天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知空间向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 不存在
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 在等比数列中，，，则的公比为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 若双曲线经过椭圆的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A. B.
C 或D. 或
7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 设数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10 已知空间向量，，则__________.
11. 直线的倾斜角为_______________.
12. 设为等差数列的前项和，且，，则_________.
13. 已知空间三点，，，则点到直线的距离为__________.
14. 圆与圆的公共弦长为___________.
15. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，若直线与圆交于C，D两点，且，则直线的一个斜率为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，且，，求的前n项和.
17. 已知圆C经过，两点和坐标原点O.
（1）求圆C的方程；
（2）垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程.
18. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面夹角余弦值.
19. 在数列中，，.
（1）求，；
（2）记.
（i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
20. 已知椭圆：，离心率为，且经过点.
（1）求C的方程：
（2）过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习
高二数学
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.
【详解】由题意空间向量，，
则.
故选：A.
2. 已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线与不相交时的值，再验证即可得解.
【详解】当直线与不相交时，，解得或，
当时，直线：与直线：平行，因此；
当时，直线：与直线：重合，不符合题意，
所以实数的值为1.
故选：A
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.
【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y轴正半轴上，且，
可知，所以焦点坐标是.
故选：B.
4. 在等比数列中，，，则的公比为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.
【详解】由题意（分别为等比数列的首项，公比）.
故选：B.
5. 若双曲线经过椭圆的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得，利用渐近线方程可得，进而可得答案.
【详解】椭圆的焦点坐标为，
而双曲线过，所以，得，
由双曲线的一条渐近线方程为可得，则，
于是，即.
所以双曲线的标准标准为.
故选：D.
6. 过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.
【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为，
显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；
设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，
所以，所以解得，
所以满足题意的直线方程为或.
故选：D.
7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.
【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
,,,,,,
设平面的法向量为，
,即，取，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
8. 已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆与椭圆有交点得，即，可得，即可求解.
【详解】由题意知，以为直径的圆的方程为，
要使得圆与椭圆有交点，需，
即，得，即，
由，解得，
所以椭圆的离心率的最小值为.
故选：C
9. 设数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首项得，进而有，由裂项相消法求和即可.
【详解】由题意，则，
两式相减得，所以，
又，
所以，，
所以数列前10项和为.
故选：C.
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 已知空间向量，，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由题意知，.
故答案为：9
11. 直线的倾斜角为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解.
【详解】由题意，可知直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，解得，
即换线的倾斜角为.
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12. 设为等差数列的前项和，且，，则_________.
【答案】39
【解析】
【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解.
【详解】由题意为等差数列的前项和，且，，
所以，
而成等差数列，
所以.
故答案为：39.
13. 已知空间三点，，，则点到直线的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.
【详解】因，，，
所以，
与同向的单位方向向量，
则点到直线的距离为.
故答案为：
14. 圆与圆的公共弦长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.
【详解】 两圆方程分别为： ①，
②，
由- 可得： ，即，
两圆的公共弦所在的直线方程为：，
的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到公共弦的距离为： ，
公共弦长为： .
综上所述，公共弦长为：
故答案为：.
15. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，若直线与圆交于C，D两点，且，则直线的一个斜率为___________.
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
【分析】设的方程为，，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得，由圆的方程可知，直线过其圆心，，由列出方程求解即可.
【详解】由题意知，的斜率存在，且不为，设的方程为，，
联立，得，
易知，则，
所以，
圆的圆心，半径，且直线过圆心，
所以，由得，，
故答案为：（或，答案不唯一）.
.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，且，，求的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求的通项公式；
（2）由可得的首项与公比，可求前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为，，，
解得，所以；
【小问2详解】
设等比数列公比为，，，
得，解得，
所以.
17. 已知圆C经过，两点和坐标原点O.
（1）求圆C的方程；
（2）垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意可知，由此得圆的半径，圆心，进而得解.
（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.
【小问1详解】
由题意可知，
所以圆C是以，中点为圆心，为半径的圆，
所以圆C的方程为.
【小问2详解】
因为垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，
所以不妨设满足题意方程为，
所以圆心到该直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为或
18. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出，结合向量夹角余弦公式即可得解.
（2）要证明平面，只需证明，即只需证明.
（3）由（2）得平面的一个法向量为，故只需求出平面的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.
【小问1详解】
由题意侧棱平面，
又因为平面，
所以，
因为，所以，
所以两两互相垂直，
所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点.
所以，
，
所以，
设直线与所成角为，
所以.
【小问2详解】
由（1），
所以，
所以，
又因为平面，
所以平面.
【小问3详解】
由（2）可知平面，即可取平面的一个法向量为，
由（1）可知，
不妨设平面的法向量为，
则，不妨令，解得，
即可取平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则.
19. 在数列中，，.
（1）求，；
（2）记
（i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
【答案】19. ，
20. （i）证明见解析；.
（ii）.
【解析】
【分析】（1）由递推公式即可得到，；
（2）对于（i），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；
对于（ii），先写出，再利用错位相减法求得奇数项的前项和，利用等差数列的前项和公式求得偶数项的前项和，进而相加可得.
【小问1详解】
由，，得，
所以，，
即，.
【小问2详解】
（i）证明：由和得，
，
所以是，公差为的等差数列；
因为，所以，
即.
（ii）由（i）得，
当为奇数，即时，，
设前项中奇数项和为，前项中偶数项和为
所以①，
②，
由①②得：
，
，
，
即，则；
当为偶数，即时，，
所以.
综上所述，.
20. 已知椭圆：，离心率为，且经过点.
（1）求C方程：
（2）过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.
【小问1详解】
椭圆：，离心率为，且经过点，
则有，解得，所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），
设直线的方程为，
椭圆左顶点为，，点N在x轴下方，直线的斜率，
由，消去得，
设，则有，得，
，
原点到直线的距离，
则有，
当时，方程化简为，解得；
当时，方程化简为，解得，不满足，舍去.
所以直线的方程为，即.
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．