2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（29）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知M，N均为R的子集，且，则＝（ ）
A. B. MC. ND. R
【答案】C
【解析】用图示法表示题意，如下图，
故＝N，
故选:C．
2.已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】，
则有，，解得，
则，，故．
故选：C
3.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】：等价于等价于或，
∴是的充分不必要条件，
故选：A.
4.近年餐饮浪费现象严重，触目惊心，令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展一次问卷调查，目的是了解师生对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的人的得分数据．据统计此次问卷调查的得分（满分：分）服从正态分布，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
因此，.
故选：A.
5.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】B
【解析】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.
故选：B
6.正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，因为
所以，可得
设函数在是增函数，且
所以由，即，所以
函数在是增函数，且
由，即，所以
所以
故选：A
7.设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：，
A：因为在抛物线内部，而到准线的距离为：，
所以的最小值为，不符合题意；
B：因为在抛物线上，所以的最小值就是，不符合题意；
C：因为在抛物线内部，到准线的距离为：，
所以的最小值为，符合题意，
D：因为在抛物线外部：所以的最小值就是
，不符合题意，
故选：C
8.已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数的图像关于点中心对称，且，
当时，，
则，当且仅当时取等号，
故，函数在上单调递增，
因为函数的图像关于点中心对称，
所以函数在上单调递增，
不等式可化为或，
，即，解得，
，即，解得，
故不等式的解集为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在（0，+∞）上单调递减
C. 是周期函数D. ≥-1恒成立
【答案】AD
【解析】的定义域为R
，
则为偶函数.故选项A判断正确；
时，
恒成立，则为上增函数.
故选项B判断错误；选项C判断错误；
又为偶函数，则为上减函数
又，则的最小值为.故选项D判断正确；
故选：AD
10.在四边形中(如图1所示)，，，，将四边形沿对角线折成四面体(如图2所示)，使得，E，F，G分别为棱，，的中点，连接，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. C，E，F，G四点共面
D. 四面体外接球的表面积为
【答案】AB
【解析】如图，取的中点，连接，.
对于A，∵为等腰直角三角形，为等边三角形，
∴，，，
∵，∴平面，∴，故A正确；
对于B，设，，，
则，，，，，，
∴，
，故B正确.
对于C，连接，
∥BD，∴GF和显然是异面直线，∴C，E，F，G四点不共面，故C错误.
对于D，
易证△，∴.
取的中点Q，则，即Q为四面体外接球的球心，∴该外接球的半径，从而可知该球的表面积，故D错误.
故选：AB.
11.设函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 函数有两个零点
C. 函数的图象关于点对称
D. 过原点与函数相切的直线有且只有一条
【答案】BCD
【解析】的定义域为，
，所以是非奇非偶函数，A选项错误.
由，解得，所以B选项正确.
，令，
的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以关于对称，C选项正确.
对于D选项， 图象上一点，
当时，，
则，
故过点切线方程为，
将代入上式得，
整理得，
构造函数，
在递增；在递减.
，所以，即方程无解，
也即当时，不存在过原点的切线.
当时，，
，
则，，
故过点的切线方程为，
将代入上式得，
整理得，
构造函数，
所以在递减，，
所以有唯一零点，
也即当时，存在唯一一条过原点的切线.
综上所述，D选项正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若，则_________．
【答案】3093
【解析】由题设，含的项中，当为奇数，项系数为负，而当为偶数，项系数为正，
所以，
令，则；令，得，
所以．
故答案为：.
13.已知直线和双曲线相交于两点，为原点，则面积为_______.
【答案】
【解析】联立得，设，
则，所以
又因为点到直线的距离为：，所以
.
故答案为：.
14.根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______.
【答案】
【解析】由已知可得显然，
若，则，解得，
此时，与矛盾，不符合题意；
若，则，解得，此时，符合.
所以，，，，，所以，
所以
.