高二数学开学摸底考（理科全国甲卷、乙卷专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设（是虚数单位），则复数的虚部是
A．1B．-1C．D．
2．下列结论正确的是 （ ）
① “”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
②随机变量服从正态分布，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A．③④B．①②C．①③④D．①④
3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号（ ）．
A．478B．324C．535D．522
4．已知是不同的直线，是不同的平面，命题：（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则；（4）若，，则；（5）若，，则，错误命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若函数在上的最大值为，最小值为，则( )
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．直线被圆所截得弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．，则（ ）
A．31B．1023C．1024D．32
9．已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，连接，若直线，，与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，，点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是
A．甲类水果的平均质量
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若回归方程，则变量与正相关
B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4
D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3
12．已知点，，分别为椭圆的左､右顶点，，两点均在轴左侧且在椭圆上运动(均不与重合).若点，关于轴对称的点分别为，，直线与相交于点，直线与相交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则 ．
14．已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 .
15．在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.进行1局投篮比赛，甲获胜的概率为 ；设共进行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则的数学期望 .
16．已知是双曲线的左，右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为3，为的第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知圆：，直线：.
（1）证明直线总与圆相交；
（2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程；
（3）当时，直线与圆交于、两点，求过、两点在轴截得弦长为的圆的方程
18．（12分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：
附：．
(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？
(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．
19．（12分）第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；
(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
20．（12分）已知，，圆，点在圆上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与曲线交于Q，R两点，且，求直线的方程.
21．（12分）如图，三棱柱中，，，，点满足.
(1)求证：平面平面.
(2)若，是否存在，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其中右焦点坐标为，该椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线l与椭圆交于异于点P的A，B两点，若的面积是，求直线l的方程．更关注保暖性能
更关注款式设计
合计
女性
160
80
240
男性
120
40
160
合计
280
120
400
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635