面积最大值为12.5．
故答案为：12.5．
直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=12AC⋅BD，再利用配方法求出二次函数最值．
此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
20.【答案】7
【解析】解：如图，过B作BM⊥x轴于M，
∵抛物线y=2x2+bx+c的顶点为A(1,0)，
∴x=−b4=1，
∴b=−4，
∴2−4+c=0，
解得c=2，
∴抛物线为：y=2x2−4x+2，
∴C(0,2)，
∵AC=AB，∠CAB=∠COA=∠AMB=90°，
∴∠CAO+∠BAM=∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠CAO=∠ABM，
∴△CAO≌△ABM(AAS)，
∴CO=AM=2，OA=BM=1，
∴B(3,1)，
∵y=2x2−4x+2=2(x−1)2，设抛物线向下平移n个单位后过B点，
∴y=2(x−1)2−n过B点，
∴8−n=1，
解得：n=7．
故答案为：7．
过B作BM⊥x轴于M，由抛物线的顶点为A，求解抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明△CAO≌△ABM，再求解B的坐标，再写出向下平移n个单位后的抛物线的解析式，代入B的坐标即可得到答案．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的平移，求解平移后的抛物线的解析式为y=2(x−1)2−n是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(0,2)；

(2)如图所示，△A2B2C1即为所求；
C1A1的长度为： 42+12= 17，
∴线段C1A1旋转过程中扫过的面积为：90π×( 17)2360=174π．
【解析】(1)依据△ABC向下平移5个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；
(2)依据△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，即可得到的△A2B2C1，依据扇形面积计算公式解答即可．
本题考查了利用平移变换和旋转变换作图，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．熟练掌握平移和旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可得，
从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“爱”字的卡片的概率为14，
故答案为：14；
(2)树状图如下所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中至少有1张印有“国”字的可能性有7种，
∴至少有1张印有“国”字的概率为716．
(1)根据题意，可以直接写出从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“爱”字的卡片的概率；
(2)根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出至少有1张印有“国”字的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
23.【答案】解：(1)AE为⊙O的切线．
理由：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
又∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=30°
∵OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠EAD=30°，
∴∠EAD+∠DAO=90°，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：由(1)可知△AEO为直角三角形，且∠E=30°，AE=6，
∴OA=2 3，
∴阴影部分的面积为12×6×2 3−60π×(2 3)2360=6 3−2π．
故阴影部分的面积为6 3−2π．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OA、AD，可求得∠ACE=∠AEC=30°，可证明△AOD为等边三角形，求得∠EAO=90°，即可证明AE为⊙O的切线；
(2)结合(1)可得到OA=2 3，AE=6，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
24.【答案】(200−2x)
【解析】解：(1)平均每天的销售量为80−2(x−60)=(200−2x)(箱)．
故答案为：(200−2x)．
(2)依题意得：(x−50)(200−2x)=1200，
整理得：x2−150x+5600=0，
解得：x1=70，x2=80．
当x=70时，利润率=70−5050×100%=40%50%，不合题意，舍去．
答：应按每箱70元销售．
(1)利用平均每天的销售量=200−2×提高的价格，即可用含x的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
(2)根据每天的销售利润=每箱的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解(1)∵直线y=12x−2经过点B，点C，
∴B(4,0)，C(0,−2)，
将B(4,0)，C(0,−2)代入y=12x2+bx+c得12×42+4b+c=0c=−2，
解得b=−32c=−2
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
(2)过点P作PD/​/y轴，交BC于P，

设P(m,12m2−32m−2)，则D(m,12m−2)，
∴DP=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m，
∴S△PCB=S△PDC+S△PDB
=12PD×OB
=12(−12m2+2m)×4
=−m2+m，
当m=−42×(−1)=2时，S△PCB最大，
此时P(2,−3)；
(3)当点M在直线BC下方的抛物线上时，则CM/​/AB，

∴点C与M关于对称轴直线x=32对称，
∴M(3,−2)，
当点M在直线BC的上方时，

设CM交x轴于E，
则CE=BE，
设OE=x，则BE=CE=4−x，
在Rt△COE中，由勾股定理得，x2+22=(4−x)2，
解得x=32，
∴E(32,0)，
∴直线CE的解析式为y=43x−2，
∴43x−2=12x2−32x−2，
解得x1=173，x2=0(舍)，
∴M(173,509)，
综上：点M的坐标为(3,−2)或(173,509)．
【解析】(1)根据直线y=12x−2经过点B，点C，求得B(4,0)，C(0,−2)，将B(4,0)，C(0,−2)代入y=12x2+bx+c即可得到结论；
(2)过点P作PD/​/y轴，交BC于P，运用待定系数法求直线BC的解析式，设P(m,12m2−32m−2)，则D(m,12m−2)，于是得到12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m，利用铅垂高求面积即可解决问题；
(3)当点M在直线BC下方的抛物线上时，则CM/​/AB，则点C与M关于对称轴对称，当点M在直线BC的上方时，设CM交x轴于E，则CE=BE，设OE=x，则BE=CE=4−x，在Rt△COE中，由勾股定理得方程，可求出点E的坐标，从而求出直线CE的解析式，与抛物线求交点即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法，铅垂高求三角形的面等知识，分点M在直线BC的上方和下方两种情形是解题的关键．