数学苏科版3.1 勾股定理单元测试同步训练题

这是一份数学苏科版3.1 勾股定理单元测试同步训练题，共19页。
【知识点1】勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：）
【知识点2】勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形是直角三角形.
【知识点3】勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，一文物被探明位于点地下处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离点的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖（ ）米

A．14 B．48 C．50 D．60
3．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是（ ）．

A． B． C． D．
4．《九章算术》中有一题：今有开门去阃十寸，不合二寸，问门广几何？大意是：如图，从点（ 是的中点）处推开双门，点与点距离门槛的距离，都为10寸，双门间隙，的距离为2寸（即为2寸），根据题意可列出的等式关系是（ ）．

A．B．
C．D．
5．如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长是下列哪一个关于x的方程的根（ ）

A． B． C． D．
6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
7．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A，B两地距公路l的距离分别为AC、BD，BD＝4km，小华从A处出发到公路l上的点P处取一物品后去到B处，全程共18km，已知PC＝5km，PD＝3km，则A处距离公路l(AC)（ ）

A．13km B．12km C．8km D．8km
9．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）

A．9 B．12 C．14 D．16
10．图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（ ）

A．10 B．17 C．14 D．13
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝ ．
12．已知某直角三角形的一条直角边和斜边长分别为和．
（1）该直角三角形的另一直角边长为________；
（2）该直角三角形斜边上的高为________．
13．如图，某处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，仅仅少走了 米．

14．如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于 ．
15．若Rt△ABC两直角边上的中线分别是AE和BD，则AE2+BD2与AB2的比值是 ．
16．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高的端点A到达，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
17．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米， 为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
18．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
20．（8分）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．
21．（10分）我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形，三边分别为，，，过点作于，为，的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出，再求出高，从而求出三角形的面积．
请你用这一方法，解决下列问题：
已知，，，，求的面积．

22．（10分）教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：

小明同学按照下面的方法解决了这个问题：
如图，过点A作，延长至D，使，连接，交直线l于点C，连接，此时 最短，根据对称可知：，∴此时最短．
请你帮助小明解决如下问题：过点B作，垂足为F，若米，米，米，求的长．

23．（10分）问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．
定理表述：
（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；

尝试证明：
（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．

定理应用：
（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

24．（12分）
请阅读《三角板中的学问》，并完成以下问题：
三角板中的学问
直角三角板是我们学习中常用的作图工具，我们知道一副直角三角板中，一个三角板是等腰直角三角形，另一个直角三角板有一个锐角为，且角所对的直角边是斜边的一半．
数学小组的同学们在活动中进行了量一量、拼一拼的活动．
填空：如图①，希望小组的同学们量出的直角三角板最短直角边为，则较长直角边约为 ．
探究一：智慧小组把一副直角三角形按如图②所示方式叠放在一起，，与交于点 F，求的度数并说明理由．
探究二：创新小组把一副直角三角形按如图③所示方式叠放在一起，，求的度数并说明理由．
参考答案
1．D
【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．
2．C
【分析】根据题意，，根据勾股定理即可求解．
解：∵，，
∴
故选：C．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
3．B
【分析】根据图中的直角三角形中已知斜边与一条直角边，求出直径，计算圆的面积即可．
解：由图中直角三角形中：斜边，一条直角边，根据勾股定理可得：
，
这个半圆的面积
故选：B．
【分析】本题考查了勾股定理及圆的面积计算，关键是掌握勾股定理所揭示的直角三角形边长之间关系和圆的面积公式．
4．C
【分析】在中，用含有的式子表示，根据勾股定理列出等式关系即可．
解：由题意得：，，
寸，寸，
寸，
在中，由勾股定理得：
，
即，
故选：C．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理清楚题意，构建直角三角形是解题的关键．
5．A
【分析】设，利用勾股定理得出答案．
解：设，
根据勾股定理得：，
整理得：，
故选：A．
【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理列出式子是解题的关键．
6．B
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
解：由题意可知．，，
由勾股定理得，
故离门4米远的地方，灯刚好打开．
故选：B．
【分析】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息．
7．A
【分析】设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，根据三角形的周长以及勾股定理得出方程组，利用完全平方公式求出2ab=（a+b）2-（a2+b2）=m2-2mn，两边除以4即可求出这个直角三角形的面积．
解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，
由题意可得，，
∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=（m-n）2-n2=m2-2mn，
∴这个直角三角形的面积=ab=，
故选：A．
【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了完全平方公式，三角形的周长与面积．
8．B
【分析】由题意根据勾股定理先求出BP，进而得出AP并根据勾股定理即可得出AC的长.
解：∵，,
∴,
∵，
∴，
∵，
∴.
故选：B.
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理即进行分析是解题的关键.
9．D
【分析】当MN⊥BC时最短;当M在点A,N在点C时,MN最长,利用勾股定理计算即可;
解：解:当MN⊥BC时
MN最短=AB=AE+BE=4+5=9
当M在点A，N在点C时,
MN最长===15
∴9≤MN≤15
故答案选D
【分析】本题考查了两条平行线之间的距离以及勾股定理,识别出MN最短情况和最长情况是解题的关键．
10．D
【分析】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，再根据勾股定理求解即可．
解：作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，能够根据题意找出点E是解题的关键．
11．50
【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解．
解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边．
∵AB=5，
∴．
故答案为：50．
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
12．；
【分析】（1）根据勾股定理求出直角三角形的另一条直角边；（2）根据面积相等求出斜边上的高即可．
解：（1）由勾股定理可得另一直角边长为；
（2）设该直角三角形斜边上的高为，
根据面积相等可得，
解得：．
故答案为：（1）；（2）．
【分析】本题考查了勾股定理的逆应用和求三角形的高，正确计算是解答本题的关键．
13．4
【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案．
解：∵在中，，
∴，
∴，
∴仅仅少走了4米，
故答案为：4．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
14．18.5
【分析】先求出的边长，再利用进四边形的面积解题即可得到答案．
解：正方形和正方形的面积分别为，，且，，
正方形的面积
,
四边形的面积
故答案为：．
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握勾股定理是解题的关键．
15．5：4
【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再将等式变形为：AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，结合三角形中线的性质可得CD2+CE2=AB2，进而可求解．
解：如图，∠C=90°，
由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，
①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2，
∵AE，BD是△ABC的中线，
∴CD=AC，CE=BC，
∴CD2+CE2=（AC）2+（BC）2=AB2，
∴AE2+BD2=AB2+AB2=AB2，
即AE2+BD2与AB2的比值是5：4．
故答案为：5：4．
【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的中线，灵活运用勾股定理解题是求解的关键．
16．
【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．
解：∵圆柱底面圆的周长为，高为5，
∴将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，
如图，则：，
∴；
即：蚂蚁爬行的最短距离为13．
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．解题的关键是将几何体展开，利用勾股定理进行求解．
17．70
【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案．
解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．53
【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解．
解：∵，
∴，，
∴ ．
故答案为：．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和．
19．此时梯子底端离墙的距离为1.4m．
【分析】利用勾股定理解答即可．
解：∵△ABC是直角三角形，
∴
答：此时梯子底端离墙的距离为1.4m．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．90海里
【分析】根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解．
解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，
OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），
根据勾股定理得：海里，
即3小时之后两客轮之间的距离90海里．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．的面积为84
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出BD的长，再求出AD的长，即可计算出△ABC的面积．
解：设BD的长为x，则CD的长为14 - x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD2= AB2- BD2
AD2= AC2- CD2．
∴AB2- BD2 = AC2- CD2，
∵AB= 13， AC= 15，
∴132-x2=152-(14- x)2，
解得x = 5，
∴BD=5，CD=14-x=9，
∴AD2= 132- 52，
解得AD= 12，
∴S△ABC =
即△A BC的面积是84．
【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是求出BD和AD的长．
22．500米
【分析】过点D作交的延长线于点G，然后根据勾股定理求解即可．
解：如图所示，过点D作交的延长线于点G，

由题意可得，米，米
∴米
∴在中，米．
【分析】此题考查了勾股定理，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．（1）见分析；（2）见分析；（3）8000元
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据等积法可进行求解；
（3）利用勾股定理可进行求解．
解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么
（2），
，
∴，
∴；
（3）在中，，
∴（元）；
答：增加了8000元．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．(1)；(2)；理由见分析；(3)．理由见分析
【分析】（1）经过测量可得答案；
（2）根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质即可求解；
（3）先求得，再根据同角的余角相等即可求解．
解：经过测量知较长直角边约为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，勾股定理以及三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．