浙江省台州市黄岩区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份浙江省台州市黄岩区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．蜡烛在真空中燃烧
D．班里的两名同学，他们的生日是同一天
3．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直径，是的弦，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）
A．3B．6C．﹣3D．﹣6
7．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为(1，2)，将绕点 逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为 ( )
A．2B．3C．4D．6
8．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最高点，则点到弦所在直线的距离是（ ）行．

A．米B．米C．米D．米
10．设二次函数的解析式为（为常数，），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
若这三个数中，只有一个是负数，则可以取（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右．由此可以估计盒子中红色小球的个数是 个．
13．如图，点A是反比例函数的图象上的点，过点A分别向x轴，y轴作垂线段．若阴影部分面积为6，则 ．
14．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在上，则 ．
15．如图，在中，，点D，E分别在线段上，，则 .
16．如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕着点顺时针旋转．
(1)画出旋转后的三角形；
(2)求点经过的路线长．（结果保留）
19．2023年世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．
(1)求小南被分配到引导员进行志愿服务的概率；
(2)请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，且的面积为6，求点的坐标．
21．如图，用长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米．设米，菜园的面积为S平方米．
(1)当时，x的值为多少？
(2)当x的值为多少时，菜园的面积S最大？最大面积是多少？
22．如图，是矩形的对角线，点E在边上，连接交于点F，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．已知抛物线（，为常数，且）．
(1)若抛物线只经过点，，中的两点，求抛物线的解析式；
(2)若点为（1）中抛物线上一点，且，求的取值范围；
(3)若抛物线与直线都经过点，求证：．
24．如图，在等腰中，，点为的中点，是的外接圆，将沿边翻折得到．
(1)如图1，当为等边三角形时，下列结论正确的是 ．
①是直角三角形；
②是等腰直角三角形；
③是的切线；
④
(2)如图2，当点恰好落在上时，
①求证：是等腰三角形；
②求的长．
(3)当最大时，直接写出此时的半径．
⋯
0
1
2
3
⋯
⋯
1
1
⋯
参考答案：
1．A
【分析】本题考查中心对称图形的概念：“在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．” 根据中心对称图形的定义进行判断．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义是正确判断的关键．根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；
B. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C. 蜡烛在真空中燃烧是不可能事件，故本选项符合题意；
D. 班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据，则，则，求出，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】此题考查了圆周角定理，熟知直径所对圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据直径所对圆周角是直角得到，由得到，由同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：C．
6．B
【分析】把x＝a代入一元二次方程，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．
【详解】解：把x＝a代入一元二次方程，得
a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a=6，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．
7．B
【分析】由旋转可得点D的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），从而求得结果.
【详解】由题意得OB=1，AB=2，
∴AD=2，
∴点D的坐标为（3，2），
∴点C的坐标为（3，1），
∴k=3×1=3．
故选B．
考点：旋转的性质，反比例函数图象上的点的特征
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据球队总数×每支球队需赛的场数，就可列出方程．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
∴方程为
故答案为：B．
9．D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，的延长线交于点，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】解：连接，的延长线交于点，
由题意得：米，，
（米），，
由勾股定理得：（米），
米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查二次函数图像与性质，根据二次函数图像与性质，设出表达式，并确定对称轴，进而根据题意得到，由对称轴公式即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：抛物线过，
设，且对称轴为，
，
这三个数中，只有一个是负数，
，即，解得，则由得到，
故选：D．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可得到答案，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，由此估计，摸到红色小球的概率是0.4，
设盒子中红色小球的个数是，则，解得，
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，根据反比例函数的几何意义解答即可．
【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为6，
由反比例函数的几何意义得，，
，
图象位于第一象限，
．
故答案为：6．
14．/50度
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理；解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，
∴．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，当时，，可得；当与不平行时，作，通过证明是等边三角形，可得，进而可得．注意分类讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况，当时，如图：
，
，，
，
；
当与不平行时，作，如图：
同上可得，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
中，
，
，
，
，
故答案为：或．
16．/
【分析】本题考查动点最值-点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解法转化为求线段长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模型的解法是解决问题的关键．
【详解】解：在矩形中，，，
，即，
，
点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示：
由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长，
在中，，则，
，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：“因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法”．
（1）利用平方差公式因式分解即可求解；
（2）利用因式分解法求出的值即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了作图—旋转变换、以及弧长计算，解题关键是正确作图．
（1）根据题意分别作出点、点的对应点，依次连接各点即可；
（2）点经过的路线就是以点为圆心，为半径，圆心角是的弧，求出弧的长度即可．
【详解】（1）如图，即为所求：
（2）由题意得，，，
，
点经过的路线长为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查概率综合，涉及简单概率公式、列举法求概率等知识，熟练掌握一步概率问题及两步概率问题的解法是解决问题的关键．
（1）根据一步概率问题的解法，直接利用简单概率公式求解即可得到答案；
（2）根据两步概率问题的解法，利用列表法表示出所有等可能的结果及满足题意的事件结果，利用简单概率公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员，
小南被分配到引导员进行志愿服务的概率；
（2）解：令表示引导员、表示联络员、表示咨询员，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的结果有3种，
（小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务）．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）先把代入中求出，得到，然后把代入中求出的值得到反比例函数的表达式即可；
（2）求得点的坐标，设点，则，根据三角形的面积公式求得的值，进而可得到点的坐标．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
点坐标为，
把代入得，，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：在直线中，令，则，
解得：，
点坐标为，
设点，则，
的面积为6，
，
解得：或，
坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，解题的关键是求得交点坐标．
21．(1)2或8
(2)当x的值为5时，菜园的面积S最大，最大面积是多
【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，关键是理解题意，正确列出函数关系式．
（1）根据矩形面积公式列方程求解即可，注意墙长的限制条件；
（2）根据矩形面积公式得到函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，，
当时，，
当时，，
∴当时，x的值为2或8；
（2）解：由题意，，
∵，
∴，又，
∴当时，S最大，最大值为50，
答：当x的值为5时，菜园的面积S最大，最大面积是多．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判断和性质以及矩形性质．
（1）根据矩形对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．
（2）由于，根据两三角形的性质可得，由已知即可求出．
【详解】（1）证明：∵在矩形中，，
，
又∵
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴．
23．(1)抛物线的解析式为：
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）先求出抛物线与轴的交点坐标为，从而确定抛物线经过、两点，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据抛物线与直线都经过点，可以推出，得到，由此即可证明结论．
【详解】（1）解：抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点坐标为，
抛物线不可能过，即抛物线经过、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，
抛物线的函数最小值为，
，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，；当，；
当时，，
点为抛物线上一点，且，
；
（3）抛物线与直线都经过点，
，
，
，，
，
．
24．(1)①③④
(2)①证明见解析；②
(3)
【分析】（1）根据等边三角形性质，由等腰三角形三线合一，结合翻折性质逐项判断即可得到答案；
（2）①利用同弧所对的圆周角相等，再结合翻折性质，即可得证；②先证得为等腰三角形，再由题中条件，利用三角形相似的判定得到，利用相似比代值求解即可得到答案；
（3）在中，由三角形三边关系，再结合三点可共线得到，从而确定当最大时，再由翻折性质可知，当四点共线时，即，得到是等腰直角三角形，从而有为的直径，连接，如图所示，由等腰直角三角形性质求解即可得到答案．
【详解】（1）解：为等边三角形，点为的中点，
为边上的中线，
由等腰三角形三线合一可得，
将沿边翻折得到，
，即是直角三角形，故①正确；
为等边三角形，点为的中点，
为边上的中线，
由等腰三角形三线合一可得为的角平分线，
，则，
将沿边翻折得到，
，
在中，，即不是等腰直角三角形，故②错误；
连接，如图所示：
，
，
将沿边翻折得到，
，
，
，即是的切线，故③正确；
为等边三角形，点为的中点，
为边上的中线，，
由等腰三角形三线合一可得，且为的角平分线，
，
在中，，，则，
将沿边翻折得到，
，
在中，，，，则，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：①证明：，
，
，
，
将沿边翻折得到，
，
，即，
是等腰三角形；
②将沿边翻折得到，
，
由①中可得，即为等腰三角形，
为等腰三角形，点为的中点，，
，，
，
，即；
（3）解：在等腰中，，点为的中点，
，
将沿边翻折得到，
，
在中，由三角形三边关系可得，再由题意可知，若三点共线，，即当最大时，，且三点共线，
将沿边翻折得到，
当四点共线时，结合对称性可知，即，
是等腰直角三角形，则为的直径，
连接，如图所示：
，
为中点，
，且，
，即，即此时的半径为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及等边三角形性质、等腰三角形的判定与性质、翻折性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用相关判定与性质求证是解决问题的关键．
1
2
3
1
1，1
1，2
1，3
2
2，1
2，2
2，3
3
3，1
3，2
3，3