2023-2024学年河北省保定市高碑店市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市高碑店市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.cs30°=( )
A. 12B. 32C. 3D. 33
2.二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为( )
A. 2B. 0C. −1D. −2
3.如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE/​/BC，若ADBD=34，AE=6，则CE的长为( )
A. 14
B. 92
C. 8
D. 6
5.一元二次方程x2+2x−1=0的根的情况是( )
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
6.如图，嘉嘉利用刻度直尺(单位：cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
7.将抛物线y=(x−3)2+2的顶点平移到(4,2)，则平移的方式为( )
A. 向左平移7个单位长度B. 向右平移7个单位长度
C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度
8.如图1，以O为位似中心，作出△ABC的位似△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1.图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证OA′OA=OB′OB=OC′OC=12，则下列说法正确的是( )
A. 只有珍珍正确B. 只有明明正确C. 两个人都正确D. 两个人都不正确
9.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为( )
A. 0.35B. 0.65C. 7D. 13
10.已知闭合电路的电压U(单位：V)为定值，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)呈反比例函数AB，关系(I=UR).下列能反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
11.某国货洗衣液厂十月份生产洗衣液50万桶，十二月份生产洗衣液60.5万桶.设该厂十一月份和十二月份平均每月的洗衣液产量的增长率为x，则可列方程为( )
A. 50(1+x)2=60.5B. 50(1−x)2=60.5
C. 50(1+x2)=60.5D. 50(1−x2)=60.5
12.若点A(−3,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=k2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y3>y1D. y3>y2>y1
13.如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是( )
A. CA平分∠BCD
B. ADAB=DCAC
C. AC2=BC⋅CD
D. ∠DAC=∠ABC
14.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为边AB上一点，F为BE的中点，G为ED的中点，则GF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
15.如图，在△ABC和△DEF中，∠ABC=40°，∠DEF=140°，AB=EF，2DE=3BC，若S△ABC=12，则△DEF的面积为( )
A. 8B. 16C. 18D. 24
16.若点(m,n)在二次函数y=−x2+1的图象上，则m+n的最大值是( )
A. 0B. 54C. 32D. 2
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.菱形的一边长为2cm，则这个菱形的周长为______．
18.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则CPDP= ______，tan∠CAB的值为______．
19.如图，动点M在反比例函数y=9x(x>0)的图象上，过点M分别作MP⊥x轴，MQ⊥y轴，垂足分别为P，Q，直线AB：y=−x+4分别交MP，MQ于点C，D．
(1)矩形OPMQ的面积为______．
(2)AD⋅BC的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
按要求完成下列各小题．
(1)计算：sin45°⋅cs45°−2sin30°．
(2)解方程x2−2x=0．
21.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE/​/AC交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD=CE．
(2)若∠E=60°，求∠DOC的度数．
22.(本小题9分)
如图，点A，B，C，D分别在正方形网格的顶点上，每个小正方形的边长为1．
(1)从B，C，D三点中任取一点与点A连接，构成的线段长为 2的概率为______．
(2)△MNP的顶点均在正方形网格的顶点上，若以A为其中一个顶点，再从B，C，D三点中任取两点为顶点画三角形，通过列表或画树状图的方式求所画三角形与△MNP相似的概率(无需证明相似)．
23.(本小题10分)
小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(分钟)与录入文字的速度x(字/分钟)之间的函数关系图象如图所示．
(1)求y与x之间的反比例函数关系式．
(2)小明在8：20开始录入，完成录入的时间为8：40，求小明每分钟录入的字数．
24.(本小题10分)
如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树BC.当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，AB=4米．
(1)∠CAB= ______，∠ACB= ______．
(2)求树根到地面的距离BD的长度．
(3)求树BC的高度.(结果保留一位小数，参考数据： 3≈1.7，sin20°≈0.3，sin70°≈0.9，tan70°≈2.8)
25.(本小题12分)
为保证车辆的安全性，车辆出厂前都会进行刹车安全性测试，在某次刹车测试中，当汽车行驶至符合测试要求的固定速度时，测试人员开始刹车，从开始刹车开始计时，经过的时间为刹车时长x，车辆继续行驶的距离为刹车距离y，且y与x之间满足二次函数关系.某品牌车辆刹车测试数据记录如：
(1)求刹车距离y与刹车时长x之间的函数表达式．
(2)求表格中横线处的数值．
(3)若在该次测试中，发现前方70米处放有保障性防撞装置，此时开始刹车，问该车在不变道的情况下是否会与保障性防撞装置相撞？请说明理由．
26.(本小题13分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4 3，BC=4，点M在边AB上，BMAB=14，N为BC上一动点(不与点B，C重合)，将△BMN沿直线MN翻折，点B落在点P处，∠BMP=n°(00时，抛物线向上开口；当a0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
先求出b2−4ac的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)中，Δ=b2−4ac，①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根③当Δ0，
∴函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(−3,y1)在第三象限，
∴y10，
∴y2>y3>y1，
故选：C．
根据反比例函数的性质进行解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②ADAB=DCAC；
故选：C．
已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=2，∠A=90°，
由勾股定理得BD= AB2+AD2= 22+22=2 2，
∵F为BE的中点，G为ED的中点，
∴FG为△EBD的中位线，
∴GF=12BD=12×2 2= 2，
故选：B．
根据正方形的性质得出AB=AD=2，∠A=90°，由勾股定理求出BD的长，再根据已知条件证得GF为△EBD的中位线，即可求出GF的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出BD的长是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：如图1，过点A作AM⊥BC于点M，
∴∠AMB=90°，
∵∠ABC=40°，
∴sin40°=AMAB，
∴AM=AB⋅sin40°，
∵S△ABC=12BC⋅AM，S△ABC=12，
∴12BC⋅AB⋅sin40°=12，
∴BC⋅AB⋅sin40°=24，
如图2，过点D作DN⊥FE的延长线于点N，
∴∠DNE=90°，
∵∠DEF=140°，
∴∠DEN=180°−∠DEF=40°，
∴sin40°=DNDE，
∴DN=DE⋅sin40°，
∵S△DEF=12EF⋅DN，AB=EF，2DE=3BC，
即DE=32BC，
∴S△DEF=12AB⋅32BC⋅sin40°
=34AB⋅BC⋅sin40°
=34×24
=18，
故选：C．
如图1，过点A作AM⊥BC于点M，根据锐角三角函数的定义表示出AM，再根据△ABC的面积得出BC⋅AB⋅sin40°=24，如图2，过点D作DN⊥FE的延长线于点N，根据锐角三角函数的定义表示出DN，再根据△DEF的面积公式计算即可．
本题考查了三角形的面积，锐角三角函数，正确作出两个三角形的高是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：∵点(m,n)在二次函数y=−x2+1的图象上，
∴n=−m2+1，
∴m+n=−m2+m+1=−(m−12)2+54，
∴当m=12时，m+n有最大值54．
故选：B．
把点(m,n)代入y=−x2+1中，得到m+n=−m2+m+1，运用配方法求式子的最大值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉配方法是解题的关键．
17.【答案】8
【解析】解：∵菱形的一边长为2cm，
∴这个菱形的周长为2×4=8(cm)，
故答案为：8．
根据菱形的周长公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的周长公式是解题的关键．
18.【答案】13 23
【解析】解：设网格中的每个小正方形的边长为m，则AC=m，BD=3m，
∵AC/​/BD，
∴△APC∽△BPD，
∴CPDP=ACBD=m3m=13，
取格点E，则AE=3m，BE=2m，
∵∠AEB=90°，
∴tan∠CAB=BEAE=2m3m=23，
故答案为：13，23．
设网格中的每个小正方形的边长为m，则AC=m，BD=3m，由AC/​/BD，证明△APC∽△BPD，得CPDP=ACBD=m3m=13，取格点E，则AE=3m，BE=2m，则tan∠CAB=BEAE=2m3m=23，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△APC∽△BPD是解题的关键．
19.【答案】9 18
【解析】解：(1)设点M(a,9a)，则点Q(0,9a)，点P(a,0)，
S矩形OPMQ=OP⋅OQ=a⋅9a=9，
故答案为：9；
(2)由题意可得点A(4,0)，B(0,4)，
∴OB=OA=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠QBD=45°，
∴QD=BQ=4−9a，
∴点D的坐标为(4−9a,9a)，
同理可得点C的坐标为(a,4−a)，
∴AD2=(−9a)2+(9a)2=162a2，BC2=a2+(−a)2=2a2，
∴AD2⋅BC2=162a2⋅2a2=324，即AD⋅BC=18．
故答案为：18．
(1)根据反比例函数的k值几何意义可得矩形面积；
(2)根据函数解析式求出点A、B的坐标，利用等腰直角三角形性质再得到点D、C坐标，结合两点间的距离即可求得答案．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握等腰直角三角形性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)原式= 22× 22−2×12
=12−1
=−12；
(2)x2−2x=0，
x(x−2)=0，
x=0或x−2=0，
所以x1=0，x2=2．
【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值得到原式= 22× 22−2×12，然后进行二次根式的混合运算；
(2)先利用因式分解法把方程转化为x=0或x−2=0，然后解两个一次方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∵BE/​/AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB=CE，
∴CD=CE．
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴BE=AC，
∴BD=BE，
∵∠E=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DBE=60°，
∵AC/​/BE，
∴∠DOC=∠DBE=60°．
【解析】(1)根据矩形的性质得到AB=CD，AB/​/CD，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)根据矩形的性质得到AC=BD，根据平行四边形的性质得到BE=AC，求得BD=BE，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了矩形 到现在，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22.【答案】13
【解析】解：(1)由题意得：BA=1，CA= 2，DA=2，如图，
∴构成的线段长为 2的概率为P=13，
故答案为：13．
(2)画树状图得出：
由树状图可知共有出现的情况有△ABC，△ABD，△ACD，3种可能的结果，其中与△MNP相似的有2种，即△ABC，△ACD，
故所画三角形与△MNP相似的概率P=23，
答：所画三角形与△MNP相似的概率为23．
(1)运用勾股定理先求出线段BA=1，CA= 2，DA=2，再根据概率公式即可求得答案；
(2)由树状图求得所有等可能的结果与所组成的三角形与△MNP相似的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的反比例函数关系式为y=kx，
∵图象过点(140,10)，
∴10=k140，
解得k=1400，
∴y与x之间的函数关系式为y=1400x；
(2)在8：20开始录入，录入到4：40，共20分钟，
当y=20时，20=1400x，
解得x=70，
答：小明每分钟录入70个字．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)先求出录入时间是20分钟，再代入函数解析式即可求出每分钟应录入多少个字．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
24.【答案】40° 20°
【解析】解：(1)由题意得：∠CAD=70°，∠BAD=30°，
则∠CAB=∠CAD−∠BAD=70°−30°=40°，∠ACB=90°−70°=20°，
故答案为：40°，20°；
(2)在Rt△BAD中，∠BAD=30°，AB=4米，
则BD=12AB=2(米)；
(3)在Rt△BAD中，∠BAD=30°，AB=4米，
则AD=AB⋅cs∠BAD=4× 32=2 3(米)，
在Rt△CAD中，∠CAD=70°，
则CD=AD⋅tan∠CAD≈2 3×2.8≈9.52(米)，
∴BC=CD−BD=9.52−2≈7.5(米)，
答：树BC的高度约为7.5米．
(1)根据题意、结合图形求出∠CAB、∠ACB；
(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出BD；
(3)根据余弦的定义求出AD，再根据正切的定义求出CD，进而求出BC．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，数据锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】63
【解析】解：(1)设y=ax2+bx+c，
将(0,0)，(1,27)，(2,48)代入上式得：
c=0a+b+c=274a+2b+c=48，解得：a=−3b=30c=0，
∴y关于x的函数解析式为：y=−3x2+30x；
(2)当x=3时，y=−3×32+30×3=63(m)，
故答案为：63；
(3)会．
理由如下：∵y=−3x2+30x=−3(x−5)2+75，
∴当x=5时，汽车停下，行驶了75m，
∵75>70，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
(1)利用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式；
(2)将x=3代入(1)中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
(3)求出(1)中函数的最大值，与70m比较，即可解决问题．
本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=4，
∵AB=4 3，BMAB=14，
∴BM= 3，AM=3 3，CD=4 3，
∵∠BMP=n°=90°，
∴四边形BCGM是矩形，
∴MG=BC=4，由中折叠的性质得MP=BM= 3，
∴PG=MG−MP=4− 3；
(2)①证明：由中折叠的性质得∠BMN=∠PMN=12n°=30°，∠MNB=∠MNP，
∴∠MNB=∠MNP=60°，
∴∠CNH=60°=∠MNB，
∵∠B=∠C，
∴△MNB∽△HNC；
②在Rt△BMN中，∠BMN=30°，BM= 3，BM2+BN2=MN2，
∴MN=2BN，
∴BN2+( 3)2=(2BN)2，
∴BN=1，
∴CN=BC−BN=4−1=3，
由①得△MNB∽△HNC，
∴BNCN=BMCH，
∴13= 3CH，
∴CH=3 3，
∴DH=CD−DH= 3；
(3)如图3中，连接DM．

在Rt△MAD中，AD=BC=4，AM=3 3，
∴DM= AM2+AD2= 43，
在Rt△MDP中，DP= DM2−MP2= ( 43)2−( 3)2=2 10，
设BN=PN=x，则DN=x+2 10，CN=4−x，
在Rt△DNC中，DN2=DC2+CN2，
∴(2 10+x)2=(4 3)2+(4−x)2，
∴x=5( 10−2)6，
∴tan∠PMN=PNPM=5( 10−2)6 3=5 30−2 318．
【解析】(1)根据矩形 到现在得到∠B=∠C=90°，AD=BC=4，求得BM= 3，AM=3 3，CD=4 3，根据折叠的性质得到MP=BM= 3，求得PG=MG−MP=4− 3；
(2)①根据折叠的性质得∠BMN=∠PMN=12n°=30°，∠MNB=∠MNP，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
②根据勾股定理得到BN=1，求得CN=BC−BN=4−1=3，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)如图中，连接DM.利用勾股定理求出DM，DP，设BN=PN=x，在Rt△DNC中，利用勾股定理即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．刹车时长x/s
0
1
2
3
…
刹车距离y/m
0
27
48
______
…