33，山东省济宁市邹城市兖矿第一中学2024届高三下学期开年质量检测数学试题

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单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
解析：
4.设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即 ，，所以，，又因为，所以.
7.由已知可得，取，则，所以，所以，椭圆的方程为.
8.因为对于任意的，都有，，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，所以为的周期（可以严格推导，此处略），由得，又由时，有，可以画出与的图象，如图
您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3/份 由图象可得，函数的所有零点之和为.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
解析：12.由得，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以与单调性等图象变换基本一致，，由得，列表如下：
由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），
所以，在上单调递增，在上单调递增，即B正确；在时，取得唯一极
值（极小值，也是最小值），即A、D都正确.所以，本题答案为ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 0.025 14. 0 15. 16. ，.（第一空2分，第二空3分）
解析：
16.由题易知，三棱锥为棱长为1的立方体的一部分，如图
由等体积法求，，即.又由，即，所以；球内含于球，且，所以.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
解：（1）证明：当时，，即，
因为，所以.------------------------------------------------------------------1分
当时， ①
②
- ② 得，即，--------------------3分
因为，所以，------------------------------------------------------4分
又因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，-----------------------------5分
（2）由（1）可得.-----------------------------------------------------------------------------6分
，--------------------------7分
所以，
----------------------------------------------------------------------9分
所以，.--------------------------------------------------------------------10分
18. (12分)
解:(1)设这100名学生得分的中位数的估计值为，则
，
即.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中得分在[80, 90）的人数为.
若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[80,90）的人数为，则的所有可能取值为0,1,2，3.--3分
则
，-------------------------------------------------------------------4分
，-------------------------------------------------------------5分
，------------------------------------------------------------6分
,--------------------------------------------------------------------7分
则的分布列为
-----------------------------------------------------------------------------------------8分
所以.------------------------------------------9分
(3) 由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为45×10×0.010＋55×10×0.015＋65×10×0.020＋75×10×0.030＋85×10×0.015＋95×10×0.010＝70.5，所以取，-------------------10分
由已知， ，.
，----------------------11分
所以这2000名学生得分高于90分的人数最有可能为.-----------------------12分
19. (12分)
解：（1）由正弦定理，可化为
，------------------------------------------------------------------------------------1分
因为，即，
所以，---------------------------------------------------------------------2分
所以，
所以，------------------------------------------------------------------------------------------3分
又因为，所以，所以，-------------------------------------------------------------4分
因为，所以.--------------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为，且的面积为，
所以的面积为，-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分
所以，
因为，所以，
所以为等边三角形，所以，.---------------------------------------------------------7分
因为，所以.
在中，由余弦定理得，
所以.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
在在中，由正弦定理得
，
即，--------------------------------------------------------------11分
所以，.----------------------------------------------------------------------------------------------------12分
20. (12分)
解：（1）在线段上存在点，且为的中点，使得//平面.-----------------------------1分
证明如下：
取得中点，连结,,.
因为为的中点，
所以∥，且.---------------------------------------------------------------------------------------------2分
因为为的中点，且四边形为平行四边形，
所以∥,且,------------------------------------------------------------------------------------------------3分
所以∥,且,
所以四边形为平行四边形.
所以∥.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分
因为平面,平面,
所以∥平面.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为平面,且四边形为平行四边形，
平面.
因为，且，
所以,,，.---------------------------------------------------------------6分
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则,,,即,.--------------7分
令平面的法向量为，则
即
取，则，，即，------------------------------------------------------------------9分
由题易知，为平面的一个法向量.-----------------------------------------------------------------------10分
所以.------------------------------------------------------------------------------------------------11分
所以平面与平面所成夹角的余弦值.---------------------------------------------------------------------12分
21. (12分)
解：（1）由已知------------------------------------------------------------2分
解之得--------------------------------------------------------------------------3分
所以双曲线的方程为.---------------------------------------------------------4分
（2）.------------------------------------------------------------------5分
证明如下：
令，------------------------------------------------------------------6分
由得，------------8分
由得,
所以.-------------------------------------------------------------------9分
令关于的对称点为，且与直线的交点为,则
解之得即，-----------------------------------------------------10分
又因为，，所以,,三点共线， -----------------------------------11分
因为为线段的垂直平分线，所以，
所以，.----------------------------------------------------------------12分
22. (12分)
解：（1）由已知，的定义域为.---------------------------------------------------------------------------------1分
，--------------------------------------------------------------2分
由得，------------------------------------------------------------------3分
列表如下，
由表知，在区间上单调递减，在上单调递增.-------------------------5分
（2）当时，.----------------------------------------------------------6分
要证明，只需证，
只需证.---------------------------------------------------------------------7分
令，
.------------------------------------------------------------------8分
令，
，
所以在上单调递增，
所以，-----------------------------------------------------------------9分
由得，
列表如下，
由表知，的最小值为，--------11分
所以恒成立，所以.--------------------------------------------------12分1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
A
A
C
B
C
D
9
10
11
12
BD
AC
BCD
ABD
-
0
+
↘
↗
0
1
2
3
P
0
↘
↗
↘
↗