【开学摸底考】高三数学 （北京专用）-2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考试卷.zip

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 1B. 5C. 10D. 20
4. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D. 4
9. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A.3.5B.4C.4.5D.5
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为__________.
12. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则
13. 已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是__________；直线与双曲线相交于，两点，则__________.
14. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为___，最大值为___．
15. 设，函数给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③当时，直线与曲线恰有3个交点；
④存在正数及点和，使.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （满分13分）已知函数的图象过原点.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
17.（满分14分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点为中点．
（1）求证：// 平面；
（2）点为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
（满分14分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
（满分14分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程.
20. （满分15分）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线为轴，求的值；
（2）讨论在区间内极值点的个数；
（3）若在区间内有零点，求证：.
21. （满分15分）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列；
（2）当时，证明：；
（3）当为奇数时，记的最大值为，求.场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11