高二数学开学摸底考 （北京专用，范围：人教A版2019选一+选二全部）-2023-2024学年高二数学下学期开学摸底考试卷.zip

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第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13． 14．0 15．①②③
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13分）
【解析】（1）函数的导数为．
令，解得，．分
由，得，即的单调递增区间为，分
由，得或，即的单调递减区间为，．分
的极大值点，极小值点．分
（2）列表：当x变化时，，的变化表为：
当时，，分
当时，，分
当时，．分
∴在区间上的最大值为63，最小值为分
17.（满分14分）【解析】（1）设圆的方程为；分
由已知可得：，所以圆的方程为；分
把点代入上式，得，解得，分
所以圆的标准方程为：分
（2）证明：直线：，可化为，分
又，所以，解得，即直线恒过定点分
而，所以定点在圆内，分
故直线：与圆相交分
（3）由题意，直线被圆截得弦长最短时，直线，分
设直线的斜率为，且直线的斜率为，分
所以，得，
故的方程为，即为分
圆心到的距离为，分
此时弦长为：分
（满分14分）
【解析】（1）证明：
,分
又，分
∴数列是首项为，公差为的等差数列．分
（2）由（1）知，分
因为，所以分
∴数列的通项公式为分
（满分14分）
【解析】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，分
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,分
设平面的一个法向量为，
则，令，则，分
因为，所以，分
因为平面，所以平面；分
（II）由（1）得，，分
设直线与平面所成角为，
则；分
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，分
则，分
所以二面角的正弦值为分
20.（满分15分）
【解析】（1）因为，所以，分
则，分
所以，切线方程为即分
（2）由（1）知，.
①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点分
②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点分
③当时，在区间上小于零，在区间上大于零，分
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
而分
当，即时，在区间上有两个零点分
当，即时，在区间上有一个零点分
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点分
21.（满分15分）
【解析】（1）由已知可得，且C的另一焦点坐标为，设为，分
所以有，分
所以，所以，所以C的方程为分
（2）
设l：，代入C整理可得：，分
设，，则 ①，②，分
由，可得，分
③，分
由①②③可得：，分
恒成立，所以，为定值．分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
B
A
B
C
B
B
C
x
0
－
0
＋
极小值