河南省洛阳市瀍河回族区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省洛阳市瀍河回族区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线D． 斐波那契螺旋线
2．若的半径为，，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外B．点在上C．点在内D．不能确定
3．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票， 中奖B．经过有交通信号灯的路口， 遇到红灯
C．2022 年元旦是晴天D．在地面上向空中抛掷一石块， 石块终将落下
4．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ ）

A．B．C．D．
6．二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，函数有最小值
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ）
A．6πB．5πC．3πD．2π
8．如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（ ）
A．36°B．30°C．25°D．22.5°
9．已知，是抛物线上两点，当且时，总有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段B，下列结论：①△BA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③∠AOB=150°；④四边形AOB的面积是6+3；⑤+=6+，其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为 ．
12．为了估计池塘里有多少条鱼，先从池溏里捕捞条鱼做上记号，然后放回池塘里去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，若其中有条有标记，那么估计池塘里大约有鱼 条．
13．已知a是关于x的方程的一个根，则 ．
14．如图，在矩形中，，．矩形绕点逆时针旋转一定角度得到矩形．若点的对应点落在边上，则的长为 ．
15．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为 ．
三、解答题
16．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
17．“2022卡塔尔世界杯”已经闭暮，足球运动备受人们的关注．某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有___人，条形统计图中m的值为___；
(2)若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识“不了解”和“了解很少”的总人数为___人；
(3)若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
18．已知二次函数图象经过．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设点在该二次函数图象上，求的最小值．
19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度），

（1）在正方形网格中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．
（2）求出线段OA旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
20．如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，桥的跨径为，此时水位在处，在水面以上的桥墩都为，桥拱最高点P离水面．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求此桥拱所在抛物线的表达式．
(2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
21．如图，与的边相切于点B，与边相切于点D，与边交于点E，是的直径．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
22．某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
23．如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝2，DE，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H．
（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；
（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；
（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外，根据点到圆心的距离即可得出答案．
【详解】解：∵点到圆心的距离大于圆的半径，
∴点在圆外，
故：．
3．D
【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义分析判断即可．
【详解】A、购买彩票中奖是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
C、2022年元旦是晴天是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下是必然事件，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的区分，牢记相关的内容并能灵活应用是解题关键．
4．D
【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0，
解得：m=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
5．A
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
【详解】连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°−∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选A．

【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．D
【分析】由图象可知，，当时，抛物线的对称轴为直线，对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，，选项A、C错误，故不符合题意；
当时，选项B错误，故不符合题意；
该抛物线的对称轴为直线，该函数在对称轴处取最小值，选项D正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
7．D
【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOB所对弧的长度==2π．
故选D．
8．B
【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，
由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α
∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，
∴OA=OB=OG=BG=AB，
∴△OAB和△OBG都是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBG=60°，
∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），
∴∠CBG=30°，
∴α=30°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，得出关于m的不等式是解题的关键；
由抛物线解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线，由题意可知，解得．
【详解】抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，是抛物线上两点，当且时，总有，
，
．
故选：B
10．C
【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O′′点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．
【详解】由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC(SAS)，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O′′点．
则△AOO′′是边长为3的等边三角形，△COO′′是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO''=S△COO''+S△AOO''=×3×4+×32=6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故答案为①②③⑤．
故选：C
【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质．
11．
【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
【详解】∵抛物线,
∴抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
12．
【分析】捕捞300条鱼，发现其中15条有标记，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，由此即可解答．
【详解】设该池塘里现有鱼x条，由题意知，
，
∴x=2000.
∴估计池塘里大约有鱼2000条.
故答案为2000.
【点睛】本题考查了用样本估计总体的统计思想，在选取样本时一定要使样本足够大, 以提高估计的真实性．
13．
【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，解决本题的关键是能够根据要求的问题对得到的等式进行变形；将代入方程中，然后将得到的等式进行变形即可求得答案．
【详解】a是关于x的方程的一个根，
，
，
故答案为：
14．1
【分析】由旋转的性质可得，，在中，利用勾股定理解得的长即可解题．
求出的长，即可得到结论．
【详解】解：，
由旋转的性质可得，，
又中，
故答案为：1．
【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得，，（不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
16．（1），；（2），
【分析】（1）根据一元二次方程的求根公式，即可求解；
（2）根据一元二次方程的直接开平方法，即可求解．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴，
∴原方程的解是: ，．
（2）∵，
∴，
∴，，
，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握求根公式和直接开平方法，是解题的关键．
17．(1)50；7
(2)510
(3)
【分析】（1）由“基本了解”的人数及其所占百分比即可求出总人数，总人数减去前三种了解程度的人数即可求出m的值；
（2）用总人数1500乘以达到“不了解”和“了解很少”程度的人数所占的比例即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有，（人）；
条形统计图中m的值为：（人）；
故答案为：50；7．
（2）解：达到“不了解”和“了解很少”程度的总人数为：（人）；
故答案为：510．
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．(1)
(2)3
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法，把二次函数的一般式化为顶点式是解决问题的关键.
（1）把点A的坐标代入解析式求出c即可得到结论;
（2）把点代入二次函数解析式得到，代入，求二次函数的最值即可.
【详解】（1）二次函数图象经过，
，
二次函数的表达式为；
（2）点在该二次函数图象上，
，
，
，开口向上
的最小值为3
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）利用扇形的面积公式计算．
【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）线段OA旋转过程中所扫过的面积＝＝π．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．(1)抛物线解析式为
(2)此船不能通过桥洞，理由见解析
【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
（2）求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：此船不能通过桥洞，理由如下：
当时，即，
解得或，
∵，
∴此船不能通过桥洞．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）先利用勾股定理得到，则，再证明，则利用相似比可求出，然后利用得出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，
与的边相切于点B，与边相切于点D，
，，
在和中，
，
，
∵，
，
，
；
（2）在中，
，
，
∵，
，
，即，
解得：，
，
．
22．(1)
(2)40元或60元
【分析】（1）利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；
（2）根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价.
【详解】（1）解：当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为
把（20，60），（80，0）代入，得，
解得，
∴
（2）由题意得，
解得，，
答：销售单价定为40元或60元时，销售总利润达到800元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEF，则AE=DF，由AD是圆O的直径，得到∠AED=90°，则；
（2）连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，由题意可知H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，如图所示，当H运动到的位置时，即此时，B，K三点共线，BH有最大值，由此求解即可；
（3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，先证四边形BCHN是平行四边形，得到HT=BN，再证△AME∽△BNE，得到BN=4AM，即可推出CH-4AM=CH-HT=CT，又由 即可得到当直线l与直线BC垂直时，，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接DF，
∵AD∥l，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AE=DF，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴；
（2）如图所示，连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，
∵CH⊥EH，
∴∠CHE=90°，
∴H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，
∵，
∴如图所示，当H运动到的位置时，即此时，B，K三点共线，BH有最大值，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴BE=AB-AE=4，∠CDE=∠AED=90°，∠DCE=∠MEK，
∴，
∴，
∵∠CDE=∠EMK=90°，
∴△CDE∽△EMK，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴BH的最大值为；

（3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，
∵BN⊥l，CH⊥l，
∴BN∥CH，
∴四边形BCHN是平行四边形，
∴HT=BN，
同理可证AM∥BN，
∴△AME∽△BNE，
∴，
∴BN=4AM，
∴HT=4AM，
∴CH-4AM=CH-HT=CT，
又∵
∴当直线l与直线BC垂直时，，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴CH-4AM的最大值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．