必修第二册第六章 平面向量 专题6.3平面向量的运算（重难点题型精讲）习题及答案-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019）

专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）专题6.3  平面向量的运算（重难点题型精讲）1．向量的加法运算（1）向量加法的定义及两个重要法则（2）多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：a+b+c=a+(b+c).3．向量的减法运算（1）相反向量我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.零向的相反向量仍是零向量.（2）向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法.（3）向量减法的三角形法则如图，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b，则BA=OA-OB=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.    4．向量的数乘运算（1）向量的数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①λa=λ|a|；②当λ >0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0，则直线AP一定通过△ABC的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【题型6  向量线性运算在三角形中的运用】【方法点拨】结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）21．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB+yAD，则2x+y等于（    ）A．25 B．45 C．1 D．2【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）22．2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ES-AP=λBQ，则λ=（    ）A．5+12 B．5-12 C．-5+12 D．1-52【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）23．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5-12.下列关系中正确的是（    ）A．BP-TS=5+12RS B．CQ+TP=5+12TSC．ES-AP=5-12BQ D．AT+BQ=5-12CR【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）24．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且EB=3DE，若AE=λAD+μACλ,μ∈R，则（    ）A．λ=12μ B．λ=2μ C．λ=3μ D．λ=13μ参考答案：1．B【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.【详解】因为AB-AD+CD=DB+CD=CD+DB=CB，故选：B.2．C【分析】利用向量的线性运算直接求解.【详解】AC-BD+CD-AB+BC=AC+CD+DB+BA+BC=0+BC=BC.故选：C3．D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB+BC=AC，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得AB-AD=DB，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB+AD=AC，C错误；根据三角形法则可得BC+CD=BD正确，所以D正确.故选：D.4．D【分析】根据向量加减法运算法则计算即可【详解】对A，原式=AC-AC=0，正确；对B，原式=AB+BO+OM+MB=AB，正确；对C，原式=OA+AD+DO=0，正确；对D，原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB，错误.故选：D．5．A【解析】根据向量的减法法则可得选项．【详解】由向量的减法得b-a=e1-3e2，故选：A．6．A【分析】根据向量线性运算法则，结合图像即可求解.【详解】a-b等于向量b的终点指向向量a的终点的向量，如图所示：分解后易知a-b=-e1+3e2.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.7．D【分析】根据图象求得正确答案.【详解】由图象可知a=e1+3e2,λ=1,μ=3,λ+μ=4.故选：D8．C【分析】以a为x轴，b为y轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项．【详解】以a为x轴，b为y轴建立坐标系，则a=(1,0)，b=(0,2)．A(1,3)，B(3,1)，C(2,5)，D(5,4)．AB-AD+BC=DB+BC=DC=(-3,1)．令DC=xa+yb．得到(-3，1)=x(1，0)+y(0，2)．解得x=-3，y=12．所以AB-AD+BC=-3a+12b．故选:C9．B【分析】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解.【详解】根据向量运算公式可知，3a+b-2a-b-a=3a+3b-2a+2b-a=5b.故选：B.10．A【分析】由向量的运算可得答案.【详解】3a-2b+c=3×2e-2×-3e+6e=18e.故选：A.11．B【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.【详解】由题意，32a→-b→-2a→+3b→=4a→-9b→.故选：B.12．B【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】依题意得：a+2b+2a-b=a+2b+2a-2b=3a，故选：B.13．B【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【详解】DE=AE-AD=23AC-AD=23⋅(AB+AD)-AD=23a-13b故选：B.14．D【分析】根据向量加法、减法的运算求得DC.【详解】DC=AC-AD=AB+BC-AD=a-b+c.故选：D15．D【分析】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.【详解】在平行四边形ABCD中，依题意，OC=-OA=-a，而OB=b，所以BC=OC-OB=-a-b.故选：D16．C【详解】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【解答过程】BD→=AD→-AB→=AC→+CD→-AB→=b→-a→+c→，故选：C.17．D【分析】由向量的运算可得CA=AP，进而可得解.【详解】∵PA+PB=PC+AB，∴PB-PC=AB-PA，∴CB=AB+AP，CB-AB=AP，即CA=AP.故点P在边AC所在的直线上.故选：D.18．B【分析】根据共线定理可知即PC与PA共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【详解】∵CB=PB-PC,CB=λPA+PB∴PB-PC=λPA+PB，∴-PC=λPA，∴PC//PA，即PC与PA共线∴P点一定在AC边所在直线上.故选：B．19．B【分析】根据给定条件，求出BD,AC，再利用共线向量逐项判断作答.【详解】a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，则BD=BC+CD=a+5b，AC=AB+BC=-a+13b，因1-2≠58，则AB与BC不共线，A，B，C三点不共线，A不正确；因AB=BD，即AB→与BD→共线，且有公共点B，则A，B，D三点共线，B正确；因-23≠8-3，则BC与CD不共线，B，C，D三点不共线，C不正确；因-13≠13-3，则AC与CD不共线，A，C，D三点不共线，D不正确.故选：B20．C【分析】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE．动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，则AP=2λAE．即可判断出结论．【详解】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE．动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，则OP-OA=2λAE则AP=2λAE.则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C．21．D【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将AG用AB,BC表示出来，求出x，y的值，即可求解．【详解】由题意可得AG=AB+BG=AB+12BH=AB+12BC+CH=AB+12BC+14CE，因为EFGH是平行四边形，所以AG=-CE，所以AG=AB+12BC-14AG，所以AG=45AB+25BC，因为AG=xAB+yAD，所以x=45,y=25，则2x+y=2×45+25=2．故选:D22．D【分析】根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．【详解】五角星中，ES=RC，AP=QC，则ES-AP=RC-QC=RC+ CQ=RQ，由于 AT=5+12TS⇒RQ=25+1QB=5-12QB=-5-12BQ=1-52BQ则λ=1-52，故选：D23．A【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT=5-12．在A中，BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS，故A正确；在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST，故B错误；在C中，ES-AP=RC-QC=RQ=5-12DR=5-12QB，故C错误；在D中，AT+BQ=SD+RD，5-12CR=RS=RD-SD，若AT+BQ=5-12CR，则SD=0，不合题意，故D错误．故选：A．24．B【分析】由平面向量的运算法则求解【详解】平行四边形ABCD中，因为EB=3DE，所以DE=12DO=12AO-AD，又因为AO=12AC，所以AE=AD+DE=AD+1212AC-AD=14AC+12AD，又因为AE=λAD+μAC，所以λ=12，μ=14，则λ=2μ，故选：B