2023-2024学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组线段中，是成比例线段的是( )
A. 5cm，6cm，7cm，8cmB. 3cm，6cm，2cm，5cm
C. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 3cm，4cm，6cm，8cm
2.将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是( )
A. y=2(x+2)2+3B. y=2(x+2)2−3
C. y=2(x−2)2−3D. y=2(x−2)2+3
3.《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定.某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 2，2B. 2，2.5C. 2，3D. 3，3
4.抛物线y=ax2+bx−3经过点(1,1)，则代数式a+b的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF=4，则AC的长为( )
A. 23B. 43C. 83D. 163
6.已知反比例函数y=−6x，下列说法中正确的是( )
A. 该函数的图象分布在第一、三象限B. 点(2,3)在该函数图象上
C. y随x的增大而增大D. 该图象关于原点成中心对称
7.如图所示，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是
( )
A. ABAP=ACABB. BCBP=ACAB
C. ∠ABP=∠CD. ∠APB=∠ABC
8.如图，AD是△ABC的高．若BD=2CD=6，tanC=2，则边AB的长为( )
A. 3 2
B. 3 5
C. 3 7
D. 6 2
9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O.若BC=BF=2，则OP的长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 3
D. 2 3
10.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为( )
A. 5
B. 3
C. 52
D. 32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若yx=34，则x+yx=______．
12.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cs∠ABC=______．
13.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(−2 3,0)，与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上，则k= ______．
14.如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D′处，再以EF为对称轴折叠△AEF，使得点A的对应点A与点D′重合，以FG为对称轴折叠△BFG，使得点B的对应点B′落在CF上.则
(1)∠EFG= ______；
(2)若∠A=60°，AB=2，则FGCE的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：(12)−1−tan60°−| 3−2|+(π−2023)0．
16.(本小题8分)
如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A(−2,−4)，B(−6,−2)，C(−4,−6)．
(1)做出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比是1：2．
17.(本小题8分)
已知抛物线y=x2−(2m−1)x+m2−m．
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
18.(本小题8分)
如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)
19.(本小题10分)
如图，已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象在第一象限内相交于点A(1,−k+4)．
(1)试确定这两个函数的表达式；
(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式kx≥x+b的解集．
20.(本小题10分)
观察如图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

(1)在④后面的横线上写出相应的等式：
①1=12；
②1+3=22；
③1+3+5=32；
④ ______；
⑤1+3+5+7+9=52；…
(2)请写出第n个等式：______；
(3)利用(2)中的等式，计算：41+43+45+…+199．
21.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
(1)求BD的长；
(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
22.(本小题12分)
某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为40元/件，每销售一件需缴纳平台推广费10元，当该款小电器每件售价为60元时，每天销售量为60件；当每件售价涨价1元时，每天销售量减少2件；为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于85元/件．
(1)若当天价格涨价x元时，可获利600元，求x的值．
(2)销售经理说：“当天销售量最大，则当天的总利润最大．”你认为对吗？请说明理由．
23.(本小题14分)
问题提出
如图(1)，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
(1)先将问题特殊化如图2，当点D，F重合时，直接写出表示AF，BF，CF之间的数量关系的等式：______；
(2)再探究一般情形如图1，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立．(提示：过点C作CG⊥CF，交BF于点G)
问题拓展
如图3，若△ABC和△DEC都是含30°的直角三角形，有∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠EDC=90°，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、5×8≠6×7，故选项不符合题意；
B、3×5≠6×2，故选项不符合题意；
C、2×8≠4×6，故选项不符合题意；
D、3×8=4×6，故选项符合题意．
故选：D．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位所得函数的解析式为y=2(x−2)2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2(x−2)2的图象再向下平移3个单位所得函数的解析式为y=2(x−2)2−3．
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：这组数据2，2，2，3，3，4，5中2出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为2，
中位数为3．
故选：C．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)的图象经过点(1,1)，
∴a+b−3=1，
∴a+b=4，
故选：C．
把点(1,1)代入函数解析式即可求出a+b的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AC：DF=2：3，
∴AC：4=2：3，
则AC=83．
故选：C．
位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵反比例函数y=−6x中−6<0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B.把(2,3)代入y=−6x得：左边=3，右边=−3，左边≠右边，
∴点(2,3)不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C.∵反比例函数y=−6x中−6<0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D.反比函数y=−6x的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
根据相似三角形的判定定理(①有两角分别相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似)逐个进行判断即可．
本题考查了相似三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
【解答】
解：A、∵∠A=∠A，ABAP=ACAB，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、根据BCBP=ACAB和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：∵2CD=6，
∴CD=3，
∵tanC=2，
∴ADCD=2，
∴AD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB= AD2+BD2= 62+62=6 2，
故选：D．
利用三角函数求出AD=6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，
∴PB=AB，AC=CF=CB+BF=4，∠F=∠C=90°，∠PBA=90°，
∴∠FOB+∠FBO=90°，∠ABC+∠FBO=90°
∴∠FOB=∠ABC，
∴△FOB∽△CBA，
∴ACBF=BCOF，
即42=2OF，
∴OF=1，
在Rt△FBO中，由勾股定理得，
OB= OF2+BF2= 12+22= 5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB= BC2+AC2= 22+42=2 5，
∴OP=PB−OB= 5，
故选：A．
根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾股定理分别求出OB，PB进而可求．
本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质与判定，利用正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF/​/BC，
∴EO//AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴BEAB=OEAF=BOBF=12，
∴BE=12AB=AE．
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF．
∴EF=2.5，
∵EF/​/BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴EGBC=AGAC=AEAB=12，∠AGE=∠ACB=90°，
∴EG=12BC=1.5，AG=12AC=2，
∴GF=EF−EG=1．
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴AF= AG2+GF2= 22+12= 5．
故选：A．
连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G.根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，再证明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再证明△AGE∽△ACB，EG=12BC=1.5，AG=12AC=2，从而再由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
11.【答案】74
【解析】解：∵yx=34，
∴y=34x，
∴x+yx=x+34xx=74．
故答案为：74．
直接利用已知得出y=34x，再代入比例式求出答案．
此题主要考查了比例的性质，得出y=34x是解题关键．
12.【答案】2 55
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，
∴AD=2，BD=4，
∴AB= 22+42=2 5．
∴cs∠ABC=42 5=2 55．
故答案为：2 55．
找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．
此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13.【答案】−3 3
【解析】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE=DO，CD=EO，
∵A(−2 3,0)，
∴AO=2 3，
由折叠得，AC=AO=2，∠CAO=2∠BAO=60°，
∴Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=12AC= 3，CD= (2 3)2−( 3)2=3
∴DO=AO−AD=2 3− 3= 3，OE=3，
又∵点C在第二象限，
∴C(− 3,3)，
∵点C在双曲线y=kx(k≠0)上，
∴k=− 3×3=−3 3，
故答案为：−3 3．
先过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，构造矩形CDOE，再根据折叠的性质求得AC=2 3，∠ACD=30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得AD与CD的长，得出点C的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
本题以折叠问题为背景，主要考查了直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形求出点C的坐标．
14.【答案】90° 35
【解析】解(1)由折叠可知：∠AFE=∠A′FE，∠A′FG=∠BFG，
∵∠AFE+∠A′FE+∠A′FG+∠BFG=180°，
∴∠B′FG+∠A′FE=90°，
∴∠EFG=90°；
故答案为：90°；
(2)如图，过点C作CH⊥AB延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD/​/CB，
∴∠CBH=∠A=60°，
设菱形ABCD的边长为2x，
∴BH=x，
∴CH= 3x，
设AF=A′F=a，
则BF=AB−AF=2x−a，
CF=CD′+A′F=CD+AF=2x+a，
FH=BF+BH=2x−a+x=3x−a，
在Rt△CFH中，根据勾股定理得：
FH2+CH2=CF2，
∴(3x−a)2+( 3x)2=(2x+a)2，
解得a=0.8x，
∴CD′=2x，B′F=2x−a=1.2x，
∵△ECD′∽△FGB′，
∴FGCE=B′FCD′=1.2x2x=1.22=0.61=35．
故答案为：35．
(1)根据菱形性质和折叠性质证明即可；
(2)过点C作CH⊥AB延长线于点H，设菱形ABCD的边长为2，设AF=A′F=a，根据勾股定理可得a=0.8，然后根据△ECD′∽△FGB′，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：(12)−1−tan60°−| 3−2|+(π−2023)0
=2− 3−(2− 3)+1
=2− 3−2+ 3+1
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；

【解析】(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出△ABC缩小后的图形△A2B2C2；
(3)依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出对应点D2的坐标．
此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：令y=0得：x2−(2m−1)x+m2−m=0，
∵△=(2m−1)2−4(m2−m)×1
=(4m2−4m+1)−(4m2−4m)
=1>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)解：令x=0，根据题意有：m2−m=−3m+3，
解得m=−3或1．
【解析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．
(1)根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△>0即可；
(2)根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
18.【答案】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，
∴CO=AO⋅tan60°=100 3(米)．
设PE=x米，
∵tan∠PAB=PEAE=12，
∴AE=2x．
在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100 3−x，PF=OA+AE=100+2x，
∵PF=CF，
∴100+2x=100 3−x，
解得x=100( 3−1)3(米)．
答：电视塔OC高为100 3米，点P的铅直高度为100( 3−1)3(米)．
【解析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
19.【答案】解：(1)把A(1,−k+4)代入y=kx中，得−k+4=k1，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x，
A点的坐标为(1,2)，
把A(1,2)代入y=x+b中，得2=1+b，
∴b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)联立方程组y=x+1y=2x，
解得，x=1y=2或x=−2y=−1，
∴B(−2,−1)，
令y=0，则y=x+1=0，得x=−1，
∴C(−1,0)，
∴OC=1，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×2+12×1×1=32；
(3)由函数图象可知，直线在双曲线下方时，x<−2或0∴不等式kx≥x+b的解集是x≤−2或0【解析】(1)先把A点坐标代入反比例函数的解析式中便可求得k，进而把求得的A点坐标代入一次函数的解析式中便可求得一次函数；
(2)联立方程组便可求得B点的坐标，求出OC，再由△AOC和△BOC的面积和，便可求得结果；
(3)根据直线在双曲线上方部分的x的取值范围进行解答．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求三角形面积，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．
20.【答案】1+3+5+7=42 1+3+…+(2n−1)=n2
【解析】解：(1)根据题意可知：④1+3+5+7=42．
故答案为：1+3+5+7=42；
(2)∵1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，
∴1+3+…+(2n−1)=n2．
故答案为：1+3+…+(2n−1)=n2；
(3)41+43+45+…+199=(1+3+…+199)−(1+3+…+39)=1002−202=9600．
(1)观察图形的变化情况即可填空；
(2)结合(1)即可得第n个等式；
(3)结合(2)的规律进行计算即可．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
21.【答案】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AD/​/BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴MDCB=DNBN，
∵M为AD中点，
∴MD=12AD=12BC，即MDCB=12，
∴DNBN=12，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x−1，
∴x+1=2(x−1)，
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
(2)∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S△MND=12S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6
∴S四边形ABNM=S△ABD−S△MND=6−1=5．
【解析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
(2)由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN.已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD−S△MND求解．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意得：(60+x−40−10)(60−2x)=600，
整理得：2x2−40x=0，
解得x1=0，x2=20，
此时60+x=60或80，
∵销售价格不得低于75元/件且不得高于85元/件，
∴x=20；
(2)对，理由：
设当天的销售量为y件，利润为w元，
根据题意得：y=60−2x，
w=(60+x−40−10)(60−2x)=(x+10)(60−2x)=−2x2+40x+600=−2(x−10)2+800，
∵销售价格不得低于75元/件且不得高于85元/件，
∴75≤x+60≤85，
∴15≤x≤25，
∵−2<0，
∴当x=15时，w最大，最大值为750，
∵y=60−2x，
∴当x=15时，y有最大值，最大值为30，
∴经销商说的对．
【解析】(1)用销售量×每件的利润=600列出关于x的方程，解方程即可；
(2)直接利用销量×每件的利润=总利润进而得出函数关系式，然后根据二次函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值，并确定此时x的值；再根据销售量的函数解析式求销售量取最大值时x的值，然后判断即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
23.【答案】BF−AF= 2CF
【解析】问题探究：(1)解：结论：BF−AF= 2CF；
理由：如图(2)，∵∠ACD+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵BC=AC，EC=DC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
而点D、F重合，故BE=AD=AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE=EF= 2CF，
则BF=BD=BE+ED=AF+ 2CF；
即BF−AF= 2CF；
故答案为：BF−AF= 2CF；
(2)证明：如图(1)，由(1)知，△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAF=∠CBE，BE=AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，
∴∠ACF=∠BCG，
∵∠CAF=∠CBE，BC=AC，
∴△BCG≌△ACF(ASA)，
∴GC=FC，BG=AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF= 2CF，
则BF=BG+GF=AF+ 2CF，
即BF−AF= 2CF；
问题拓展：解：结论：BF− 3AF=2FC．
理由：∵△ABC和△DEC都是含30°的直角三角形，
∴BC= 3AC，EC= 3CD，
∴BCAC=ECCD= 3，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD=∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
由(2)知，∠BCG=∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴BGAF=BCAC=GCCF= 3，
则BG= 3AF，GC= 3FC，
在Rt△CGF中，GF= GC2+FC2=2CF，
则BF=BG+GF= 3AF+2FC，
即BF− 3AF=2FC．
问题探究：(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)，则△CDE为等腰直角三角形，故DE=EF= 2CF，进而求解；
(2)由(1)知，△ACD≌△BCE(SAS)，再证明△BCG≌△ACF(ASA)，得到△GCF为等腰直角三角形，则GF= 2CF，即可求解；
问题拓展：证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到BGAF=BCAC=GCCF= 3，则BG= 3AF，GC= 3FC，进而求解．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．