高二数学开学摸底考 01（上海专用）（沪教版2020必修三+选修一）-2023-2024学年高二数学下学期开学摸底考试卷.zip

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 两平面、相交于过点的一条直线 ．
2. ， ． 3. 7 ． 4. ．
5. ；1． 6. ． 7. ． 8. 33 ．
9. ． 10. ． 11. ． 12. ， ．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
三、解答题（本大题共有5题，17-20题每题15分，21题16分，满分76分）
17（15分）解：（1）估计这100位居民月均用水量的样本平均数：
．
样本方差．
（2）月均用水量超过3吨的人数占全部人数的百分比为：，
该地区居民每人的月均用水量符合“月均用水量超过3吨的人数不能占全部人数”的规定．
18.（15分）解：（1）根据题意，，
，
由于，则，
则；
（2）证明：由（1）的结论：，，，
则有，则向量、、共面，必有，，，四点共面．
19.（15分）解：（1）由题意可得，（万元），（万元）；
（2）设第年太空椅获利万元，办公桌获利万元，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故第2006年两产品获利最小；
（3）由，
令，则有，即，
解得或（舍去），
，当时，，
当时，，
故至少经过7年即可超过预期计划．
20（15分）（1）证明：中，，是中点，，
且．
在中，连接，
，
且，
在中，，，，
，故．
平面；
（2）解：取中点，连接、、，
中，、分别为、中点，
，且．
在中，、分别为、的中点，
且．
异面直线与所成角等于（或其补角）．
又是斜边上的中线，
，
等腰中；
（3）解：如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，，，
，，
则，即．
令，得．
又，
点到平面的距离．
21.（16分）解：（Ⅰ），，其中，．
当时，，同理可得，．
（Ⅱ）假设存在实数，使，，构成公差不为0的等差数列，
则，
即，
，即．
，．
将，代入上式，解得．
经检验，此时，，构成公差不为0的等差数列．
存在得，使，，构成公差不为0的等差数列．
（Ⅲ），
又，令．
由，
，
，
将上述不等式相加，得，即．
取正整数，就有．
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