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人教A版(2019)必修第二册 第八章 再练一课(范围:§8.6)(教学课件)
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这是一份人教A版(2019)必修第二册 第八章 再练一课(范围:§8.6)(教学课件),共29页。
第八章 立体几何初步再练一课(范围:§8.6)基础巩固123456789101112131415161.设三条不同的直线l1,l2,l3,满足l1⊥l3,l2⊥l3,则l1与l2A.是异面直线 B.是相交直线C.是平行直线 D.可能相交、平行或异面√解析 构造长方体,令l3为一侧棱,可知选D.123456789101112131415162.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与lA.平行 B.相交C.垂直 D.互为异面直线√3.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后的△ABC是A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形√解析 如图①,设正方形ABCD的边长为1,AC与BD相交于点O,则△ABC是等边三角形.123456789101112131415164.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则A.α∥γ B.α⊥γC.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能√12345678910111213141516解析 如图,底面ABCD为平面β,四个侧面以及平面A1ACC1,平面B1BDD1任选两个作为α和γ,由图知,A,B,C都有可能,故选D.123456789101112131415165.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是A.A1C1⊥BDB.B1C与BD所成的角为60°C.二面角A1-BC-D的平面角为45°D.AC1与平面ABCD所成的角为45°√√√解析 A1C1⊥B1D1且B1D1∥BD,∴A1C1⊥BD,∴A正确;B1C∥A1D,B1C与BD所成的角即为∠A1DB=60°,∴B正确;∠A1BA即为二面角A1-BC-D的平面角,∠A1BA=45°,∴C正确;CC1⊥平面ABCD,∴∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角,∵CC1≠AC,∴∠C1AC≠45°,∴D错误.123456789101112131415166.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=____.13因为AC=6,BC=8,所以CD=5.因为EC⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以EC⊥CD.123456789101112131415167.若点P为△ABC所在平面外一点,分别连接PA,PB,PC,则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为_____.123456789101112131415164解析 设△ABC为直角三角形,过一锐角顶点A作PA⊥平面ABC,则构成的4个三角形都是直角三角形.8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=2 ,则异面直线BD与AC所成的角为______.60 °解析 取B1C1的中点E,连接DE,BE,∵DE∥A1C1,A1C1∥AC,∴DE∥AC,∴异面直线BD与AC所成的角为∠BDE或其补角,∴△BDE为等边三角形,∴∠BDE=60°.123456789101112131415169.如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC.求证:AM⊥平面EBC.证明 ∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,BC⊥AC,∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE,∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥CE.又BC∩CE=C,BC,CE⊂平面EBC,∴AM⊥平面EBC.1234567891011121314151610.如图,已知斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,(1)求证:EF⊥PB;证明 ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF,又AF⊥PC,又AE⊥PB,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,由三垂线定理得,EF⊥PB.12345678910111213141516(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.证明 由(1)知AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,又PB⊥AE,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,又l⊥平面AEF,∴PB∥l.1234567891011121314151611.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面综合运用√1234567891011121314151612.在空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,则对角线AC与BD的位置关系为A.相交但不垂直 B.垂直但不相交C.不相交也不垂直 D.无法判断√解析 如图,作AO⊥平面BCD,由AB⊥CD,知CD⊥平面ABO,∴BO⊥CD.同理可证DO⊥BC,∴O为△BCD的垂心,∴OC⊥BD,又OA⊥BD,OA∩OC=O,∴BD⊥平面ACO,故BD⊥AC.故选B.1234567891011121314151613.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为A.平行 B.相交C.垂直 D.异面但不垂直12345678910111213141516√12345678910111213141516解析 如图,在四边形ABCD中,∵AB=BC,AD=CD,∴BD⊥AC,∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面AA1C1C,又CC1⊂平面AA1C1C,∴BD⊥CC1,故选C.14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,O为PB的中点,则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为12345678910111213141516√解析 如图,取PC的中点为E,连接EO,则OE∥BC.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,又AC⊥BC,AC∩PA=A,又OE∥BC,∴OE⊥平面PAC,∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角.∴BC⊥平面PAC.∴PA⊥BC.12345678910111213141516拓广探究15.(多选)如图,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,则下列说法中正确的是A.异面直线D1B1与EF所成的角为60°B.三棱锥D1-B1EF的体积为定值C.平面B1EF与平面A1B1C1D1所成的二面角大小 为45°D.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30°12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析 由于EF∥C1D1,因此异面直线D1B1与EF所成的角就是D1B1与C1D1所成的角,为45°,A错误;△D1EF面积不变,B1到平面D1EF即平面D1DCC1的距离不变,因此三棱锥B1-D1EF体积不变,即三棱锥D1-B1EF的体积为定值,B正确;平面B1EF即为平面A1B1CD,∠D1A1D为平面A1B1CD与平面A1B1C1D1所成的二面角的平面角,∠D1A1D=45°,C正确;12345678910111213141516连接AD1交A1D于M,连接B1M,由正方体性质知A1B1⊥AD1,A1D⊥AD1,而A1B1∩A1D=A1,因此AD1⊥平面A1B1CD,因此∠D1B1M是直线B1D1与平面A1B1CD即平面B1EF所成的角,在Rt△MB1D1中,D1M= D1B1,所以∠D1B1M=30°,D正确.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD,PD与底面成45°角,点E是PD的中点.(1)求证:BE⊥PD;1234567891011121314151612345678910111213141516证明 连接AE.因为PA⊥底面ABCD,所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,所以∠PDA=45°.所以PA=DA.又因为点E是PD的中点,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,所以PA⊥AB.因为∠BAD=90°,所以BA⊥DA.又因为PA∩AD=A,所以BA⊥平面PDA.又因为PD⊂平面PDA,所以BA⊥PD.又因为BA∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE,所以BE⊥PD.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求二面角P-CD-A的余弦值.解 连接AC.在直角梯形ABCD中,因为AB=BC=1,AD=2,因为AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD,又因为PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC.1234567891011121314151612345678910111213141516又因为PC⊂平面PAC,所以PC⊥CD,所以∠PCA为二面角P-CD-A的平面角.本课结束
第八章 立体几何初步再练一课(范围:§8.6)基础巩固123456789101112131415161.设三条不同的直线l1,l2,l3,满足l1⊥l3,l2⊥l3,则l1与l2A.是异面直线 B.是相交直线C.是平行直线 D.可能相交、平行或异面√解析 构造长方体,令l3为一侧棱,可知选D.123456789101112131415162.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与lA.平行 B.相交C.垂直 D.互为异面直线√3.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后的△ABC是A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形√解析 如图①,设正方形ABCD的边长为1,AC与BD相交于点O,则△ABC是等边三角形.123456789101112131415164.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则A.α∥γ B.α⊥γC.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能√12345678910111213141516解析 如图,底面ABCD为平面β,四个侧面以及平面A1ACC1,平面B1BDD1任选两个作为α和γ,由图知,A,B,C都有可能,故选D.123456789101112131415165.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是A.A1C1⊥BDB.B1C与BD所成的角为60°C.二面角A1-BC-D的平面角为45°D.AC1与平面ABCD所成的角为45°√√√解析 A1C1⊥B1D1且B1D1∥BD,∴A1C1⊥BD,∴A正确;B1C∥A1D,B1C与BD所成的角即为∠A1DB=60°,∴B正确;∠A1BA即为二面角A1-BC-D的平面角,∠A1BA=45°,∴C正确;CC1⊥平面ABCD,∴∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角,∵CC1≠AC,∴∠C1AC≠45°,∴D错误.123456789101112131415166.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=____.13因为AC=6,BC=8,所以CD=5.因为EC⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以EC⊥CD.123456789101112131415167.若点P为△ABC所在平面外一点,分别连接PA,PB,PC,则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为_____.123456789101112131415164解析 设△ABC为直角三角形,过一锐角顶点A作PA⊥平面ABC,则构成的4个三角形都是直角三角形.8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=2 ,则异面直线BD与AC所成的角为______.60 °解析 取B1C1的中点E,连接DE,BE,∵DE∥A1C1,A1C1∥AC,∴DE∥AC,∴异面直线BD与AC所成的角为∠BDE或其补角,∴△BDE为等边三角形,∴∠BDE=60°.123456789101112131415169.如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC.求证:AM⊥平面EBC.证明 ∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,BC⊥AC,∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE,∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥CE.又BC∩CE=C,BC,CE⊂平面EBC,∴AM⊥平面EBC.1234567891011121314151610.如图,已知斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,(1)求证:EF⊥PB;证明 ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF,又AF⊥PC,又AE⊥PB,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,由三垂线定理得,EF⊥PB.12345678910111213141516(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.证明 由(1)知AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,又PB⊥AE,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,又l⊥平面AEF,∴PB∥l.1234567891011121314151611.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面综合运用√1234567891011121314151612.在空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,则对角线AC与BD的位置关系为A.相交但不垂直 B.垂直但不相交C.不相交也不垂直 D.无法判断√解析 如图,作AO⊥平面BCD,由AB⊥CD,知CD⊥平面ABO,∴BO⊥CD.同理可证DO⊥BC,∴O为△BCD的垂心,∴OC⊥BD,又OA⊥BD,OA∩OC=O,∴BD⊥平面ACO,故BD⊥AC.故选B.1234567891011121314151613.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为A.平行 B.相交C.垂直 D.异面但不垂直12345678910111213141516√12345678910111213141516解析 如图,在四边形ABCD中,∵AB=BC,AD=CD,∴BD⊥AC,∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面AA1C1C,又CC1⊂平面AA1C1C,∴BD⊥CC1,故选C.14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,O为PB的中点,则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为12345678910111213141516√解析 如图,取PC的中点为E,连接EO,则OE∥BC.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,又AC⊥BC,AC∩PA=A,又OE∥BC,∴OE⊥平面PAC,∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角.∴BC⊥平面PAC.∴PA⊥BC.12345678910111213141516拓广探究15.(多选)如图,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,则下列说法中正确的是A.异面直线D1B1与EF所成的角为60°B.三棱锥D1-B1EF的体积为定值C.平面B1EF与平面A1B1C1D1所成的二面角大小 为45°D.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30°12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析 由于EF∥C1D1,因此异面直线D1B1与EF所成的角就是D1B1与C1D1所成的角,为45°,A错误;△D1EF面积不变,B1到平面D1EF即平面D1DCC1的距离不变,因此三棱锥B1-D1EF体积不变,即三棱锥D1-B1EF的体积为定值,B正确;平面B1EF即为平面A1B1CD,∠D1A1D为平面A1B1CD与平面A1B1C1D1所成的二面角的平面角,∠D1A1D=45°,C正确;12345678910111213141516连接AD1交A1D于M,连接B1M,由正方体性质知A1B1⊥AD1,A1D⊥AD1,而A1B1∩A1D=A1,因此AD1⊥平面A1B1CD,因此∠D1B1M是直线B1D1与平面A1B1CD即平面B1EF所成的角,在Rt△MB1D1中,D1M= D1B1,所以∠D1B1M=30°,D正确.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD,PD与底面成45°角,点E是PD的中点.(1)求证:BE⊥PD;1234567891011121314151612345678910111213141516证明 连接AE.因为PA⊥底面ABCD,所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,所以∠PDA=45°.所以PA=DA.又因为点E是PD的中点,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,所以PA⊥AB.因为∠BAD=90°,所以BA⊥DA.又因为PA∩AD=A,所以BA⊥平面PDA.又因为PD⊂平面PDA,所以BA⊥PD.又因为BA∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE,所以BE⊥PD.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求二面角P-CD-A的余弦值.解 连接AC.在直角梯形ABCD中,因为AB=BC=1,AD=2,因为AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD,又因为PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC.1234567891011121314151612345678910111213141516又因为PC⊂平面PAC,所以PC⊥CD,所以∠PCA为二面角P-CD-A的平面角.本课结束
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