安徽省合肥市第七中学紫蓬分校（肥西农兴中学）2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份安徽省合肥市第七中学紫蓬分校（肥西农兴中学）2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．复数5i1-2i的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法中，正确的是
A．若|a|=|b|，则a=bB．若a=b，则|a|=|b|
C．若|a|>|b|，则a>bD．若|a|=0，则a=0
3．已知向量a=-1,2，b=3,1，则a⋅a-b=（ ）
A．2B．4C．6D．-6
4．如图，四边形OADB是以向量OA=a，OB=b为边的平行四边形.又BM=13BC，CN=13CD，则用a，b表示MN=（ ）
A．16a+56bB．23a+bC．12a-16bD．12a+16b
5．下列说法正确的是（ ）
A．等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥
B．过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径
C．棱锥的侧棱一定相等
D．正三角形的平面直观图一定是等腰三角形
6．在△ABC中，若∠A=60°，b=1，其面积为3，则a+b+csinA+sinB+sinC=（ ）
A．33B．2393C．2633D．392
7．已知向量a=2，b=1，且向量a在向量b上的投影向量为：-bb，则a+3b=（ ）
A．2B．22C．7D．3
8．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A．1:2:3B．1:2:3C．1:2:3D．2:3:6
二、多选题
9．已知i为虚数单位，复数z满足zi-2=i2022，则下列说法错误的是（ ）
A．复数z的模为15B．复数z的共轭复数为-25-15i
C．复数z的虚部为15iD．复数z在复平面内对应的点在第一象限
10．下列说法正确的是（ ）
A．向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B．若a//b，则存在唯一实数λ使得b=λa
C．已知a=1,3,b=1,1，则a与a+λb的夹角为锐角的充要条件是λ∈-52,0∪0,+∞
D．在△ABC中，D为BC的中点，若ABAB+ACAC=λAD，则BD是BA在BC上的投影向量
11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA>csB恒成立
C．若sin2A+sin2B+cs2C<1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为34或32
12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）

A．有水的部分始终呈棱柱状B．水面四边形EFGH的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面EFGH平行D．若E∈AA1，F∈BB1，则AE+BF是定值
三、填空题
13．设向量a=-1,2，b=2,t，若a⊥b，则t= ．
14．若i5=a+bia,b∈R，则a+b的值为 ．
15．如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上的一点，若AP→=311AB→+mAC→，则实数m的值为 .
16．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为V=13π(3R-H)H2，其中R为球的半径，H为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能.它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别4和2，高为6，球缺所在球的半径为5，则该组合体的体积为 ．

四、解答题
17．计算：
(1)i1+i-2-3i2+3i；
(2)1+2i2+5+3i1+i+i2021．
18．已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)⋅(a+b)=12.
（1）求|b|；
（2）当a⋅b=12时，求向量a与b的夹角θ的值.
19．如图，在△OAB中，P为边AB上的一点BP=2PA，OA=6，OB=2且OA与OB的夹角为60°.
（1）设OP=xOA+yOB，求x，y的值；
（2）求OP⋅AB的值.
20．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C得对边，且b=acsC+3csinA.
(1)求A；
(2)若a=2,b=3c，求△ABC的面积.
21．如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，

(1)画出它的原图形，
(2)若A'C'=2,△A'B'C'的面积是32，求原图形中AC边上的高和原图形的面积.
22．已知半圆圆心为O点，直径AB=8，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若PA=34CA-14CB，求PA与CB夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使PA⋅PO取得最小值，并求此最小值.
参考答案：
1．C
【分析】化简5i1-2i=-2+i，其共轭复数为-2-i，在复平面中对应的点坐标为(-2,-1)，即得解
【详解】由题意，5i1-2i=5i⋅(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-10+5i5=-2+i
其共轭复数为-2-i
在复平面中对应的点坐标为(-2,-1)，位于第三象限
故选：C
【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念以及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算能力，属于基础题
2．B
【分析】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D.
【详解】若|a|=|b|，但是两个向量的方向未必相同,所以a=b不一定成立,A不正确;
若a=b，则两向量的方向相同,模长相等,则|a|=|b|,B正确;
向量不能比较大小,C不正确;
若|a|=0，则a=0,D,不正确.
故选:B.
【点睛】本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题.
3．C
【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到a-b，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出答案.
【详解】a-b=-4,1，a⋅a-b=-1×-4+1×2=6.
故选：C.
4．C
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵四边形OADB是以向量OA=a，OB=b为边的平行四边形，BM=13BC，CN=13CD，
∴MN=ON-OM=OC+13OC-OB-16BA=23OA+OB-OB-16OA-OB
=12OA-16OB= 12a-16b.
故选：C.
5．B
【分析】根据旋转体、球、棱锥、斜二测画法的定义，逐一分析，即可.
【详解】解：对于A，当绕等腰三角形的斜边旋转一周所得为两个圆锥的组合体，故A错，
对于B,过球心所截的截面半径最大，即为球的半径，故B对，
对于C,棱锥的侧面是有公共的顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故C错，
对于D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，故D错误.
故选：B
6．B
【分析】先由面积公式求出c，再由余弦定理求出a，最后利用正弦定理可得出答案.
【详解】由面积公式S△ABC=12bcsinA=3⇒bc=4⇒c=4，
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-4⇒a=13，
由正弦定理有asinA=a+b+csinA+sinB+sinC=1332=2393.
故选：B.
7．C
【分析】根据给定条件求出|a|cs〈a,b〉，再利用向量数量积计算作答.
【详解】向量a在向量b上的投影向量为(|a|cs〈a,b〉)b|b|，依题意，|a|cs〈a,b〉=-1，则a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=-1，
所以a+3b=(a+3b)2=a2+6a⋅b+9b2=4-6+9=7.
故选：C
8．A
【分析】利用圆锥、球和圆柱的体积公式求解即可；
【详解】设球的半径为r，则圆锥的底面半径为r，高为2r，圆柱底面半径为r，高为2r，
∴圆锥体积：V=13πr2⋅2r=23πr3，球的体积V1=43πr3 ，圆柱的体积V2=πr2⋅2r=2πr3 ，
∴ V:V1:V2=23πr3:43πr3:2πr3=23:43:2=1:2:3
即圆锥、球、圆柱的体积比为1:2:3
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了求圆锥，圆柱和球的体积，解题的关键是审清题意，找到球，圆锥，圆柱的半径及高的关系，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于一般题.
9．ABC
【分析】利用i2=-1可将i2022化简，求出复数z，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几何意义求解即可.
【详解】z=i2022i-2=i21011i-2=12-i=2+i5，
z=55，z=25-15i，z的虚部为15，
故选ABC．
10．ACD
【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A；根据向量共线的充要条件可判断B；根据向量夹角的坐标运算可判断C；由平面向量加法和∠BAC的平分线表示的向量平行的向量可得AD为∠BAC的平分线，又因为AD为BC的中线可判断 D.
【详解】对于A选项：A，B，C，D四点共线⇒向量AB与CD共线，反之不成立，所以A正确；
对于B选项：当a=0，b≠0时，不存在实数λ使得b=λa，当a=0，b=0时，存在无数个实数λ使得b=a，故B错误；
对于C选项：因为a=1,3，b=1,1，所以a+λb=1+λ,3+λ，则a与a+λb的夹角为锐角的充要条件是a→·a→+λb→>0且a与a+λb不同向共线，
即1,3·1+λ,3+λ=1+λ+9+3λ=10+4λ>0，且10+4λ10×1+λ2+3+λ2≠1，
解得λ∈-52,0∪0,+∞，则实数λ的取值范围是-52,0∪0,+∞，故C正确；
对于D选项：由平面向量加法可知：ABAB+ACAC为“与∠BAC的平分线表示的向量平行的向量”因为ABAB+ACAC=λAD，所以AD为∠BAC的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD⊥BC，所以BD是BA在BC的投影向量，故选项D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解；
【详解】对于ΔABC．
对A，∵sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π，解得：A=B，或A+B=π2，则ΔABC是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
对B，∵ΔABC是锐角三角形，∴ π2>A>π2-B>0，∴sinA>sin(π2-B)，化为sinA>csB恒成立，因此正确；
对C，∵sin2A+sin2B+cs2C<1，∴sin2A+sin2B<1-cs2C=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2对D，∵AB=3，AC=1，B=30°，设BC=x，由余弦定理可得：12=x2+(3)2-23xcs30°，化为：x2-3x+2=0，解得x=1或2．则ΔABC的面积=12×3×1×sin30°=34，或ΔABC的面积=12×3×2×sin30°=32，因此正确．
综上可得：只有BCD正确．
故选：BCD．
【点睛】正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性等知识的综合运用，是求解本题的关键.
12．ACD
【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；由A1D1//AD//CB//EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，可判断C；由体积是定值，高BC为定值，则底面积EABF为定值，可判断D.
【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD//EH//FG//BC，
且平面AEFB//平面DHGC，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；
因为BC⊥平面CDD1C1，GH⊂平面CDD1C1，则BC⊥GH，
且FG//BC，则FG⊥GH，即EFGH为矩形，
又因为水面EFGH所在四边形的面积，从图中可以发现，边长FG不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化，
所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误；
因为A1D1//AD//CB//EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，
所以A1D1//水面EFGH正确，故C正确；
若E∈AA1，F∈BB1，由于水的形状成棱柱ABFE-DCGH，且水的体积是定值，高BC不变，所以底面ABFE面积不变，
又在矩形ABB1A1中，四边形ABFE的面积为AE+BF⋅AB2是定值，因为AB为定值，所以AE+BF是定值，故D正确.
故选：ACD．
13．1
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得t的值.
【详解】由于a⊥b，
所以a⋅b=-2+2t=0,t=1.
故答案为：1
14．1
【分析】计算i5=i=a+bi，得到a=0，b=1，得到答案.
【详解】i5=i4×i=i22×i=-12×i=i=a+bi，故a=0，b=1，a+b=1.
故答案为：1
15．211
【分析】解法1：先根据AN→=13NC→得到AC→=4AN→，从而可得AP→=311AB→+4mAN→，再根据三点共线定理，即可得到m的值.
解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB→，AC→去表示AP→，根据图形可得：AP→=AB→+BP→，设BP→=λBN→，通过向量线性运算可得：AP→=1-λAB→+λ4AC→，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m的值.
【详解】解法1：因为AN→=13NC→，所以AC→=4AN→，
又AP→=311AB→+mAC→，
所以AP→=311AB→+4mAN→
因为点P,B,N三点共线，
所以311+4m=1，
解得：m=211.
解法2：
因为AP→=AB→+BP→，设BP→=λBN→，
所以AP→=AB→+λBN→，
因为AN→=13NC→，所以AN→=14AC→，
又BN→=AN→-AB→，
所以BN→=14AC→-AB→，
所以AP→=AB→+λ14AC→-AB→=1-λAB→+λ4AC→，
又AP→=311AB→+mAC→，
所以1-λ=311λ4=m 解得：λ=811m=211 ，
所以m=211.
故答案为：211.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.
16．616π3/6163π
【分析】求出球缺的高，根据球缺的体积公式以及圆台的体积公式，即可求得答案.
【详解】由题意知圆台的体积为V台=13(16π+4π+8π)×6=56π，
如图可知12AB=4，则球心到圆台上底面的距离为52-42=3，

故球缺的高为5+3=8，
故球缺的体积为V球缺=13π(15-8)×82=4483π，
所以组合体的体积为V=V球缺+V台=4483π+56π=6163π，
故答案为：6163π．
17．(1)i-14
(2)1+4i
【分析】（1）运用复数加减、乘法运算即可.
（2）运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可.
【详解】（1）i1+i-2-3i2+3i=i-1-4+9=i-14.
（2）1+2i2+5+3i1+i+i2021=1+4i-4+5+3i1-i1+i1-i+i=5i-3+4-i=1+4i.
18．（1）22；（2）45°.
【解析】（1）根据向量数量积的运算律展开可得到|a|2-|b|2=12，即可求出|b|.（2）利用向量的数量积公式即可求出夹角θ的值.
【详解】（1）因为(a-b)⋅(a+b)=12，可得a2-b2=12，即|a|2-|b|2=12
所以|b|2=|a|2-12=1-12=12，故|b|=22.
（2）因为a⋅b=12，所以csθ=a⋅b|a∥b|=22，
θ∈0,π，故θ=45°.
【点睛】本题考查已知向量的数量积求向量的模以及向量的夹角运算，属于基础题.
19．（1）x=23，y=13；（2）-623.
【分析】（1）由向量的加减运算，可得OP=OB+BP=OB+23BA=OB+23OA-OB，进而可得答案.
（2）用OA，OB表示OP⋅AB，利用向量数量积公式，即可求得结果.
【详解】（1）因为BP=2PA，所以BP=23BA.
OP=OB+BP=OB+23BA=OB+23OA-OB=23OA+13OB.
又OP=xOA-xOB，
又因为OA、OB不共线，所以，x=23，y=13
（2）结合（1）可得：
OP⋅AB=23OA+13OB⋅OB-OA.
=23OA⋅OB-23OA2+13OB2-13OA⋅OB
=13OA⋅OB-23OA2+13OB2，
因为OA=6，OB=2，且OA与OB的夹角为60°.
所以OP⋅AB=13×6×2×12-23×62+13×22=-623.
【点睛】本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.
20．(1)A=30∘
(2)S=3
【分析】（1）根据已知由余弦定定理化简得b2+c2-a2=23bcsinA，再利用余弦定理求得csA=3sinA，从而可求角；
（2）利用余弦定理及已知条件求得b=23,c=2，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为b=acsC+3csinA，由余弦定理得：b=a⋅a2+b2-c22ab+3csinA，
整理得：b2+c2-a2=23bcsinA，所以2bccsA=23bcsinA，即csA=3sinA，所以tanA=33，
又0∘（2）由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA得：4=3c2+c2-2⋅3c⋅c⋅32，
化简得c2=4，解得c=2，所以b=3c=23，
所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12×23×2×12=3.
21．(1)图形见解析
(2)AC边上的高为6，原图形的面积为6.
【分析】（1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
（2）先根据△A'B'C'的面积求出B'D'=62，然后利用斜二测画法原理求出高BD=6，由此可求出原△ABC的面积.
【详解】（1）画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取OA=O'A'，即CA=C'A'，
在图①中，过B'作B'D'//y'轴，交x'轴于D'，在x轴上取OD=O'D'，
过点D作DB//y轴，并使DB=2D'B',
连接AB，BC，则△ABC即为△A'B'C'原来的图形，如图②所示：

（2）由（1）知，原图形中，BD⊥AC于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且BD=2B'D'，
在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E'，

则△A'B'C'的面积S△A'B'C'=12A'C'×B'E'=B'E'=32，
在直角三角形B'E'D'中，B'D'=2B'E'=62，所以BD=2B'D'=6，
所以S△ABC=12AC×BD=6.
故原图形中AC边上的高为6，原图形的面积为6.
22．(1)A-4,0，B4,0，C-2,23
(2)2π3
(3)P的坐标为-12,32，最小值为-1
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求A、B、C的坐标（2）利用平面向量的夹角公式求解即可（3）设OP=tOC0≤t≤1，用t表示P点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解
【详解】（1）因为半圆的直径AB=8，由题易知：又A-4,0､B4,0
又OC=4，∠BOC=2π3，则xC=4cs2π3=-2，yC=4sin2π3=23
即C-2,23.
（2）由（1）知，CA=-2,-23，CB=6,-23，
所以PA=34CA-14CB=-3,-3.
设PA与CB夹角为α，则csα=PA⃑⋅CB⃑|PA⃑||CB⃑|=-1223×43=-12，
又因为α∈0,π，所以α=2π3，即PA与CB的夹角为2π3.
（3）设OP=tOC0≤t≤1，由（1）知，OP=t-2,23=-2t,23t，PO=2t,-23t，PA=2t-4,-23t，
所以PA⋅PO=2t2t-4+12t2=16t2-8t=16t-142-1，
又因为0≤t≤1，所以当t=14时，PA⋅PO有最小值为-1，
此时点P的坐标为-12,32.