人教A版（2019）必修第二册 第八章 8.6.1 直线与直线垂直（教学课件）

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第八章　§8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直学习目标XUE XI MU BIAO1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一　回顾两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在 的两条直线.(2)画法：任何一个平面内2.两条直线的位置关系一个没有3.两个定理(1)基本事实4①文字语言：平行于同一条直线的两条直线 .②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒ .③作用：证明空间两条直线平行.平行a∥c(2)等角定理①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .②作用：证明两个角相等或互补.4.平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.相等或互补知识点二　异面直线所成的角1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间 O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.空间两条直线所成角α的取值范围： .任一点a′与b′0°≤α≤90°知识点三　直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作 .直角a⊥b思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　)2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.(　　)3.不在某个平面内的两条直线为异面直线.(　　)√××2题型探究PART TWO例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；一、异面直线所成的角解　∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)FO与BD所成的角.解　如图，连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.跟踪训练1　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.二、直线与直线垂直例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1綊BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.跟踪训练2　如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，∵E为AC的中点，F为CC′的中点，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角为∠BEF，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.3随堂演练PART THREE1.垂直于同一条直线的两条直线一定A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能12345√123452.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有A.1条 B.2条C.3条 D.4条√解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.123453.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是A.90° B.60° C.45° D.30°√解析　如图，连接B1G，∵A1E∥B1G，∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角.连接FB1，在△FB1G中，B1F2＝B1G2＋FG2.∴∠FGB1＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.123454.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为______.60° 解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.12345123455.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.60°12345解析　如图所示，连接BC1，AD1，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.即异面直线AC和MN所成的角为60°.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与cA.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交12345678910111213141516√解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是A.直线AA1 B.直线A1B1C.直线A1D1 D.直线B1C1√解析　根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行.∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确.123456789101112131415163.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝ ，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是A.90° B.60°C.45° D.30°√12345678910111213141516解析　∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为A.90° B.60° C.45° D.0°√解析　将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A－DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.123456789101112131415165.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为12345678910111213141516√解析　如图，连接BE，∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB(或其补角).不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，123456789101112131415166.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角为________，AC与D1C1所成的角为________.90°45°解析　B1D1与AC是异面直线，连接BD，交AC于点O，易知BD∥B1D1，所以∠DOC或其补角为B1D1与AC所成的角.因为BD⊥AC，所以∠DOC＝90°，因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC与D1C1所成的角，又∠ACD＝45°，所以AC与D1C1所成的角是45°.所以B1D1与AC所成的角是90°.123456789101112131415167.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_____.解析　设棱长为1，连接AD1，∵A1B1∥C1D1，∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.123456789101112131415168.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝_____.5解析　如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.123456789101112131415169.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝ ，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12345678910111213141516解　如图，取AC的中点F，连接EF，BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中，AB＝1，123456789101112131415161234567891011121314151610.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.1234567891011121314151612345678910111213141516证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.∵E是BD1的中点，∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.12345678910111213141516又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.综合运用11.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于A.30° B.45°C.60° D.90°12345678910111213141516√解析　如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别是CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角).又∵AC＝BD，∴FG＝EG.又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.1234567891011121314151612.当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是12345678910111213141516√解析　设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角，1234567891011121314151613.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是A.AB⊥EFB.AB与CM所成的角为60°C.EF与MN是异面直线D.MN∥CD12345678910111213141516√√解析　把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确.14.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角为______.90°解析　如图，取AA1的中点E，连接EN，BE，设BE交B1M于点O，易知EN∥BC，且EN＝BC，∴四边形BCNE是平行四边形，∴∠BOM或其补角即为异面直线B1M与CN所成的角.由BB1＝AB，AE＝BM，∠EAB＝∠MBB1，得Rt△BB1M≌Rt△ABE，∴∠BMB1＝∠AEB，∴∠BOM＝90°.∴BE∥CN，12345678910111213141516拓广探究15.如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝ ，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成的角为______.1234567891011121314151660°12345678910111213141516解析　如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE，所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角.所以∠CBE＝60°.16.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝ ，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.12345678910111213141516解　如图所示，连接CD1，AC.∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.又易知AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形，1234567891011121314151612345678910111213141516本课结束