2023-2024学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. “买中奖率为1%的奖券100张，一定中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C. 天气预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨
D. “清明时节雨纷纷”为随机事件
3.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从A滑行到B.已知AB=200m，则这名滑雪运动员的高度下降了m．( )
A. 200sinαB. 200csαC. 200tanαD. 200tanα
4.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为( )
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
5.抛物线y=12(x−1)2−3的顶点坐标是( )
A. (12,−3)B. (−1,−3)C. (−1,3)D. (1,−3)
6.如图，P是正△ABC内的一点，若将△BPC绕点B旋转到△BP′A，则∠PBP′的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
7.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
A. I=2R
B. I=3R
C. I=5R
D. I=6R
8.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于点C，则OC的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP：②OA2=OE⋅OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=1116，其中正确结论的是( )
A. ①③④B. ①③C. ②④D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.如果x：y=1：2，那么x+yy=______．
11.已知x=1是方程x2−ax+7=0的一个根，则a的值是______．
12.已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2.(结果保留π)
13.如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为________m2．
14.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE/​/BC，若AD：DB=2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于______．
15.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，△ABC的周长为14，则BC的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：(π−1)0+4sin45°− 8+|−3|．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：3x>−8−x2(x−1)≤6．
18.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为(1,3)、(4,1)、(5,3)，
(1)请以原点O为位似中心，在第一象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1相似比为1：2；
(2)写出点A、B的对应点的坐标A1 ______、B1 ______．
19.(本小题8分)
为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解：C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题．
(1)接受问卷调查的学生共有多少人；
(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)从九年级一班“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20.(本小题8分)
如图是湖南师大附中博才实验中学湘江校区的钟楼，为了测量其高度，小明站在水平地面的点C处，用测角仪测得钟楼顶部A的仰角∠ADE=85°，测得钟楼底部B的俯角∠EDB=30°，若测角仪距地面的高度DC=1m．
(1)求测角仪到钟楼的距离BC(结果保留根号)；
(2)求钟楼的高度AB(结果保留整数)．
(参考数据：sin85°≈0.996,cs85°≈0.087,tan85°≈11.430, 3≈1.732)
21.(本小题9分)
新时代对中小学劳动教育提出了明确要求：把劳动教育纳入人才培养全过程，与德育、智育、体育、美育相融合.为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，湖南师大附中博才实验中学湘江校区的师生们要在一块一边靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形劳动教育基地ABCD，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成(如图所示).若设劳动教育基地的BC边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系；
(2)满足条件的劳动教育基地面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)当x是多少时，劳动教育基地面积y最大？最大面积是多少？
22.(本小题9分)
如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CE=1，BD= 5，tanF=34，求FB⋅FA的值．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．
24.(本小题10分)
定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”.如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED，若∠BDE+∠C=180°，则称DE为△ABC边BC的“幸福线”．
(1)已知DE为BC边的“幸福线”，AD=3，BD=4，AC=5，求AE的长；
(2)如图2，若△ABC内接于⊙O，A为弧BC的中点，DE、EF分别为BC、AB边的“幸福线”，求证：CO⊥EF；
(3)在(2)的条件下，若AB=10，BC=12，如图3过F点作AC的“幸福线”FG交AB于点G，当四边形AGFE面积最大时，求∠ACD的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、“买中奖率为1%的奖券100张，一定中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
C、天气预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，原说法错误，不符合题意；
D、“清明时节雨纷纷”是随机事件，正确，符合题意．
故选：D．
根据随机事件的概念、概率的意义和概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了随机事件、概率的意义和概率公式，正确理解概率的意义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：设运动员高度下降了x(m)，
由题意可知：sinα=hAB，
∴h=200sinα，
故选：A．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选：D．
由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】D
【解析】解：抛物线y=12(x−1)2−3的顶点坐标是(1,−3)．
故选：D．
由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△BPC绕点B旋转到△BP′A，
∴∠PBP′=∠ABC=60°，
故选：B．
由旋转的性质可得∠PBP′=∠ABC=60°．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
由图象可知，函数经过点B(3,2)，
∴2=k3，得k=6，
∴反比例函数解析式为y=6x．
即用电阻R表示电流I的函数解析式为I=6R．
故选：D．
本题考查了用待定系数法确定反比例函数解析式．
观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=kx(k≠0)即可求得k的值．
8.【答案】C
【解析】解：∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=12AB=4，
在Rt△ABC中，OA=5，AC=4，
由勾股定理可得：OC= OA2−AC2= 52−42=3．
故选：C．
由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得AC=12AB=4，在Rt△ABC中，由勾股定理即可得到答案．
本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
AD=AB∠DAP=∠ABQAP=BQ，
∴△DAP≌△ABQ(SAS)，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴AODO=OPOA，
∴AO2=OD⋅OP，
∵AE>AB，
∴AE>AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE⋅OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中，
∠FCQ=∠EBPCQ=BP∠Q=∠P，
∴△CQF≌△BPE(ASA)，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，
AD=CD∠ADC=∠DCEDF=CE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴S△ADF=S△DCE，
∴S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，
即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△PBE∽△PAD，
∴BPBE=PADA=43，
∴BE=34，
∴QE=134，
∵△QOE∽△PAD，
∴OQPA=OEAD=QEPD=1345=1320，
∴QO=135，OE=3920，
∴AO=5−QO=125，
∴tan∠OAE=OEOA=1316，故④错误，
故选：B．
由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD⋅OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE⋅OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=34，QE=134，即可求QO=135，OE=3920，由三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：xy+1=12+1，即x+yy=32．
故答案为：32．
根据合比性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用了和比性质：ab=cd⇒a+bb=c+dd．
11.【答案】8
【解析】解：∵x=1是方程的一个根，
∴1能使方程两边等式成立，
把x=1代入方程有：12−a×1+7=0，
1−a+7=0，
∴a=8，
故答案为：8．
把x=1代入方程就能求出a的值．
本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值．
12.【答案】15π
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可得出答案．
【解答】
解：底面圆的半径为3cm，则底面周长=6π，侧面面积=12×6π×5=15πcm2．
故答案为：15π．
13.【答案】2.4
【解析】解：长方形的面积=3×2=6(m2)，
∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的40%，
∴世界杯图案的面积约为：6×40%=2.4(m2).
故答案为2.4．
本题考查利用频率估计概率．
根据题意求出长方形的面积，利用频率估计概率可得世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系，计算即可．
14.【答案】4：25
【解析】解：∵AD：DB=2：3，
∴AD：AB=2：5，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积是：(ADAB)2=425．
故答案为：4：25．
根据DE/​/BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14，
∴2(BE+CE)=10，
∴BC=5．
故答案为5．
根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质．
16.【答案】解：原式=1+4× 22−2 2+3
=1+2 2−2 2+3
=4．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：3x>−8−x①2(x−1)≤6②，
由①移项得：3x+x>−8，
合并同类项得：4x>−8，
解得：x>−2，
由②去括号得：2x−2≤6，
移项得：2x≤6+2，
合并同类项得：2x≤8，
解得：x≤4，
∴不等式组的解集为−2