91，山东省滨州市无棣县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份91，山东省滨州市无棣县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题，共24页。
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分）
1. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中
B. 如果都是实数，那么
C. 打开电视，正在播广告
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件分类，涉及事件分类及必然事件定义，根据必然事件、随机事件及不可能事件定义逐项判断即可得到答案，熟记时间分类及定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，不符合题意；
B、如果都是实数，那么是必然事件，符合题意；
C、打开电视，正在播广告是随机事件，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，不符合题意；
故选：B．
2. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A. 4B. C. D.
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【分析】本题主要考查了求反比例函数的系数．熟练掌握用待定系数法求函数解析式，是解决问题的关键．把A点坐标代入，求出k值即可．
【详解】∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
∴．
故选：C．
3. 用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图是从物体左面看到的图形判断即可．
【详解】解：图中几何体的左视图为：
，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，正确判断是解答的关键．
4. 如图，分别切于两点，点在优弧上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理及圆周角定理，连接，根据切线的性质得出，再由四边形内角和为360度得出，最后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】连接，
∵分别切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，点为边上任一点，交于点，连接相交于点，则下列等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可判断B、C，根据相似三角形的性质即可判断A、D．
【详解】解：∵，
∴，，，故B、C不符合题意；
∴，故A不符合题意，
∴，故D符合题意；
故选D．
6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式．掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义和根的判别式，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：且．
故选：C．
7. 如图，已知三角板，，，，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据30度所对直角边等于斜边的一半，得到，根据勾股定理求得的长度，再根据题意得到是等边三角形，根据等边三角形的性质确定转动的角度，最后运用弧长公式即可解题．
【详解】解：，，，
，
，
，
当落在边时，，，
是等边三角形，
转动了，
点转过的路径长，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质和判定、30度所对直角边等于斜边的一半、弧长公式，熟练掌握相关性质定理即可解题。
8. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若的顶点都在格点上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数等知识，先证明是直角三角形，再利用正弦的定义，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
，，，
，
是直角三角形，，
，
故选：B．
9. 已知二次函数（是常数，）的图像如图所示，有下列结论：①；②；③；④，正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴的交点个数判定，根据当时，，判断，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：①∵抛物线的开口向上，
∴，故①正确；
对称轴位于y轴的右侧，a，b异号，即．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
所以abc＞0．
②∵抛物线与x轴没有交点，
∴，故②正确．
③∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故③正确；
④根据抛物线可知，当时，，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的有3个．
故选：C．
10. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，
（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．

四边形是平行四边形

则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时
（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形
四边形是正方形
，
又，，
又
等腰三角形
，则圆的半径，

故选：B．
【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 若点与点关于原点成中心对称，则值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数这一特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，，
则，
故答案为：3．
12. 已知与相似，相似比为，如果的面积为2，则的面积为______．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可解题．
【详解】解：与相似比为，的面积为2，
与面积比为：，
的面积为：，
故答案为：18．
13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，涉及通分、一元二次方程根与系数关系等知识，根据一元二次方程根与系数关系得到，再通分，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键．
【详解】解：分别为一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
14. 是以为直径的的一条弦，，，若的半径为，则阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，以及圆周角定理，根据，推出，再根据阴影部分的面积扇形的面积，即可解题．
【详解】解，如图所示，连接、，

，，
，
又，
，
阴影部分的面积扇形的面积，
故答案为：．
15. 某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是多少米．（结果精确到1米）（参考数据：）
【答案】407
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．根据正切的定义即可求出．
【详解】解：根据题意得：，，米，
在中，，
∴米，
即大桥的长度是407米．
16. 如图，直线交轴于点，交轴于点．点为双曲线上一点，且，则的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、一次函数与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合，作轴于，轴于，则，从而得到，四边形是矩形，证明，得到，求出，，得到，从而得到，设，则，得到，由勾股定理可得：，即，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
则，
，四边形矩形，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，当时，，当时，，解得，
，，
，
，，
，
设，则，
，
由勾股定理可得：，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. （1）计算：
（2）爱国同学解方程的过程如图所示．
①在爱国同学解方程过程中，是用______（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的：从第______步开始出现错误；
②请你用不同于①中的方法解该方程．
【答案】（1）；（2）①配方法，二；②见解析
【解析】
【分析】（1）本题考查了三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值即可解题．
（2）①本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法和步骤即可解题．
②本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法和步骤即可解题．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）①解：，
第一步：，
第二步：，
第三步：，；
所以此方程使用了配方法，并在第二步出现错误．
故答案为：配方法，二；
②解方程：，
解：，，，
，
，
，．
18. （1）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点．
①______，______，点的坐标为______；
②结合图象直接写出不等式的解集；
（2）如图，的弦的延长线交于点，连接．求证：．
【答案】（1）①2，8；；②或；（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定和性质：
（1）①把把点分别代入，，可求出k，m的值；再根据点A，B两点关于坐标原点对称，可求出点A的坐标；②直接观察图象，即可求解；
（2）根据圆内接四边形的性质可得，可证明，即可求证．
【详解】（1）解：①把点分别代入，，得：，
根据题意得：点A，B两点关于坐标原点对称，
∵，
∴点
故答案为：2，8；；
②观察图象得：当或时，，
即不等式的解集为或；
（2）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
19. 我县教体系统确定2024年为“校园品质提升年”，围绕活力、科创、书香、心安、特色、清朗六大品质提升工程多点发力，全面提升学校办学品位．为了发展学生的兴趣爱好，某学校利用课外活动时间开展了丰富的社团活动．拥军和爱民参加的乒乓球社团共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．
（1）拥军抽到甲训练场的概率为______；
（2）用列表或画树状图的方法，求拥军和爱民在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的计算．熟练掌握简单概率的计算和列表或画树状图的方法求概率，是解决问题的关键．
（1）根据共有甲、乙、丙三个训练场，可得拥军抽到甲训练场的概率为；
（2）画出树状图，得到9种等可能结果，拥军和爱民在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，运用概率公式计算拥军和爱民抽到同一场地训练的概率即可．
【小问1详解】
∵乒乓球社团共有甲、乙、丙三个训练场，
∴拥军抽到甲训练场的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等．
拥军和爱民抽到同一场地训练（记为事件A）的结果有3种，
∴．
答：拥军和爱民抽到同一场地训练的概率为．
20. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为80米，在处测得大楼顶部的仰角为，在处测得大楼顶部的仰角为，求大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】大楼的高度是米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，作于点，设米，先解得到米，再由斜坡的坡度，得到米，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：作于点，设米，
在中，，
∴米，
∵斜坡的坡度，
∴，
∵坡底的长为80米，
∴米，
∴米，
在中，米，，
∴米，
∴，
∴，
∴，
答：大楼的高度是米．
21. 如图，在中，直线，垂足为，点在上，以为直径作⊙与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙的半径．
【答案】（1）见解析 （2）⊙O的半径为
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质及可得，再根据平行的性质及可得，最后根据等角对等边即可证明；
（2）连接，可得，结合可证，根据相似三角形的性质可得，从而求解，进而可求得直径的长，最后可求半径．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
为⊙的切线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
为⊙直径，
，即于点E，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
⊙O的半径为．
【点睛】本题考查切线的性质，平行的判定与性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质；遇切线可连接圆心与切点构造垂直；遇直径可根据“直径所对的圆周角为直角”构造直角；遇两个垂直可尝试证明三角形相似等方法是解决问题的关键．
22. 某商场购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为40元/件，该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的关系满足如下表．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示与的变化规律，并求出与之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润为1600元？
（3）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】（1）
（2）当销售单价为60元或80元时，每星期获得的利润为1600元
（3）当销售单价为70元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1800元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．
（1）根据表中的数据，销售单价（元）每增大1元，每星期的销售量（件）就减少2件，故可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设，选两组数据代入并求解，即得答案；
（2）设总利润为w元，得到，令，得到一元二次方程并求解，即可得到答案；
（3）根据二次函数的性质，即可求得答案．
【小问1详解】
由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设，
则，
解得，
即y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
设总利润为w元，由题意得，
，
当时， ，
解得，，，
答：当销售单价为60元或80元时，每星期获得的利润为1600元；
【小问3详解】
，
时，w取得最大值，此时w为1800元，
答：当销售单价为70元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1800元．
23. 如图，抛物线的图像与轴交于点，点，与轴交于点，且．
（1）求这个二次函数的解析式，并求出顶点的坐标；
（2）若点为第一象限内抛物线上一点，求点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积．
【答案】（1），顶点D的坐标为
（2）点M的坐标为，面积的最大值为4
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、二次函数和一次函数的综合，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可知、、的坐标，再将其代入中，利用待定系数法即可求解得，即可求解；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点M作轴交直线于点M，交x轴于点N，设M点的坐标为，则P点的坐标为，可得，可得，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
把代入得：，
∴抛物线变为：，
把点、点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴这个二次函数图象顶点D的坐标为；
【小问2详解】
设直线的解析式为，
代入，，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示：过点M作轴交直线于点M，交x轴于点N，
设M点的坐标为，则P点的坐标为，
∴
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
当时，，
此时点M的坐标为．
24. 课本原题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
（1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？
变式训练：
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？
（3）如图3，在中，，正方形的边长是10，且四个顶点都在的各边上，．求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质：
（1）设，根据，可得，即可求解；
（2）设，根据，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解．
【详解】解：（1）设，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：这个正方形零件的边长是；
（2）解：设，
∵，
∴
∴
解得：，
∴，
∵，
∴当时，的最大面积是，
此时．
∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长分别为．
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴．解方程：
解： 第一步
第二步
， 第三步
销售单价（元/件）
…
51
52
53
54
…
每月销售量（件）
…
98
96
94
92
…