人教A版（2019）必修第二册 第六章 6.4.3 第五课时 余弦定理、正弦定理的应用（教学课件）

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第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理第5课时　余弦定理、正弦定理的应用学习目标XUE XI MU BIAO1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点　三角形的面积公式1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为(1)S＝ ＝ ＝ ；2.△ABC中的常用结论(1)A＋B＋C＝ ，sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ；(2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B；(3)任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边.180°sin C－cos C大于小于思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.公式S＝ absin C适合求任意三角形的面积.(　　)2.三角形中已知三边无法求其面积.(　　)3.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)4.在△ABC中，A>B⇔cos A>cos B.(　　)×√×√2题型探究PART TWO例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 .一、有关三角形面积的计算解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .解析　由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝ ，且ccos A＋ a＝b.(1)求C的大小；解　由正弦定理，得sin Ccos A＋ sin A＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，(2)求△ABC的面积.解　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用(1)求sin C的值；(2)若BD＝5，求△ABD的面积.在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角.(1)求AC的长；∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6× ＝18，核心素养之逻辑推理、数学运算HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI SHU XUE YUN SUAN余弦、正弦定理与三角函数的综合应用典例　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ，b－c＝2，cos A＝－ .(1)求a和sin C的值；可得bc＝8.又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)，∴b＝4，c＝2，(1)正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是先求函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.(2)通过三角函数的化简及性质，利用余弦、正弦定理解三角形，提升逻辑推理和数学运算素养.3随堂演练PART THREE√123452.(多选)已知△ABC的面积为 ，且b＝2，c＝ ，则A等于A.30° B.60°C.150° D.120°√√所以A＝60°或120°.123453.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为√解析　将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，123454.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为√解析　由题意，得△ADC为等边三角形，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，则∠ADB＝120°，AC＝2，123455.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝ ，△ABC的面积为3 ，则A＝ ，b＋c＝ .123457解析　由已知及正弦定理可得，2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，可得2cos Asin(B＋C)＝sin A，∵A∈(0，π)，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7.即bc＝12.12345课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)三角形的面积公式.(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题.(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.2.方法归纳：化归与转化、数形结合.3.常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，则△ABC的面积为√解析　在△ABC中，A＝30°，a＝b＝2，由等腰三角形的性质可得，A＝B＝30°，则C＝180－30°－30°＝120°，1234567891011121314151612345678910111213141516A.60°或120° B.30°C.60° D.45°√所以A＝90°，所以C＝180°－A－B＝60°.√√又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或BC＝2，123456789101112131415164.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为12345678910111213141516√解析　因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，又B＝45°，DA＝7，1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415166.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，A＝60°，则角B＝ ，△ABC的面积是 .45°又因为b