2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（6）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，易得：
又
则有：
故选：C
2.在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为是三角形的内角，且，
所以，
因为在上单调递减，所以，故充分性成立；
反之，在上单调递减，，
若，则，故必要性成立，
所以在中，“”是“”的充要条件，
故选：C.
3.已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α
B. 若m∥β，n∥β，且m，n⊂α，则α∥β
C. 若m∥n，n⊂α，则m∥α
D. 若l⊥β，l⊂α，则α⊥β
【答案】D
【解析】对于A：若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，若m和n为相交直线，才有l⊥α，故A错误；
对于B：若m∥β，n∥β，且m和n为相交直线，m，n⊂α，才有α∥β，故B错误；
对于C：若m∥n，m⊄α，且n⊂α，才有m∥α，故C错误；
对于D：若l⊥β，l⊂α，根据面面垂直的判定，则α⊥β，故D正确；
故选：D．
4.已知为数列的前项和，，，那么（ ）
A．-64B．-32C．-16D．-8
【答案】B
【解析】时，，，可得：，化为．
时，．
数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．
那么．
故选：B．
5.某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为服从正态分布，所以
则
且在区间内的个数为，故可估计值约万个.
则
故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为.
故选：B.
6.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（）多项式.例如，记作.利用求得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，解得或（舍去），所以；
故选：A.
7.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】为局部奇函数，则在R上有解，
即，∴，
∵，∴，即，∴，
故选：A．
8.已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，设，
由，得，
所以轴，即，
不妨设点在第一象限，则.
设，由，得，
，
，即，
点在双曲线上，
，
整理得，，
解得，或(负值舍去).故选C.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B. 若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
【答案】ACD
【解析】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B错误，D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C正确.
故选：ACD．
10.已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是（ ）
A. 的一个周期是B. 是非奇非偶函数
C. 在单调递减D. 的最大值大于
【答案】ABD
【解析】，
的一个周期是，故A正确；
，
是非奇非偶函数，B正确；
对于C，时，，不增不减，所以C错误；
对于D，，，D正确.
故选：ABD
11.如图直角梯形，，，．E为的中点，以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且，则（ ）
A．平面平面
B．
C．二面角的大小
D．与平面所成角的正切值为
【答案】AC
【解析】A选项中，,在中, ,，易知,且,
平面,平面,平面平面,故A选项正确；
B选项中,先假设，易知,,可得平面,则，而,显然矛盾，故B选项错误；
C选项中，易知二面角的平面角为,根据折叠前后位于同一平面上的线线位置关系不变知,故C选项正确；
D选项中,由上面的分析知，为与平面所成角，在中，,故D选项错误；
故选:AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个的值为_________.
【答案】4（答案不唯一，满足即可）
【解析】由题意得，
，令,解得
或，
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取极大值，
所以的一个取值可取，
故答案为：4（答案不唯一，满足即可）.
13.将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】如图，连接交底面于点，则点就是该组合体的外接球的球心.
设三棱锥底面边长为，则，得，所以，，所以.
故答案为：；.
14.已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，由可知R为MN的中点，所以，，
设，则切线PM的方程为，
即，同理可得，
因为PM，PN都过，所以，，
所以在直线上，
从而直线MN方程为，
因为，所以，
即直线MN方程为，
所以直线MN过定点,
所以R在以OQ为直径的圆上，
所以.
故答案为: