2023-2024学年山东省德州市武城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省德州市武城县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知关于x的方程(a−3)x|a−1|+x−1=0是一元二次方程，则a的值是( )
A. −1B. 3C. −1或3D. 都不对
3.若A(4,y1)，B(1,y2)，C(−1,y3)为二次函数y=x2−4x+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y14.已知一元二次方程x2−3x+1=0的两根为x1、x2，则x12x2+x1x22的值是( )
A. −3B. 3C. −6D. 6
5.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=1x的图象上．若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为( )
A. −4
B. 4
C. −2
D. 2
6.关于圆有如下的命题：
①平分弦的直径垂直于弦；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆；
③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；
④圆的切线垂直于半径；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
其中命题正确的是有个．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.如图，已知正五边形ABCDE，AB=BC=CD=DE=AE，A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AC，则∠ACD的度数是( )
A. 72°
B. 70°
C. 60°
D. 45°
8.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cs∠AOD=( )
A. 22
B. 32
C. 53
D. 55
9.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，已知AD=6(正方形的四条边都相等，四个内角都是直角)，DF=2，则S△AEF=( )
A. 6
B. 12
C. 15
D. 30
10.已知函数y=−(x−m)(x−n)(其中mA.
B.
C.
D.
11.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的长的最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 5
D. 7
12.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=725.在以上4个结论中，正确的有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C(6,8)的对应点F的坐标为______．
14.如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为______．
15.定义一种运算：
sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ，
sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ．
例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，则sin15°的值为______．
16.如图，AB=8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是______．
17.如图，在△ABC中，DE/​/BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则S△BDES△BCE的值为______．
18.如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2023的坐标是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算题：
(1)tan260°−( 3−π)0+2sin30°−(13)−2+ 2cs45°；
(2)(5x−3)2=(x+2)2．
20.(本小题8分)
新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程.为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试.测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格.将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______名；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)某班有4名优秀的同学(分别记为E、F、G、H，其中E为小明)，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享.利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
21.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD=4，BD=9，求⊙O的半径．
22.(本小题12分)

某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w(元)，求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？

23.(本小题10分)
如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1： 3，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
24.(本小题12分)
如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出DFAE的值______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α (0°<α<360°)，当α为何值时，EA=ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α=______．
25.(本小题14分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，对称轴上是否存在点E，使△ACE周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值；
(3)如图2，点F为第二象限抛物线上一动点连接AF交BC于点D，k=S△FDC：S△ADC，是否存在点F，使k取最大值，如果存在，求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：从正面看可得主视图．
故选：D．
找到从正面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程(a−3)x|a−1|+x−1=0是一元二次方程，
∴a−3≠0且|a−1|=2，
解得：a=−1，
故选：A．
根据一元二次方程的定义得出a−3≠0且|a−1|=2，再求出a即可．
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3.【答案】B
【解析】解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴二次函数的对称轴x=2，a=1>0，
∴C(−1,y3)关于对称轴对称点是(5,y3)，B(1,y2)关于对称轴对称点是(3,y2)，
∴当x>2时，y随x的增大而增大，
∵3<4<5，
∴y2故选：B．
将二次函数一般式化成顶点式求出对称轴，判断出抛物线开口方向向上，求出B，C两点关于对称轴对称的坐标，根据当x>2时，y随x的增大而增大，即可求出结果．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式
4.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程x2−3x+1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=1．
∴x12x2+x1x22=x1⋅x2(x1+x2)=1×3=3．
故选：B．
首先，由根与系数的关系求得x1+x2=3，x1⋅x2=1；然后，将所求的代数式整理为含有两根之积、两根之和形式，并将其代入求值．
本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5.【答案】A
【解析】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是(m,n)，则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴BDOC=ODAC=OBOA，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=1x的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，B点的坐标是(−2n,2m)，
∴k=−2n⋅2m=−4mn=−4．
故选：A．
要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BDOC=ODAC=OBOA=2，然后用待定系数法即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
6.【答案】A
【解析】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本小题命题不正确；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆，命题正确；
③三角形的内心到三角形三条边的距离相等，命题正确；
④圆的切线垂直于过切点的半径，故本小题命题不正确；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故本小题命题不正确；
故选：A．
根据垂径定理的推论、确定圆的条件、三角形的内心的性质、切线的性质、圆周角定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】A
【解析】解：∵正五边形ABCDE，AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠BCD=∠B=(5−2)×180°5=108°，
∴∠BAC=∠BCA=12×(180°−∠B)−12×(180°−108°)=36°，
∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=108°−36°=72°，
故选：A．
根据正多边形的性质求出∠BCD和∠B，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠BCA，即可求出∠ACD的度数．
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形出性质和多边形内角和定理求出∠BCD和∠B的度数是解决问题的关键，
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接BE、AE．
则：EB= 2，AB= 10．
∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，
∴∠CDE=∠BEF=∠AEO=∠BEO=45°．
∴CD/​/BE，∠AEB=∠AEO+∠BEO=90°．
∴∠AOD=∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cs∠ABE=BEAB= 2 10= 55．
故选：D．
连接BE、AE.根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC=6，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE=∠BAD=90°，
∴∠HAD=∠BAE，
在△ADH和△ABE中，
∠DAH=∠BAEAD=AB∠ADH=∠B=90°，
∴△ADH≌△ABE(ASA)，
∴BE=HD，AH=AE，
∵∠EAF=45°，
∴∠HAF=∠EAF=45°，
在△AFH和△AFE中，
AF=AF∠FAH=∠FAEAH=AE，
∴△AFH≌△AFE(SAS)，
∴EF=HF，
∵DF=2，
∴CF=4，
∵EF2=CE2+CF2，
∴(2+BE)2=16+(6−BE)2，
∴BE=3，
∴HF=HD+DF=5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF=S△AFH=12×HF×AD=12×5×6=15，
故选：C．
过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，由“ASA”可证△ADH≌△ABE，可得BE=HD，AH=AE，由“SAS”可证△AFH≌△AFE，可得EF=HF，利用勾股定理可求BE的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
根据二次函数图象判断出m<−1，n=1，然后求出m+n<0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
【解答】
解：由图可知，m<−1，n=1，所以m+n<0，
所以，一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点(0,1)，
反比例函数y=m+nx的图象位于第二、四象限，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选C．
11.【答案】A
【解析】解：如图所示
∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，
在Rt△BCO中，AB=6，BC=4，
∴OB=12AB=3，
∴OC= OB2+BC2=5，
∴PC=OC−OP=5−3=2．
∴PC最小值为2．
故选：A．
首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，掌握点与圆位置关系、圆周角定理是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再根据△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
【解答】
解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12−x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：(x+6)2=62+(12−x)2，
解得：x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE=12×6×8=24，S△BEF=EFEG⋅S△GBE=610⋅24=725，④正确．
故选：C．
13.【答案】(3,4)或(−3,−4)
【解析】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是2：1，点C(6,8)，
∴点C的对应点F的坐标为(6×12,8×12)或(6×(−12),8×(−12))，即(3,4)或(−3,−4)，
故答案为：(3,4)或(−3,−4)．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
14.【答案】 2
【解析】解：连接OA、OB、AB，如图，
∵∠AOB=2∠C=2×45°=90°，
而OA=OB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= 2OA=2 2，
∵D，G分别为AC，BC的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG=12AB=12×2 2= 2．
故答案为： 2．
连接OA、OB、AB，如图，先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以AB=2 2，然后根据三角形中位线定理得到DG的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
15.【答案】 6− 24
【解析】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cs30°−cs45°sin30°
= 22× 32− 22×12
= 64− 24
= 6− 24．
故答案为： 6− 24．
把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
16.【答案】323π
【解析】解：
∵AB=AB′=8，∠BAB′=60°
∴图中阴影部分的面积是：
S=S扇形B′AB+S半圆O′−S半圆O
=60π×82360+12π×82−12π×82
=323π.
故答案为：323π．
根据题意得出AB=AB′=8，∠BAB′=60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S=60π×82360+12π×82−12π×82，求出即可．
本题考查了旋转的性质，扇形的面积的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较好，难度适中．
17.【答案】23
【解析】解：∵AD=4，DB=2，
∴AB=AD+DB=6，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=4：6=2：3，
∵△BDE和△BCE的高线相等，
∴S△BDES△BCE=DEBC=23，
先根据平行线得出△ADE∽△ABC，从而得出DE：BC=2：3，然后根据高相等得出答案，根据相似得出DE和BC的比值即可．
本题主要考查的是平行线的性质以及三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判断和性质是解题的关键．
18.【答案】(0,2 2023)
【解析】解：联立得：y=xy=1x，
解得x=1，
∴A1(1,1)，OA1= 2，
由题意可知∠AOB1=45°，
∵B1A1⊥OA1，
∴△OA1B1为等腰直角三角形，
∴OB1= 2OA1=2，
过A2作A2H⊥OB2交y轴于H，则容易得到A2H=B1H，
设A2H=B1H=x，则A2(x,x+2)，
∴x(x+2)=1，
解得x1= 2−1，x2=− 2−1(舍去)，
∴A2H=B1H= 2−1，B1B2=2B1H=2 2−2，
∴OB2=2 2−2+2=2 2，
同理可得OB3=2 3，
则OBn=2 n，
即Bn(0,2 n)，
∴B2023(0,2 2023)，
故答案为：(0,2 2023)．
先求出A1的坐标，由题意容易得到△OA1B1是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)原式=( 3)2−1+2×12−9+ 2× 22
=3−1+1−9+1
=−5；
(2)(5x−3)2=(x+2)2，
(5x−3)2−(x+2)2=0，
(5x−3+x+2)(5x−3−x−2)=0，
5x−3+x+2=0或5x−3−x−2=0，
所以x1=16，x2=54．
【解析】(1)先利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可；
(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为5x−3+x+2=0或5x−3−x−2=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了特殊角的三角函数值．
20.【答案】40 54°
【解析】解：(1)本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40(名)；
故答案为：40；
(2)A级人数百分比=640=15%，
α=360°×15%=54°，
故答案为：54°；
C级人数为：40−6−12−8=14(名)，
补全统计图如下：
(3)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
∴选中小明的概率为12．
(1)根据B级的人数和所占的百分比求出抽样调查的总人数；
(2)先求出A等级百分比，再乘360°即可得圆心角；再求C等级的人数，再补全统计图即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=180°−∠ADC=90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE=CE=12BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵AD=4，BD=9，
∴AB=AD+BD=4+9=13，
∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴ACAD=ABAC，
∴AC2=AD⋅AB=4×13=52，
∴AC=2 13，
∴⊙O的半径为 13．
【解析】(1)连接OD，CD，根据已知可得∠ACD+∠DCB=90°，利用等腰三角形的性质可得∠OCD=∠ODC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDA=90°，从而利用直角三角形斜边上的中线可得DE=CE，进而可得∠DCE=∠CDE，然后可得∠ODC+∠CDE=90°，即可解答；
(2)利用(1)的结论可证△ACB∽△ADC，从而利用相似三角形的性质可求出AC的长，即可解答．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
(1)证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=180°−∠ADC=90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE=CE=12BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵AD=4，BD=9，
∴AB=AD+BD=4+9=13，
∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴ACAD=ABAC，
∴AC2=AD⋅AB=4×13=52，
∴AC=2 13，
∴⊙O的半径为 13．
22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
则55k+b=70060k+b=600，
解得：k=−20b=1800，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+1800；
(2)(x−50)(−20x+1800)=6000，
解得，x1=60，x2=80，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为60元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+1800)
=−20x2+2800x−90000
=−20(x−70)2+8000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴x≥50(x−50)÷50≥0.5，
解得：50≤x≤75，
∵a=−20<0，抛物线开口向下，
∴当x=70时，w取得最大值，此时w=8000，
∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
23.【答案】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，
∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1： 3，
∴设EF=x，则FC= 3x，
∵CE=20米，
∴x2+( 3x)2=400，
解得：x=10，
则FC=10 3m，
∵BC=25m，∴BF=NE=(25+10 3)m，
∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10 3=(35+10 3)m，
答：建筑物AB的高为(35+10 3)m．
【解析】首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
24.【答案】 2 30°或150°
【解析】解：(1)∵∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD= 2AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°，
∴BE=EF，
∴BF= 2BE，
∴DF=BD−BF= 2AB− 2BE= 2(AB−BE)= 2AE，
∴DFAE= 2，
故答案为 2；
(2)DF= 2AE，
理由：由(1)知，BF= 2BE，BD= 2AB，
∴BFBE=BDAB= 2，
由旋转知，∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴DFAE=BDAB= 2，
∴DF= 2AE；
(3)如图3，连接DE，CE，
∵EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上，
∴AE=DE，BE=CE，
∵AB=BE，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=BC，
∴BE=CE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60°，
如图3，∠ABE=∠ABC−∠CBE=90°−60°=30°，
即：α=30°，
如图4，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°+60°=150°，
即：α=150°，故答案为30°或150°．
(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
(2)先判断出BFBE=BDAB= 2，进而得出△ABE∽△DBF，即可得出结论；
(3)先判断出点E在AD的中垂线上，再判断出△BCE是等边三角形，求出∠CBE=60°，再分两种情况计算即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△BCE是等边三角形是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)将点A(1,0)、点B(−3,0)代入y=ax2+bx+3，
∴a+b+3=09a−3b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)对称轴上存在点E，使△ACE周长最小，理由如下：
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵B、A点关于直线x=−1对称，
∴AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE≥BC，
∴当B、C、E三点共线时，△ACE周长最小，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=mx+3，
∴−3m+3=0，
解得m=1，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
∴E(−1,2)，
∵BO=3，OC=3，OA=1，
∴BC=3 2，AC= 10，
∴△ACE周长最小值为3 2+ 10；
(3)存在点F，使k取最大值，理由如下：
过点F作FM//y轴交直线BC于点M，过点A作AN/​/y轴交直线BC于点N，
设P(t,−t2−2t+3)，则M(t,t+3)，
∵A(1,0)，
∴N(1,4)，
∵FM//AN，
∴FDAD=FMAN，
∵k=S△FDC：S△ADC，
∴FDAD=FMAN=k，
∴k=−t2−3t4=−14(t+32)2+916，
当t=−32时，k有最大值916，此时F(−32,154).
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)当B、C、E三点共线时，△ACE周长最小，求出直线BC的与对称轴的交点，即为E(−1,2)，求出BC+AC即为△ACE周长最小值；
(3)过点F作FM//y轴交直线BC于点M，过点A作AN/​/y轴交直线BC于点N，设P(t,−t2−2t+3)，则M(t,t+3)，由FM/​/AN，可得FDAD=FMAN=k，则k=−14(t+32)2+916，当t=−32时，k有最大值916，此时F(−32,154).
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称求最短距离是解题的关键．售价x(元/件)
55
60
65
销售量y(件)
700
600
500