2023-2024学年广东省河源市连平县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省河源市连平县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是鼓的立体图形，该立体图形的主视图是( )
A. B. C. D.
2.关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
3.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
4.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，夹角∠AOB=60°，已知AB=1，则△ABD的面积是( )
A. 1B. 2C. 32D. 3
5.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )
A. 12B. 13C. 16D. 29
6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是( )
A. 16(1+x)2=23B. 23(1−x)2=16
C. 23−23(1−x)2=16D. 23(1−2x)=16
7.已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系.当I=4A时，R=10Ω，则当I=5A时R的值为( )
A. 6ΩB. 8ΩC. 10ΩD. 12Ω
8.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为18，则△ABC面积为( )
A. 54
B. 24
C. 32
D. 916
9.如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是( )
A. 16215cm2
B. 15216cm2
C. 17216cm2
D. 16217cm2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为______．
12.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)呈反比例，其函数关系式为y=120x.如果近似眼镜镜片的焦距x=0.3米，那么近视眼镜的度数y为______．
13.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有______个.
14.如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为______．
15.在如图所示的卡钳中AD=BC，OCOB=ODOA=13，用该卡钳测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长为7cm，则AB的长为______cm．
16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2+2x−3=0(公式法)
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
19.(本小题6分)
如图，已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数y=kx(x0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB/​/CD，AC⊥BD，
∴∠DCA=∠1=20°，
∴∠2=90°−∠DCA=70°，
故选：C．
根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=1，
∴BD=2BO=2，
在Rt△BAD中，AD= BD2−AB2= 4−1= 3，
∴△ABD的面积为12AD⋅AB=12× 3×1= 32．
故选：C．
根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=1，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，即可求出△ABD的面积．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一处的结果数为3，
∴小刚和小强两人恰好选择同一处的概率=39=13，
故选：B．
画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一处的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
6.【答案】B
【解析】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23(1−x)2=16．
故选：B．
首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23(1−x)万元，5月份的售价为23(1−x)(1−x)=23(1−x)2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设I=UR，则U=IR=40，
∴R=40I=405=8，
故选：B．
设I=UR，则U=IR=40，得出R=40I，计算即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握欧姆定律．
8.【答案】C
【解析】解：∵OC′：CC′=3：1，
∴OCOC′=43，
∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴S△ABCS△A′B′C′=(OCOC′)2=(43)2=169，
S△ABC=169S△A′B′C′=169×18=32，
∴△ABC面积为32，
故选：C．
先求出OCOC′=43，再根据△ABC与△A′B′C′位似得到△ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的性质即可得到答案．
此题考查了位似的性质、相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可得：设C(2,a)，则E(1,a+2)，
可得：2a=1×(a+2)，
解得：a=2，
故C(2,2)，
则k=2×2=4．
故选：B．
根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，∵△BEF的三边为3、4、5，而32+42=52，
∴△BEF为直角三角形，
∴∠FEB=90°，而四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴△FDE∽△ECB，
∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，
∴设DE为3x，则BC是4x，
∴EC是x，
∵三角形EBC为直角三角形，
∴EB2=EC2+BC2，
∴16=x2+(4x)2，
∴x2=1617，
∵S正方形ABCD=(4x)2=16217cm2．
故选：D．
如图，由△BEF的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明△FDE∽△ECB，然后利用相似三角形的性质可以得到DE：CB=3：4，设DE为3x，则BC是4x，根据勾股定理即可求出x2=1617，也就求出了正方形的面积．
此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
11.【答案】10
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=10．
故答案为：10．
由菱形的性质得到AB=BC，又∠B=60°，因此△ABC是等边三角形，得到AC=AB=10．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABC是等边三角形．
12.【答案】400
【解析】解：把x=0.3代入120x，
y=400，
故答案为：400．
把x=0.3代入y=120x，即可算出y的值．
此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．
13.【答案】5
【解析】解：20×50200=5(个)，
故答案为：5．
根据概率估计摸出红球的概率，根据概率公式求得答案．
本题主要考查利用频率估计概率，明确题意是解题的关键．
14.【答案】(11−2x)(7−2x)=21
【解析】解：由题意可得：(11−2x)(7−2x)=21，
故答案为：(11−2x)(7−2x)=21．
根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是(11−2x)cm，宽为(7−2x)cm，然后根据长方形的面积=长×宽，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
15.【答案】21
【解析】解：∵OCOB=ODOA=13，∠COD=∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴CDAB=13，
∵CD=7cm，
∴AB=3CD=21(cm)，
故答案为：21．
先证明8字模型相似△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】解：如图所示，连接AE，
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴MN=12AE，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AE= AB2+BE2= 4+BE2，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时AE= 4+22=2 2，
∴MN=12AE= 2，
∴MN的最大值为 2．
故答案为： 2．
首先证明出MN是△AEF的中位线，得出MN=12AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE= AB2+BE2= 4+BE2，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：a=1，b=2，c=−3，
Δ=b2−4ac=22−4×1×(−3)=16，
x=−2±42×1，
所以x1=1，x2=−3．
【解析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
本题考查了解一元二次方程−公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
18.【答案】(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
∴BDBA=BABC，
∴BD6=610，
∴BD=3.6．
【解析】(1)根据已知条件得出∠BDA=∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；
(2)根据相似三角形的性质即可求出BD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x