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人教A版（2019）必修第二册 第八章 8.6.2 直线与平面垂直（教学课件）
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第八章 §8.6 空间直线、平面的垂直8.6.2 直线与平面垂直学习目标XUE XI MU BIAO1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一 直线与平面垂直的定义任意一条l⊥α垂线垂面垂足注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.知识点二 直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b思考 若把定理中的“两条相交直线”改为“两条平行直线”，直线与平面一定垂直吗？答案 当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.知识点三 直线与平面所成的角相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足直线AO∠PAO90°0°0°≤θ≤90°知识点四 直线与平面垂直的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b平行注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.思考 垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？答案 共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( )2.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( )3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.( )√×√2题型探究PART TWO例1 (多选)下列命题中，不正确的是A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解√√√解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.跟踪训练1 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)①③④解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.二、直线与平面垂直的判定例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.证明 ∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；证明 ∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴BM⊥平面PAM.∴AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明 由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.三、直线与平面垂直的性质例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练3 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明 ∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.核心素养之直观想象和逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG HE LUO JI TUI LI求直线与平面所成的角典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；解 ∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.又∵∠A1OB＝90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养.3随堂演练PART THREE1.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.其中正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.312345√解析 ①错，②③对.123452.(多选)下列命题正确的是√√√3.若点A，B在平面α的同侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为A.4 B.3 C.2 D.1√解析 如图，∵AC⊥α，BD⊥α，∴AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，123454.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是A.平面DD1C1C B.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB12345√解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.123455.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.45°解析 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理.(3)直线与平面垂直的性质定理.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是A.相交 B.异面C.平行 D.不确定12345678910111213141516√解析 依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，∴l∥m.2.下列说法中，正确的有①如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个√解析 ①不正确，其他三项均正确.123456789101112131415163.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是A.异面 B.平行C.垂直 D.不确定√解析 ∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.123456789101112131415164.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为A.30° B.45°C.60° D.90°12345678910111213141516√5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定12345678910111213141516√解析 易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.6.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.12345678910111213141516垂直解析 在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是______.12345678910111213141516平行解析 如图，∵AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，∴EF与BB1不相交，∴EF∥BB1，又AA1∥BB1，∴EF∥AA1.8.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是______.1234567891011121314151630°解析 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.∴∠PCA＝30°.9.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求证：AC⊥平面BDE；12345678910111213141516证明 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.12345678910111213141516(2)求AE与平面BDE所成角的大小.12345678910111213141516解 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.1234567891011121314151612345678910111213141516证明 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.12345678910111213141516∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.综合运用11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面12345678910111213141516√解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.12.在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心√解析 如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又PA＝PB＝PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，则OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心.1234567891011121314151613.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为A.45° B.60°C.30° D.75°12345678910111213141516√解析 取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.1234567891011121314151614.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_______________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)12345678910111213141516∠A1C1B1＝90°解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)12345678910111213141516拓广探究15.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD 所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角12345678910111213141516√√√解析 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确.1234567891011121314151616.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.12345678910111213141516(1)求证：MN∥平面PAD；证明 取PD的中点E，连接NE，AE，如图.又∵N是PC的中点，又∵DC∥AB且DC＝AB，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?12345678910111213141516解 当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.12345678910111213141516本课结束
第八章 §8.6 空间直线、平面的垂直8.6.2 直线与平面垂直学习目标XUE XI MU BIAO1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一 直线与平面垂直的定义任意一条l⊥α垂线垂面垂足注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.知识点二 直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b思考 若把定理中的“两条相交直线”改为“两条平行直线”，直线与平面一定垂直吗？答案 当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.知识点三 直线与平面所成的角相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足直线AO∠PAO90°0°0°≤θ≤90°知识点四 直线与平面垂直的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b平行注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.思考 垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？答案 共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( )2.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( )3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.( )√×√2题型探究PART TWO例1 (多选)下列命题中，不正确的是A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解√√√解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.跟踪训练1 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)①③④解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.二、直线与平面垂直的判定例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.证明 ∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；证明 ∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴BM⊥平面PAM.∴AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明 由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.三、直线与平面垂直的性质例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练3 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明 ∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.核心素养之直观想象和逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG HE LUO JI TUI LI求直线与平面所成的角典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；解 ∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.又∵∠A1OB＝90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养.3随堂演练PART THREE1.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.其中正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.312345√解析 ①错，②③对.123452.(多选)下列命题正确的是√√√3.若点A，B在平面α的同侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为A.4 B.3 C.2 D.1√解析 如图，∵AC⊥α，BD⊥α，∴AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，123454.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是A.平面DD1C1C B.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB12345√解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.123455.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.45°解析 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理.(3)直线与平面垂直的性质定理.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是A.相交 B.异面C.平行 D.不确定12345678910111213141516√解析 依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，∴l∥m.2.下列说法中，正确的有①如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个√解析 ①不正确，其他三项均正确.123456789101112131415163.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是A.异面 B.平行C.垂直 D.不确定√解析 ∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.123456789101112131415164.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为A.30° B.45°C.60° D.90°12345678910111213141516√5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定12345678910111213141516√解析 易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.6.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.12345678910111213141516垂直解析 在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是______.12345678910111213141516平行解析 如图，∵AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，∴EF与BB1不相交，∴EF∥BB1，又AA1∥BB1，∴EF∥AA1.8.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是______.1234567891011121314151630°解析 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.∴∠PCA＝30°.9.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求证：AC⊥平面BDE；12345678910111213141516证明 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.12345678910111213141516(2)求AE与平面BDE所成角的大小.12345678910111213141516解 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.1234567891011121314151612345678910111213141516证明 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.12345678910111213141516∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.综合运用11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面12345678910111213141516√解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.12.在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心√解析 如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又PA＝PB＝PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，则OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心.1234567891011121314151613.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为A.45° B.60°C.30° D.75°12345678910111213141516√解析 取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.1234567891011121314151614.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_______________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)12345678910111213141516∠A1C1B1＝90°解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)12345678910111213141516拓广探究15.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD 所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角12345678910111213141516√√√解析 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确.1234567891011121314151616.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.12345678910111213141516(1)求证：MN∥平面PAD；证明 取PD的中点E，连接NE，AE，如图.又∵N是PC的中点，又∵DC∥AB且DC＝AB，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?12345678910111213141516解 当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.12345678910111213141516本课结束
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