山东省日照市2024届高三上学期期末校际联合考试数学试题（教师版）

这是一份山东省日照市2024届高三上学期期末校际联合考试数学试题（教师版），共23页。试卷主要包含了 实数满足，则的大小关系是，3B， 设为复数等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合的交运算即可求交集.
【详解】.
故选:A.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为,,
所以,
则.
故选：A.
3. 若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和存在量词的性质即可判断.
【详解】等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；
若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.
故选：A.
4. 实数满足，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，结合幂函数单调性知；利用对数复合函数的性质推得，从而得解.
【详解】由，得，即，所以；
由，得，
因为，
所以，即；
综上，.
故选：D.
5. 在平行四边形ABCD中， ，则 （ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，将与都用与表示，再求数量积即可.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图所示：

因为，所以是的中点，即，
，,
因为，所以，
因此，.
故选：A.
6. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ）
A. 0.3B. 0.4
C. 0.5D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全概率公式，代入数据计算可得答案．
【详解】根据题意，，则，
则，
解可得：．
故选：B．
7. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分，
可得，且，所以圆柱底面直径，
设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得，
所以，由勾股定理得，解得.
故选：A.
8. 设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令体积为1，求出正方体、正四面体的棱长，球的半径，再求出表面积作答.
【详解】令正方体、正四面体和球的体积为1，
设正方体的棱长为，则，解得，表面积，
设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形的外接圆半径，
正四面体的高，体积，
解得，表面积，
设球半径为，则，解得，表面积，
所以.
故选：C
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断C选项；解方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，A对；
对于B选项，若，不妨取，则，但，B错；
对于C选项，若，则，故，C对；
对于D选项，若，则，解得，D错.
故选：AC.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B. 函数f(x)的图象关于 对称
C. 函数f(x)的图象关于 对称
D. 函数f(x)在 上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图像求出，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由图可知：,
且,故，
，
故，
，
，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，故D正确.
故选：ACD
11. 数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D. 随机变量，当都增大时，概率增大
【答案】BC
【解析】
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D.
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确；
对于B, 当时，，故B正确；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：BC
12. 在平面四边形中，点为动点，面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（ ）
A. 为等比数列B.
C. 为等差数列D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据的面积是面积的3倍，推出，根据向量的共线可得，结合向量相等即可推出，即可得，由此可判断C，由此求出的表达式，可求得，判断B；利用等比数列定义判断A，利用错位相减法求数列的前n项和，判断D.
【详解】设交于E点，则，
即，
故，
由于三点共线，故存在实数，使得，
即得，
故，整理得，
即，则，即
而，故为首项是，公差为的等差数列，C正确；
则，故，
故，B正确；
又常数，故不为等比数列，A错误；
，
故，
则
，
故，D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据已知的三角形面积之间的关系推出，从而根据向量的共线推出，得到，由此即可求得的表达式，进行求解.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的系数是___________.
【答案】40
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式，即得解
【详解】因为，所以的展开式中的系数是40.
故答案为：40
14. 已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，然后直接计算离心率即可.
【详解】设的半焦距为，由题意知，
所以，
故答案为：.
15. 已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，从而得到，即可可得圆的半径，结合圆的面积公式，即可得到结果.
【详解】
如图所示，由圆的面积为知球心到圆的距离，
在中，， ∴，
故圆的半径，∴圆的面积为.
故答案为：
16. 已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为__________.（写出符合要求的一条切线即可）
【答案】（或）
【解析】
【分析】先求导，设切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论求解切线方程.
【详解】设存在三个不同点在曲线上，
则，且互不相同，
由题可得，，
故在的切线方程分别为：，，，
根据题意可得
由①可知，，
由②，令，
则，
即，
平方可得，，
即，
由于互不相同，则，
则可得，故，则，
由此可得其切线方程为：，
故答案为：（或）
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 记的三个内角分别为，，.其对边分别为，，，若，的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用余弦定理，得；再利用三角形面积公式，得；最后利用同角三角函数基本关系即可求解
（2）先根据同角三角函数基本关系求出和；再利用正弦定理表示出和；最后将数值代入即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理知：
在中，，
，即
又
，即
.
【小问2详解】
由（1）知，则角为锐角.
，
.
由正弦定理知：，则，.
.
又，，
.
18. 已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为.已知.
（1）求公比；
（2）记第行的数所成的等差数列的公差为，把所构成的数列记作数列，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知成等差数列，借助公差算出，由成等比数列，即可算出公比；
（2）借助等比数列求出，的通项公式，利用为等差数列，求出，借助等比数列的求和公式求出即可.
【小问1详解】
由题意知成等差数列，
其公差为，
，
又成等比数列，且，
公比，由于，故；
【小问2详解】
结合（1）问，由，公差为，所以，
而，故，所以；
又，所以，
由于为等差数列，公差为，
所以，即，
所以.
19. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.
参考公式：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出相关数据，求出，即可求得关于的线性回归方程；
（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，确定的所有可能值，求出每个值相应的概率，即可求得X的期望，进而可得该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望，列出不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得，
又，
，
，
，
所以，
故得关于线性回归方程为；
【小问2详解】
设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，
，
，
，
，
则，可得，
又因为，可得，
故.
20. 如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先得到，再得到平面，用线面平行的性质定理证明即可；
（2）先建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，用求向量夹角余弦值的公式求解即可.
【小问1详解】
在直角梯形中，
因为，又平面平面，
所以平面，
因平面，平面平面，且平面，
所以.
【小问2详解】
设，连接，则直线为直线，
由（1）知，由题意知，取中点，连接，
则
因为平面平面，平面平面
所以平面
取的中点，连接，则四边形为正方形，连接，则
所以两两垂直，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
所以，取，得
设平面的法向量为，则
所以，取，得
所以.
所以平面与平面所成角的余弦值为.
21. 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若在区间上存在唯一零点，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，再由分类讨论即可得解；
（2）在区间上存在唯一零点，即存在唯一的，使得，即得，要证明，则只需证明，即只需证明即可，构造函数，利用导数求出其最小值即可得证.
【小问1详解】
由题意知，
，
令，得，
又因为，则，，
①当时，有，此时，
所以此时在上单调递增；
②当时，有，
令得：，
所以在和上单调递增，
令得：，所以在上单调递减；
③当时，有，
令得：，
所以在和上单调递增，
令得：，所以在上单调递减.
综上所述：当时，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
【小问2详解】
由题意知在区间上存在唯一零点，
即存在唯一的，使得，即得，
若要证明，则只需证明，
即只需证明即可，
不妨设，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.
（1）求抛物线的标准方程，并证明；
（2）过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用焦点重合可计算出抛物线方程，设出直线分别联立椭圆及抛物线,求出弦长,进行转化即可证明；
（2）当斜率存在时，由（1）的过程可易得，，表示出四边形的面积，还需讨论斜率不存在.
【小问1详解】
设抛物线的方程为，
由椭圆得：，则，故抛物线的焦点坐标为，
所以，所以抛物线的方程为
易知过点的直线的斜率存在，故可设直线方程为，
设，
联立，消去得：，
则，
所以.
联立，消去得：，
则，
则,
又,
，
即.
【小问2详解】
设，
当直线的斜率存在且不为零时，
设直线方程为，则直线方程为，
由（1）的过程可知：，
由，以替换，可得，
所以四边形面积，
因为，所以，
所以
当直线的斜率不存在时，
联立，解得,
易得：，
所以四边形面积；
综上所述：，所以四边形面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消元建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、四边形的面积等问题．
A大学
B大学
C大学
D大学
2023年毕业人数（千人）
8
7
5
4
2023年考研人数（千人）
0.6
0.4
0.3
0.3