广东省潮州市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省潮州市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共22页。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.
一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题）
（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A. 长轴长为2B. 短轴长为C. 焦距为1D. 离心率为
2. 已知斜率为的直线经过点，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
3. 两平行直线，之间的距离是（ ）
A. B. C. 1D. 5
4. 抛物线上一点到其焦点距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A B. C. D.
5. 正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（ ）
A. B. C. D. 以上都不正确
6. 双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点在圆上，点，则当最小时，（ ）
A. B. C. D. 4
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知直线，下列结论正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线的斜率不存在D. 直线的斜率为
10. 在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A B. C. D.
12. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. D. 数列是等差数列
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆心为且经过点的圆的标准方程是________．
14. 设等比数列的前项和为，若，则实数________．
15. 已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为________．
16. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______.
三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆C方程为.
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求直线被圆C截得的弦长.
18. 已知等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，．
（1）若，求数列通项公式：
（2）若，求．
19. 在空间直角坐标系中，是直角三角形，三个顶点的坐标分别为，，求实数的值．
20. 数列的前项和为，且，在等差数列中，．
（1）求数列和通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
潮州市2023-2024学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.
一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题）
（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A. 长轴长为2B. 短轴长为C. 焦距为1D. 离心率为
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误.
【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即，
则.
所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
故选：D
2. 已知斜率为的直线经过点，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】因为斜率为的直线经过点，
所以，解得.
故选：B.
3. 两平行直线，之间的距离是（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行求出，再根据两平行直线的距离公式可求出结果.
【详解】因为，所以，解得，
所以两平行直线，之间的距离.
故选：A
4. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点的坐标，最后利用两点间距离公式即可求解.
【详解】设点.
由抛物线可得：焦点坐标为，准线方程为.
因为抛物线上一点到其焦点的距离为，
所以根据抛物线的定义可得：，解得：，则.
所以点到坐标原点的距离为.
故选：C.
5. 正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（ ）
A. B. C. D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.
【详解】设等差数列公差为，则，
又，，
均为正项数列，.
故选：C
6. 双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出交点横坐标，然后求解三角形的面积，推出离心率即可．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
将代入中，解得，
故，故，
故双曲线的离心率．
故选：C.
7. 已知点在圆上，点，则当最小时，（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，可判断直线与圆相离，故当过的直线与圆相切时，满足最小求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得.
【详解】，，
过,的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），
此时，
，
故选：B

8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用异面直线的距离可判定A，利用棱锥的体积公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐标法可判定D.
【详解】根据正方体的特征可知面，
又面，所以，
即是异面直线和的公垂线，
当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确；
易知，所以，故B正确；
易知是等边三角形，所以当是中点，而N与重合时，，
又由A项可知当分别与重合时，，故C错误；
如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，，
若存在点，使为等边三角形，则有，
由，由，
解方程得，
当舍去，
又因为所以符合题意，即D正确.
故选：C
（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知直线，下列结论正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线的斜率不存在D. 直线的斜率为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给定的直线方程，结合截距、斜率、倾斜角的意义逐项分析判断即得.
【详解】直线，当时，，则直线在轴上的截距为，A正确；
当时，直线斜率为，倾斜角为，B错误；
当时，直线垂直于x轴，其斜率不存在，C正确，D错误.
故选：AC
10. 在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C错误；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D正确.
【详解】由可知，即A正确；
当时，则，满足，因此，即B正确；
当时，易知，所以，可知C错误；
当时，可得，满足，可知，即D正确
故选：ABD
11. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可.
【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．
又，，得，所以或．
故选:BC．
12. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. D. 数列是等差数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等比数列的性质得到，即可得到关于和方程组，结合条件解得和，从而得到，再逐一分析各个选项，即可求解.
【详解】因为数列为等比数列，则，
由，解得：或，
则或，又为整数，所以，且，，所以B选项正确；
又，所以，
则，，，所以C选项正确；
因为，所以不是等比数列，所以A选项错误；
又有，
所以数列是公差为1的等差数列，所以D选项正确；
故选：BCD.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆心为且经过点的圆的标准方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【详解】因为圆心为且经过点，所以半径,
于是该圆的标准方程为：.
故答案为：.
14. 设等比数列的前项和为，若，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解.
【详解】根据题意，等比数列中，有，
则，，
，
因为是等比数列，则有，即，解可得.
故答案为：.
15. 已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
所以使得的最小值，则求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离，
则最小值为.
故答案为：5.
16. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积.
详解】由已知，得，
则，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
由，得，
所以，化简解得，
所以的面积为.
故答案为：.
三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆C方程为.
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求直线被圆C截得的弦长.
【答案】（1）圆心坐标为，半径为2；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出圆的标准方程即得解；
（2）求出圆心到直线的距离即得直线被圆C截得的弦长.
【详解】（1）由题得圆的方程为，
所以圆的圆心坐标为，半径为2.
（2）由题得圆心到直线的距离为，
所以直线被圆C截得的弦长为.
【点睛】结论点睛：直线被圆所截得到的弦长（其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）.
18. 已知等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，．
（1）若，求数列的通项公式：
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令公差为，利用等差数列和等比数列的通项公式直接求解即可；
（2）利用等比数列通项公式结合条件得到，即可求得等差数列的公差，然后直接利用公式求解即可.
【小问1详解】
由题知，令公差为，
又，且，
所以，
又，
所以，
所以或，
又，所以，
则.
【小问2详解】
若，
即，
所以或，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
19. 在空间直角坐标系中，是直角三角形，三个顶点的坐标分别为，，求实数的值．
【答案】或或或
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积为零，依次分析即可.
【详解】由于三个顶点的坐标分别为，，
，，
，
当时，，即，解得或；
当时，，即，解得或；
当时，，即，无解；
综上所述：的值为：或或或.
20. 数列的前项和为，且，在等差数列中，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与之间的关系可得数列的通项公式；利用等差数列的通项公式列方程组可得数列的通项公式.
（2）利用错位相减法可求得.
小问1详解】
当时，，即；
当时，由得，
则两式相减得，即，，
综上可知，是首项，公比的等比数列，
则，即.
设等差数列的公差为，则，
即，解得，
所以，即.
故，.
【小问2详解】
由（1）知，，
则①，
②，
①②得，
整理得
，
即，所以
21. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．
【答案】21. 证明见详解
22.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；
（2）先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
【小问1详解】
因为底面四边形是菱形，，
所以是的中点，又是的中点，
，平面，平面，
平面.
【小问2详解】
底面四边形是菱形，，所以是，的中点，
又是等边三角形，
，又，，
又，平面，
平面.又，
所以两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为2的等边三角形，，可得，
，，，，
，，由已知得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
所以，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角为.
【点睛】关键点睛：本题第二问是求线面角问题.解题的关键是先根据题意证明平面，可得两两互相垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）为定值，该定值为2
【解析】
【分析】（1）先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过和半焦距为3易得椭圆的标准方程；
（2）设，分别表示出直线方程，进而求得点的纵坐标，点横坐标，即可表示出，即可求得答案．
【小问1详解】
由焦点坐标可知，椭圆的焦点在轴上，
所以设椭圆：，焦距为，
因为椭圆经过点，焦点为
所以，，
解得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，由椭圆的方程可知，
因为，则直线，
由已知得，直线斜率均存在，
则直线，令得，
直线，令得，
因为点在第一象限，所以，，
则，
又因为，即，所以．
所以为定值，该定值为2.