2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（4）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 从小到大排列的数据的第三四分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.
【详解】，该组数据的第三四分位数为.
故选：D.
2. 若椭圆上一点到C两个焦点的距离之和为，则（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 1或3
【答案】B
【解析】
【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【详解】若，则由得（舍去）；
若，则由得．
故选：B.
3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，在利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，①
，②
联立①②可得，，
因此，.
故选：B．
4. 同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A. 32种B. 128种C. 64种D. 256种
【答案】C
【解析】
【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.
【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法；
若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法．
故一共有种去法．
故选：C.
5. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，
又因为平面平面，，且平面，
所以平面， 所以①正确；
对于②中，由平面，且平面，可得，
又因为，且，平面，
所以平面，所以②正确；
对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；
对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，
若平面平面，且平面平面，可得平面，
又因为平面，所以，
因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.
故选：C.
6. 已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.
【详解】设，因点的坐标为，所以，
则，
设，即，
依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，
即圆心到的距离，解得，
所以的取值范围为，
故选：D.
7. 若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.
【详解】
，的周期为，且
令，则，
则，由的值域为，
故，
则，故，
由知，，或.
即为函数的最大与最小值，或最小与最大值，
当对应图象上相邻两最值点时，的值最小，
故.
故选：B.
8. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数（且），则下列结论正确的是（ ）
A. 可能是实数B. 恒成立
C 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.
【详解】对于A：若是实数，
则，与已知矛盾，故A错误；
对于B：由A项知，
所以，
，故B正确；
对于C：若，
则，因为，所以，故C正确；
对于D：，
则，因为，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
10. 在中，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由化简得到，再逐项判断.
【详解】解：由，
因为，所以，
所以，
所以，不一定为1，A错；
因为，，
∴，
从而有，所以B正确，
又，所以也不一定等于1，C错；
而，D正确；
故选：BD
11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.
【详解】对A：令，，则，
因为，所以，故A正确；
对B：令得：，结合可得，
所以为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，
所以：，
所以，故C错误；
对D：令可得：;
用代替，得：，
结合C的结果，可得：，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案：.
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
13. 已知直三棱柱，则三棱柱的体积的最大值为__________；此时棱柱的高为__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】利用直三棱柱的特征、体积公式结合导数求单调性及最值计算即可.
【详解】
如图所示，不妨设，由题意则，
则，
令，
则时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
此时.
故答案为：；.
14. 已知正实数满足，，则当取得最小值时，__________．
【答案】
【解析】
【分析】将转化为与两点间距离的平方，进而转化为与圆心的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【详解】可将转化为与两点间距离的平方，
由，得，
而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点，
则与圆心的距离为：，
当且仅当，即时等号成立，
此时与圆心的距离最小，即与两点间距离的平方最小，
即取得最小值.
当时，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆上的点到上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.