2024自治区赤峰红山区高二上学期期末考试数学含解析

这是一份2024自治区赤峰红山区高二上学期期末考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了本试卷分为第I卷两部分，所有同学们答卷时请注意等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第I卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答愿卡指定答愿区城内，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留．
2．所有同学们答卷时请注意：
（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；（2）没有标注学校的题所有学生均需解答．
本试卷共150分，考试时间120分钟．
第I卷（选择题共60分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
3. 如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设等差数列前项和为，若则（ ）
A. 150B. 120C. 75D. 60
5. 两数与的等比中项是（ ）
A. 1B. C. 或1D.
6. 已知双曲线C：的一个焦点为则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆E：(a>b>0))的右焦点是F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB中点M的坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A. 若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C. 若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D. 若m＝0，n＞0，则C是两条直线
二､多项选择题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知点和，点在轴上，且为直角，则（ ）
A. 直线的斜率为B. 点的坐标为
C. 直线的一个方向向量为D. 直线的方程为
10. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为.
C. 若，则的最小值为.
D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则
11. 已知空间中三点，则下列结论正确有（ ）
A. B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
12. 已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A.
B. 的离心率为
C. 点到直线的距离为
D. 直线，的斜率之积为
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是_____________.
14. 两平行直线和的距离为______.
15. 如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过__________米时，才能使货船通过拱桥．
16. 已知，是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点，，的周长为，面积为，则的离心率为__________．
四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列是等差数列，
（1）求的通项公式
（2）记的前项的和为，若，求的值．
18. 已知直线被圆截得的弦长为．
（1）求的值；
（2）求过点（3，5）与圆相切直线的方程．
19. 已知平面分别为的中点，平面平面
（1）求证：平面
（2）求平面与平面所成角的正切值
（3）求点到平面的距离．
20. 已知数列前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.
（1）求直线与平面所成角余弦值．
（2）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形的周长为，
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值及面积的最大值．红山区2023-2024学年度第一学期学情监测试卷
高二年级数学（A卷）
注意事项：
1．本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第I卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答愿卡指定答愿区城内，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留．
2．所有同学们答卷时请注意：
（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；（2）没有标注学校的题所有学生均需解答．
本试卷共150分，考试时间120分钟．
第I卷（选择题共60分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得.
【详解】由题意可得，故.
故选：C.
2. 抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，
所以点到焦点的距离.
故选：B
3. 如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】如图：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：D.
4. 设等差数列的前项和为，若则（ ）
A. 150B. 120C. 75D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.
【详解】由等差数列的性质可知，
所以，
.
故选：D
5. 两数与的等比中项是（ ）
A. 1B. C. 或1D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列等比中项的公式进行求解即可．
【详解】设与的等比中项是x，
则满足，
则或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比中项的求解，属于基础题．
6. 已知双曲线C：的一个焦点为则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线一个焦点为，则，结合，求出的值，进而得到双曲线方程，得到渐近线方程.
【详解】因为双曲线的焦点为，所以，
又因为，即，即，
所以双曲线方程为，
所以渐近线方程为，
故选：A.
7. 已知椭圆E：(a>b>0))的右焦点是F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB中点M的坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，代入椭圆的标准方程，两式作差可得，由=，9==，即求.
【详解】设，则=2，=－2，， ① ， ②
①－②得，
∴===，
又==，∴=，又9==，
解得=9，=18，∴椭圆方程为，
故选：B．
8. 已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A. 若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C. 若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D. 若m＝0，n＞0，则C两条直线
【答案】B
【解析】
【分析】就不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，当m＞n＞0时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
二､多项选择题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知点和，点在轴上，且为直角，则（ ）
A. 直线的斜率为B. 点的坐标为
C. 直线的一个方向向量为D. 直线的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线斜率，直线垂直，直线方向向量，直线方程逐项判断即可.
【详解】已知点和，则，故A不正确；
点在轴上，且为直角，
设，则，所以，故点的坐标为，故B正确；
则直线的一个方向向量为，则也是直线的一个方向向量，故C正确；
，则直线的方程为，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为.
C. 若，则的最小值为.
D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.
【详解】抛物线，.
对于A，，，A正确；
对于B，设，，，的坐标为.B错误；
对于C,,C正确；
对于D，直线，联立，得：，,,D错误.
故选：AC.
11. 已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C.
【详解】由题意可得，，，
选项A：，故，正确；
选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；
选项C：，错误；
选项D：设，则，，
所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；
故选：AD
12. 已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A.
B. 的离心率为
C. 点到直线的距离为
D. 直线，的斜率之积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意得的方程为，进而得，再整理得，进而求，离心率判断AB；求出直线的方程并结合点线距公式求解判断C；设，则，进而求解即可判断D.
【详解】解：由题知，，，，
所以，，的中点为，
所以，的垂直平分线的方程为，
因为，，三点共线，
所以，整理得，
所以，即
所以，，故A选项正确；
所以，即，解得或（舍）
所以，椭圆的离心率为，故B选项正确；
因为直线的方程为，即，
所以，点到直线的距离为，故C选项错误；
设，则，故，
由于，
所以，故D选项正确；
故选：ABD
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是_____________.
【答案】相交
【解析】
【分析】
分别求出圆与圆的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系.
【详解】圆，圆心，
圆，圆心，
又圆心距，则，所以两个圆是相交的.
故答案为：相交
【点睛】方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d与r1，r2的关系判断：
14. 两平行直线和的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用距离公式计算可得.
【详解】直线，即，
所以两平行线的距离.
故答案为：
15. 如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过__________米时，才能使货船通过拱桥．
【答案】
【解析】
【分析】以抛物线顶点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程后结合题意计算即可得.
【详解】
以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系，
则，由，拱顶距水面8米，故，
设该抛物线方程为，有，
解得，即，
由，令，则，即，
，故不超过米时，才能使货船通过拱桥.
故答案为：.
16. 已知，是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点，，的周长为，面积为，则的离心率为__________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】由双曲线的定义和面积公式求出，再利用余弦定理列出方程求解即得.
【详解】的周长为，，
由双曲线定义知，，，，，
，，，
在中，由余弦定理得，，
得的离心率．
故答案为：
四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列是等差数列，
（1）求的通项公式
（2）记的前项的和为，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用题中等式建立、d 的方程组，求出、d 的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出n的值.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则：，解得
所以数列的通项公式为
小问2详解】
数列的前项和
由，化简得
即：，所以或（舍），
所以的值是.
18. 已知直线被圆截得的弦长为．
（1）求的值；
（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程．
【答案】（1）a =1；（2） 或
【解析】
【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可．
（2）判断点与圆的位置关系，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；②当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果．
【详解】（1）依题意可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
由勾股定理可知，代入化简得，
解得或，又，
所以；
（2）由（1）知圆，又在圆外，
①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，
切线方程为，
②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，
综合①②可知切线方程为或.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
19. 已知平面分别为的中点，平面平面
（1）求证：平面
（2）求平面与平面所成角的正切值
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接M、N，证明四边形为平行四边形，则，即可得证；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（3）利用向量法求解即可
【小问1详解】
证明：连接，因为M、N分别BC 、AB为中点，所以且，
又因为，且，且，所以平行且相等，
所以四边形为平行四边形，
所以
因为平面平面
所以平面
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则：
设平面的一个法向量为
则，即，
令，则，
因为x轴垂直平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，则
所以平面与平面所成角的正切值为．
【小问3详解】
设点到平面的距离为，则
20. 已知数列的前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据的关系求通项公式；
(2)选①，利用错位相减法求和，选②，利用裂项相消求和，选③，利用并项求和以及等差数列前项和公式.
【小问1详解】
，
两式相减得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
【小问2详解】
由（1）可知，
若选①：，
.
两式相减得：，
所以.
若选②：
.
若选③：
当为偶数时，
当为奇数时，.
综上得：.
21. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.
（1）求直线与平面所成角的余弦值．
（2）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）由题意结合面面垂直的性质可得两两垂直，即可建立空间直角坐标系，得到平面的法向量与直线的方向向量，即可得直线与平面所成角的余弦值；
（2）设，用表示出平面的法向量，由在线段上存在，使得直线平面，等价于存在，使，计算即可得.
【小问1详解】
因为为正方形，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，所以，
因为，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
故，
即直线与平面所成角的余弦值为，
【小问2详解】
设，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
，
则，即，
令，则，
，
在线段上存在，使得直线平面，
等价于存在，使，
，，解得，
线段上存点，使得平面，且.
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形的周长为，
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值及面积的最大值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解.
（2）根据以为直径的圆经过椭圆的右顶点求得m进而得恒过定点，由求面积，并换元后用二次函数求最大值.
【小问1详解】
因为椭圆上的一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，
又椭圆的离心率为，即，所以
所以．
所以，椭圆的方程为.
【小问2详解】
不妨设直线的方程．
联立，消去得，
，即，
设，则，①
因为以为直径的圆过，所以，
由，
得，
将代入上式，
得，
将①式代入上式， ，
解得，或（舍），
所以，令是直线与轴的交点，则，
此时直线与椭圆恒有两个交点.
则有，
设，则，
所以当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.方法
位置关系
几何法：圆心距d与的关系
外离
外切
相交
内切
内含