2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（25）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，均为的子集，且，则下面选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为，均为的子集，且，
所以，
所以，
故选：C
2.复数满足，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】设复数，
由得，
所以，解得，
因为时，不能满足，舍去；
故，所以，其对应的点位于第二象限，
故选：B。
3.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因，定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，所以排除A、D；
令，则，所以当时，所以在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，故排除C，
故选：B
4.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为（ ）（单位：）
A．3300B．3700C．3900D．4500
【答案】A
【解析】根据题中条件可得：该玉琮的体积为底面边长为、高为的长方体的体积减去底面直径为、高为的圆柱的体积，
因此.
结合该玉琮外面方形偏低且去掉雕刻的部分，可估计该玉琮的体积约为3300.
故选：A.
5.已知等差数列对任意正整数都有，则（ ）
A 1B. 8C. 5D. 4
【答案】D
【解析】因为等差数列对任意正整数都有
当时,
整理得: ,
可得: ,即①,
当时,
整理得:,
可得: ②,
将①代入②,可得,
所以.
故选:D
6.点在圆上运动，直线分别与轴、轴交于、两点，则面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知点、，则，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最大值为，
所以，面积的最大值是.
故选：D.
7.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A. 事件A发生的概率B. 事件B发生的概率
C. 事件B不发生条件下事件A发生的既率D. 事件A､B同时发生的概率
【答案】A
【解析】由题意可知：
阴影部分面积为：
,
故选：A
8.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列命题中，下列说法正确的是（ ）
A.已知随机变量服从二项分布，若，则；
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
C.设随机变量服从正态分布，若，则；
D.某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.
【答案】BCD
【解析】对于选项A,根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以A错误；
对于选项B,根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；
对于选项C,由正态分布的图像的对称性可得，所以C正确；
对于选项D,由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，，同理得时，，即最大，
，所以D正确.所以正确命题的序号为BCD.
故答案为：BCD．
10.设函数的图象为曲线，则（ ）
A．将曲线向右平移个单位长度后与曲线重合
B．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则与曲线E重合
C．将曲线向左平移后所得图象对应的函数为奇函数
D．若，且，则的最小值为
【答案】BD
【解析】选项A：将曲线向右平移个单位长度后可得.
当时，，所以平移后图象与曲线不重合，故选项A不正确.
选项B：将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得，故B正确.
选项C：将曲线向左平移后可得
显然时，，所以此时不为奇函数，故C不正确.
选项D：由，可得，即
由，所以，
所以，由，可得的最小值为，故D正确.
故选：BD
11.如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（ ）
A. 当E与重合时，异面直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 在平面内的射影长为
D. 当E向运动时，二面角的平面角保持不变
【答案】BCD
【解析】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误；
B：，易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；
C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确；
D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________．
【答案】5或6
【解析】设数列满足，则数列的前n项和为
，
∴，又，，
∴，即，
解得，或，
故5或6.
13.已知圆和圆与轴和直线相切，两圆交于两点，其中点坐标为，已知两圆半径的乘积为，则的值为___________.
【答案】
【解析】由题设，圆和圆与轴和直线相切，且一个交点，
∴和在第一象限，若分别是圆和圆的半径，可令，，，∴，易知：是的两个根，又，∴，可得，则，而直线的倾斜角是直线的一半，∴.
故答案为：.
14.设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，则点，的横坐标之积为________,若，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________.
【答案】1
【解析】由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上，设，且
， ，即：
方程为：；方程为：
，
联立可得点横坐标为：
且在上单调递减
，即的面积的取值范围为：，
故答案为: 1 。