高二数学开学摸底考 01（人教B版2019选择性必修第一册+第二册）-2023-2024学年高二数学下学期开学摸底考试卷.zip

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC10．ABC11．ABD12．ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．22514．-215．1216．②③
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】(1)16
(2)24
(3)-15
【分析】（1）利用赋值法计算即可；
（2）直接利用二项式定理计算即可；
（3）利用赋值法结合（1）计算即可.
【详解】（1）令x=0得a0=0-24=16；分
（2）由二项式展开式可知：x-24中含x2的项为：T3=C42⋅x2×-22=24x2⇒a2=分
（3）令x=1，可得，a0+a1+a2+a3+a4=1，分
代入a0=16，可得a1+a2+a3+a4=-分
18．（12分）
【解析】(1)x-12+y-12=2；
(2)PQ=6
【分析】（1）设圆的标准方程代入三点坐标计算即可；
（2）利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算即可.
【详解】（1）设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
因为圆M过O,A,B三点，所以a2+b2=r22-a2+b2=r22-a2+2-b2=r2⇒a=1b=1r2=2，分
则圆M的标准方程为x-12+y-12=分
（2）由上可知圆M的圆心M1,1,半径r=分
设圆心到直线y=x-1的距离为d，则d=1-1-112+12=分
由垂径定理有：PQ2=r2-d2=2-12=分
∴PQ=分
19．（12分）
【解析】(1)x=12,y=-12,z=0
(2)33535
【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到EF=12B1B-12B1C1，结合EF=xB1B+yB1C1+zB1A1，即可求解；
（2）以A1为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得B1C=2,-4,6和平面AEF的法向量为n=3,0,1，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得EF=AF-AE=12AB-12AA1+AC =-12AA1+12AB-AC=12B1B-12B1C1，分
又由EF=xB1B+yB1C1+zB1A1，所以x=12,y=-12,z=0，分
（2）解：以A1为坐标原点，A1C1,A1B1,A1A所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，分
如图所示，则A0,0,6,C2,0,6,B10,4,0,E1,0,3,F0,2,6，分
所以B1C=2,-4,6,AE=1,0,-3,AF=0,2,0．分
设平面AEF的法向量为n=x,y,z，则n⋅AE=x-3z=0n⋅AE=2y=0，
取x=3，可得y=0,z=1，所以n=3,0,1，分
设B1C与平面AEF所成的角为θ，可得sinθ=B1C⋅nB1C|n|=12214×10=33535．分

20．（12分）
【解析】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有A44种排法，分
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有A44种排法，分
由分步乘法计数原理，共有A44×A44=24×24=576种排法；分
（2）先将3名男生排好，共有A33种排法，分
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有A44种排法，分
再由分步乘法计数原理，共有A33×A44=6×24=144种排法；分
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有A44种排法，分
由于甲乙相邻，则有A22种排法，分
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有A52种排法，分
由分步计数原理，共有A44×A52×A22=24×20×2=960种排法. 分
21．（12分）
【解析】(1)证明见解析
(2)46633
【分析】（1）取线段OB的中点N，连接PN，证明PN//平面CDB，连接MN，证明MN//平面CDB，利用面面平行的判定定理证明平面PMN//平面CDB，即可证明PM//平面CDB.
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值后利用同角三角函数基本关系求二面角的正弦值.
【详解】（1）取线段OB的中点N，连接PN．
因为PC//OB,PC=12OB，所以PC//NB且PC=NB，分
因此四边形PCBN是平行四边形，所以PN//CB，
又CB⊂平面CDB,PN⊄平面CDB，所以PN//平面CDB，分
连接MN，因为AN=3NB,AM=3MD，所以MN//BD，
又BD⊂平面CDB,MN⊄平面CDB，所以MN//BD平面CDB，分
而PN∩MN=N,PN,MN⊂平面PMN，
所以平面PMN//平面CDB，
又PM⊂平面PMN，所以PM//平面CDB；分
（2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，分
则A2,0,0,P0,0,22,B-2,0,0,D-1,3,0，分
于是AP=-2,0,22,PD=-1,3,-22,PB=-2,0,-22，分
设平面APD的法向量为n1=x1,y1,z1，
则AP⋅n1=0PD⋅n1=0，得-2x1+22z1=0-x1+3y1-22z1=0，
取x1=2，可得n1=2,6,1，分
设平面PDB的法向量为n2=x2,y2,z2，
则PB⋅n2=0PD⋅n2=0，得-2x2-22z2=0-x2+3y2-22z2=0，
取x2=2，可得n2=2,-63,-1，分
所以csn1,n2=n1⋅n2n1n2=-13×113=-3333，分
故二面角A-PD-B的正弦值为1-cs2n1,n2=1--33332=46633．分
22．（12分）
【解析】(1)12
(2)存在，x+63y+1=0或x-63y+1=0
【分析】（1）由7AF=2AB可得7a=2a2+b2，从而求得a=2，进而即可求得C1椭圆的离心率；
（2）结合（1）可得C1椭圆的标准方程为x24+y23=1，由题可知C2的方程为y2=-4x，假设存在符合题意的直线，设该直线为x=ky-1，Px1,y1，Qx2,y2，Mx3,y3，Nx4,y4，分别联立直线与C1和C2，再利用韦达定理，面积关系，进而即可求解．
【详解】（1）因为7AF=2AB，所以7a=2a2+b2，分
又右顶点B2,0，得a=2，则b2=3，所以c=1，分
所以C1椭圆的离心率为e=ca=12．分
（2）存在．
结合（1）可得C1椭圆的标准方程为x24+y23=1，分
由题可知C2的方程为y2=-4x，分
假设存在符合题意的直线，设该直线为x=ky-1，Px1,y1，Qx2,y2，Mx3,y3，Nx4,y4，
联立x=ky-1x24+y23=1，消x整理得3k2+4y2-6ky-9=0，分
则y1+y2=6k3k2+4，y1y2=-93k2+4，所以y1-y2=y1+y22-4y1y2=12k2+13k2+4，分
联立x=ky-1y2=-4x，消x整理得y2+4ky-4=0，分
则y3+y4=-4k，y3y4=-4，所以y3-y4=4k2+1，分
若S△OPQ=12S△OMN，则y1-y2=12y3-y4，解得k=±63，分
所以符合题意的直线为x+63y+1=0或x-63y+1=0．分
1
2
3
4
5
6
7
8
A
A
B
A
A
C
B
C