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数学3.1 勾股定理测试题
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这是一份数学3.1 勾股定理测试题，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（ ）
A．《周髀算经》 勾股定理B．《九章算术》 负数的概念和正负数的运算
C．《海岛算经》 三斜求积术D．《孙子算经》 鸡兔同笼
2．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．7
5．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小
6．如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
7．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一个卡通头像，其脸部是正方形，帽子右侧是以为斜边的，帽子左侧是．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C．12 D．13
10．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，是一块等腰三角形空地示意图量得，，若从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 m．
12．如图，将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为8，则 ．
13．如图，把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠，恰好使得点E和点D、点F和点B重合，在折叠成的新四边形ABCD中，，，则的面积是 ．
14．如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝ ．
15．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．
16．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为 ．
17．在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若，则BE＝ ．
18．四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图1，在中，，点在边上，过点作于点，交的延长线于点，且．
(1) 求证： ；
(2) 如图2，过点作于点，过点作于点．
① 求证：；
② 若，，求的长．（结果可以保留根号不化简）
20．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1) 如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2) 如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3) 如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
21．（10分）【问题提出】
数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究．
【问题解决】
（1）如图①，在和中，，，和的周长相等．求证．
（Ⅰ）根据小红的思考，请将小红的解答过程补充完整；
小红的思考
（Ⅱ）根据小明的思考，请继续完成小明的证明；
小明的思考
【问题拓展】
（2）如图③，已知线段m，n．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为n．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（3）下列命题是真命题的有______．（填写所有正确的选项）
A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等
B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等
C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等
D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等
22．（10分）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：
(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；
(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；
(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．
23．（10分）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形．
如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形．
【概念理解】
(1)用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形．
①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形；
(2)如图1，余缺四边形，平分，若，，则 ；
【初步应用】
如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC．
(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；
(4)若，，则的值为 ．
【迁移应用】
(5)如图3，，等腰的B、C两点分别在射线上，且斜边 (P、A在两侧)，若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值．
24．（12分）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
参考答案
1．C
【分析】三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，由此判断即可．
解：∵《周髀算经》 勾股定理是正确的，
∴A不符合题意；
∵《九章算术》 负数的概念和正负数的运算是正确的，
∴B不符合题意；
∵三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，
∴C符合题意；
∵《孙子算经》 鸡兔同笼是正确的，
∴D不符合题意；
故选C．
【分析】本题考查了数学文化中的著作与典型知识点，熟练掌握数学文化内涵是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意得为偶数，设其股是a，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵m为正整数，
∴为偶数，设其股是a，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
∴弦是，
故选：D．
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．B
【分析】根据勾股定理和已知条件可得，，证明，得出，求出，利用勾股定理求出，即可得出答案.
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
设的延长线交于点F，如图，
则，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则在直角三角形中，，
∴；
故选：B.
【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理、证明三角形全等是解题的关键.
4．B
【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题．
解：如图，设为，为，为，图2中的余角为，
为等腰三角形，，
，，
，
，
结合两图，可得，
设为，
根据勾股定理得，
，
解得：，
，
故选：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．
5．D
【分析】利用+两个半圆的面积作为总面积，则=总面积 – 大半圆面积，设的半径分别为，将所求面积用总面积 – 大半圆面积表示出来后，再变形为与圆半径关系最简的式子即可判断．
解：如图：
设的半径分别为，
总面积为：，
是直角三角形，
，
，
=总面积 – 大半圆面积=
（h为三角形AB边上的高）
在C运动过程中有：h先增大后减小，
故与之和的变化情况是先增大后减小，
故选：D
【分析】本题考查用规则图形表示不规则图形的面积的方法，能灵活用各规则图形表示总面积，再用总体面积减去已知图形面积表示所求不规则图形面积并变形为显然的式子是关键．
6．A
【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB=，证明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解．
解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，
设AC=b，BC=a，则AB=，
∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形，
∴AB=BJ，∠ABJ=90°，
∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=∠JBP，
∵∠ACB=∠BPJ=90°，
∴△ABC≌△BJK（AAS），
同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，
∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，
∵DE=10，EF=11，
∴2b+a=10，2a+b=11，
∴a+b=7，
∴a2+b2=49-2ab，
∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，
∴10×11=3ab+ab×4+a2+b2+()2，
整理得：5ab+2(a2+b2)=110，
把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，
∴ab=12，
∴△ABC的面积为ab=6，
故选：A．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形．
7．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可判定①，根据两点之间线段最短即可判断②，当CD⊥AB时，PA+PD的值最小，求出CD的值即可③，如图：过点P作PT⊥AB于T，再说明△PAT≌△PAH可得AT＝AH＝6、PT＝PH，设PT＝PH＝x，然后运用勾股定理求得x，最后求得△APH的面积即可判定④．
解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，即C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，
∵•AB•CD＝•AC•BH，
∴CD＝＝，
∴PA+PD的最小值为，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T．
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x，
在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④错误，
故选A．
【分析】本题主要考查了轴对称最短问题、等腰三角形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识点，证明BH垂直平分线段AC以及灵活参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．
8．D
【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．
解：过点作，过点作，连接交于点，如图，
在中，，
在中，，
∴
∵，
∴设，则，
∴
解得，,
∴,
∴；
在中，，
在中，，
设，则
同理可得，，
解得，，
∴
∴
∴
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，
故选：D．
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
9．D
【分析】过点作，与的延长线交于点，证明得，再跟进三角形面积之和为60，得出的方程，求得，最后跟进勾股定理求得结果．
解：过点作，与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理，关键是构造全等三角形．
10．C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
解：①∵
∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，
∵不是“整弦数”，
∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，
∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：C．
【分析】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
11．
【分析】过点D作，从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，根据勾股定理，即可求解．
解：过点D作，
从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，
∵
∴在中，，
在中，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够明确点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长．
12．5
【分析】过点A作于点H，设，则，，由题意，得到 ，求出 的面积，可得结论．
解：如图，过点A作于点H，
设，
则，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
13．
【分析】先由勾股定理求出BD，DC的长，过点F作FHED交ED的延长线于H，再证，得到FH=AD=3，由SBEF=S四边形BEDF-SEDF即可得到答案．
解：∵ABD是由ABE折叠而成，BDC是由FDC折叠而成，
∴BE=BD，EA=AD，BC=FC，BD=DF，
∴BAED， DCBF，BE=BD=DF，，
∵AD=3，AB=4，BC=，
∴BD=，
∴，
∴BCD=DBC=45
∴ BDF=90，
如图，过点F作FHED交ED的延长线于H，
∵ABD+ADB=90，FDH+ADB=90，
∴ABD=FDH，
∴在ABD和HDF中，
∴，
∴FH=AD=3，
∴SBEF=S四边形BEDF-SEDF= SEBD+SDBF- SEDF
=．
【分析】此题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的面积，正确的添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
14．5
【分析】由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然后根据勾股定理可得DB，BE的长，进而可得EF的长．
解：由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，
在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得
DB′==12，
∵BC=AD=15，
∴EC=BC-BE=15-BE，
在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9，
根据勾股定理，得
DE2=EC2+DC2，
∴（12+BE）2=（15-BE）2+92，
解得BE=3，
∵EF⊥BC，AB⊥BC，
∴EF∥AB，
∴∠FEA=∠BAE，
∵∠B′AE=∠BAE，
∴∠FEA=∠B′AE，
∴FA=FE，
∴FB′=AB′-AF=9-FE，
在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得
EF2=FB′2+EB′2，
∴EF2=（9-FE）2+32，
解得EF=5．
故答案为：5．
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
15．
【分析】连接，证明，可得，设，在中，有，可解得，知，由矩形沿折叠，折叠后点与点重合，得，可得，，故，从而得到 ．
解：连接，如图：
四边形是矩形，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
，
，
，
，
设，则
在中，
，
解得：，
，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
//，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．
16．
【分析】连接CE，过点C作于点H，首先证明，可推导，，再证明，在中，由勾股定理计算，然后借助三角形面积求出，根据“垂线段最短”可知，当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答案．
解：连接CE，过点C作于点H，如下图，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是解题关键．
17．．
【分析】根据四边形是矩形，可知，，，由是的中点，可知，由折叠性质可知，，即可证明
，再利用三角形的内角和，得到，根据，，可知垂直平分，即可得到，利用勾股定理得到，设，代入等式，即可求出的值，即可解决问题．
解：四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
由折叠的性质可知，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，，
是的中点，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
设，
则，
解得：，
，
．
故答案为：．
【分析】本题四边形的综合题，考查了矩形的性质，图形的折叠，全等三角形的性质，勾股定理等知识．
18．
【分析】根据四个全等的直角三角形，已知是的中点，可得，可得，在根据三角形中线的性质可得，，设，，根据三角形的面积公式可求出的值，可求出的值，根据正方形的面积公式即可求解．
解：四个全等的直角三角形，即，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵四个全等的直角三角形，
∴，
∵和的面积之比为，即，
∴，，
已知是的中点，
∴在中，点是的中点，
∴，则，
设，，
∴，
∴，，
∴，解得，，
∴
在中，，
∵四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，
∴四个直角三角全等，围成的四边形是正方形，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，面积计算方法，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．
19．(1)见分析；(2)①见分析；②
【分析】（1）根据题意，易证，又因为，即可得到结论；
（2）①先证，得到，接着证明，即可得到结论；
②先证，然后通过求出，接着通过求出，即可得到结果．
解：（1）
；
（2）①，
在和中
，，
；
②，，
由勾股定理得
在和中
，
在中
由勾股定理得
，
，
由勾股定理得
．
的长为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．
20．(1)；(2)见分析；(3)
【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由对称性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；
（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根据∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，从而证明结论；
（3）当∠C'BD=90°时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，设BC'为x，则C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程从而解决问题．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵点C关于AD的对称点C′恰好落在AB边上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
（2）证明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
（3）存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能为90°，
当BC'⊥BC时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，
∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四边形ACBE为矩形，设BC'为x，则C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′长为．
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
21．（1）（Ⅰ），；（Ⅱ）见分析；（2）见分析；（3）A，C
【分析】（1）（I）根据勾股定理和直角三角形全等的判定可得结论；
（II）先证明，再根据可证明两三角形全等；
（2）在线段上截取，过点B作，使得，连接，作线段的垂直平分线交于点C，连接，即为所求；
（3）根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
解：（1）（I）设，的周长的周长，．
∴，
在中，根据勾股定理，得：
，
∴，
解得；
同理可得：．
由此可得．又，
根据，可以知道．
故答案为：，；
（II）∵，且和的周长相等，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）如图，即为所求；
（3）A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确；
B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等，错误；
C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确；
D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等，错误．
故答案为：A，C．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．(1)不能；(2)＝；＞；(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2）
【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解；
（2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得；
（3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得，，，进而可得．
（1）解：如图1，图2，
∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65，
∴S正方形S长方形，
故答案为：不能；
（2）解：如图3中，
左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4× ab=c2+2ab，
∴a2+2ab+b2= c2+2ab，
∴a2+b2= c2，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2 =(a+b)2-2ab，
∵，
∴，
∴，
故答案为：=， ；
（3）
解：如图4，
，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
23．(1)①；(2)3；(3)见详解；(4)45；(5)变化；最大值是50
【分析】（1）依题意画出图形分析是否满足条件即可得到答案；
（2）利用角平分线上的点到两边距离相等的性质，可得与等高，然后运用面积比等于底边长的比得到答案；
（3）利用AP是角平分线构造全等三角形证明即可；
（4）运用勾股定理可得，，然后运用图中等量关系将AG和BG转化为AB与AC即可；
（5）当时面积取得最大值．
解：（1）如图4，将两个全等的直角三角形沿斜边拼在一起组成一个新的四边形，则此四边形满足对角线平分一组对角；且一组对角互补
两个全等的直角三角形一定能拼成余缺四边形；
如图5，将两个全等的等边三角形拼在一起组成一个新的四边形，此四边形的一组对角相加等于
两个全等的等边三角形无法拼成余缺四边形；
故答案为：①
（2）如图6，过C点分别作AB，AD的垂线，垂足为E，F
平分，
（3）如图7，过点P作，，垂足为G，H
AP平分,，
点P在BC的垂直平分线上
在和中
平分，
是余缺四边形．
（4）由勾股定理可知，，
（5）如图8，取BC中O，连接OA，作于点Q，
则在BC运动的过程中，始终有：
是直角三角形，OA是斜边上的中线，
；
是等腰直角三角形
．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及勾股定理，综合性较强，熟练掌握全等三角形的构造与相关证明方法是本题的解题关键．
24．（1）见分析；（2）或；（3）见分析
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
解：（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．设，的周长的周长，．
在中，根据勾股定理，得______，解得；
同理可得．由此可得．又，
根据______，可以知道．
如图②，在和中，分别延长，至G，H，使得，，连接．
1．我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（ ）
A．《周髀算经》 勾股定理B．《九章算术》 负数的概念和正负数的运算
C．《海岛算经》 三斜求积术D．《孙子算经》 鸡兔同笼
2．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．7
5．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小
6．如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
7．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一个卡通头像，其脸部是正方形，帽子右侧是以为斜边的，帽子左侧是．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C．12 D．13
10．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，是一块等腰三角形空地示意图量得，，若从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 m．
12．如图，将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为8，则 ．
13．如图，把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠，恰好使得点E和点D、点F和点B重合，在折叠成的新四边形ABCD中，，，则的面积是 ．
14．如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝ ．
15．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．
16．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为 ．
17．在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若，则BE＝ ．
18．四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图1，在中，，点在边上，过点作于点，交的延长线于点，且．
(1) 求证： ；
(2) 如图2，过点作于点，过点作于点．
① 求证：；
② 若，，求的长．（结果可以保留根号不化简）
20．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1) 如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2) 如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3) 如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
21．（10分）【问题提出】
数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究．
【问题解决】
（1）如图①，在和中，，，和的周长相等．求证．
（Ⅰ）根据小红的思考，请将小红的解答过程补充完整；
小红的思考
（Ⅱ）根据小明的思考，请继续完成小明的证明；
小明的思考
【问题拓展】
（2）如图③，已知线段m，n．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为n．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（3）下列命题是真命题的有______．（填写所有正确的选项）
A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等
B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等
C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等
D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等
22．（10分）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：
(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；
(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；
(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．
23．（10分）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形．
如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形．
【概念理解】
(1)用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形．
①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形；
(2)如图1，余缺四边形，平分，若，，则 ；
【初步应用】
如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC．
(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；
(4)若，，则的值为 ．
【迁移应用】
(5)如图3，，等腰的B、C两点分别在射线上，且斜边 (P、A在两侧)，若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值．
24．（12分）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
参考答案
1．C
【分析】三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，由此判断即可．
解：∵《周髀算经》 勾股定理是正确的，
∴A不符合题意；
∵《九章算术》 负数的概念和正负数的运算是正确的，
∴B不符合题意；
∵三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，
∴C符合题意；
∵《孙子算经》 鸡兔同笼是正确的，
∴D不符合题意；
故选C．
【分析】本题考查了数学文化中的著作与典型知识点，熟练掌握数学文化内涵是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意得为偶数，设其股是a，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵m为正整数，
∴为偶数，设其股是a，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
∴弦是，
故选：D．
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．B
【分析】根据勾股定理和已知条件可得，，证明，得出，求出，利用勾股定理求出，即可得出答案.
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
设的延长线交于点F，如图，
则，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则在直角三角形中，，
∴；
故选：B.
【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理、证明三角形全等是解题的关键.
4．B
【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题．
解：如图，设为，为，为，图2中的余角为，
为等腰三角形，，
，，
，
，
结合两图，可得，
设为，
根据勾股定理得，
，
解得：，
，
故选：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．
5．D
【分析】利用+两个半圆的面积作为总面积，则=总面积 – 大半圆面积，设的半径分别为，将所求面积用总面积 – 大半圆面积表示出来后，再变形为与圆半径关系最简的式子即可判断．
解：如图：
设的半径分别为，
总面积为：，
是直角三角形，
，
，
=总面积 – 大半圆面积=
（h为三角形AB边上的高）
在C运动过程中有：h先增大后减小，
故与之和的变化情况是先增大后减小，
故选：D
【分析】本题考查用规则图形表示不规则图形的面积的方法，能灵活用各规则图形表示总面积，再用总体面积减去已知图形面积表示所求不规则图形面积并变形为显然的式子是关键．
6．A
【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB=，证明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解．
解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，
设AC=b，BC=a，则AB=，
∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形，
∴AB=BJ，∠ABJ=90°，
∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=∠JBP，
∵∠ACB=∠BPJ=90°，
∴△ABC≌△BJK（AAS），
同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，
∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，
∵DE=10，EF=11，
∴2b+a=10，2a+b=11，
∴a+b=7，
∴a2+b2=49-2ab，
∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，
∴10×11=3ab+ab×4+a2+b2+()2，
整理得：5ab+2(a2+b2)=110，
把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，
∴ab=12，
∴△ABC的面积为ab=6，
故选：A．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形．
7．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可判定①，根据两点之间线段最短即可判断②，当CD⊥AB时，PA+PD的值最小，求出CD的值即可③，如图：过点P作PT⊥AB于T，再说明△PAT≌△PAH可得AT＝AH＝6、PT＝PH，设PT＝PH＝x，然后运用勾股定理求得x，最后求得△APH的面积即可判定④．
解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，即C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，
∵•AB•CD＝•AC•BH，
∴CD＝＝，
∴PA+PD的最小值为，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T．
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x，
在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④错误，
故选A．
【分析】本题主要考查了轴对称最短问题、等腰三角形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识点，证明BH垂直平分线段AC以及灵活参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．
8．D
【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．
解：过点作，过点作，连接交于点，如图，
在中，，
在中，，
∴
∵，
∴设，则，
∴
解得，,
∴,
∴；
在中，，
在中，，
设，则
同理可得，，
解得，，
∴
∴
∴
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，
故选：D．
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
9．D
【分析】过点作，与的延长线交于点，证明得，再跟进三角形面积之和为60，得出的方程，求得，最后跟进勾股定理求得结果．
解：过点作，与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理，关键是构造全等三角形．
10．C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
解：①∵
∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，
∵不是“整弦数”，
∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，
∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：C．
【分析】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
11．
【分析】过点D作，从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，根据勾股定理，即可求解．
解：过点D作，
从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，
∵
∴在中，，
在中，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够明确点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长．
12．5
【分析】过点A作于点H，设，则，，由题意，得到 ，求出 的面积，可得结论．
解：如图，过点A作于点H，
设，
则，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
13．
【分析】先由勾股定理求出BD，DC的长，过点F作FHED交ED的延长线于H，再证，得到FH=AD=3，由SBEF=S四边形BEDF-SEDF即可得到答案．
解：∵ABD是由ABE折叠而成，BDC是由FDC折叠而成，
∴BE=BD，EA=AD，BC=FC，BD=DF，
∴BAED， DCBF，BE=BD=DF，，
∵AD=3，AB=4，BC=，
∴BD=，
∴，
∴BCD=DBC=45
∴ BDF=90，
如图，过点F作FHED交ED的延长线于H，
∵ABD+ADB=90，FDH+ADB=90，
∴ABD=FDH，
∴在ABD和HDF中，
∴，
∴FH=AD=3，
∴SBEF=S四边形BEDF-SEDF= SEBD+SDBF- SEDF
=．
【分析】此题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的面积，正确的添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
14．5
【分析】由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然后根据勾股定理可得DB，BE的长，进而可得EF的长．
解：由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，
在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得
DB′==12，
∵BC=AD=15，
∴EC=BC-BE=15-BE，
在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9，
根据勾股定理，得
DE2=EC2+DC2，
∴（12+BE）2=（15-BE）2+92，
解得BE=3，
∵EF⊥BC，AB⊥BC，
∴EF∥AB，
∴∠FEA=∠BAE，
∵∠B′AE=∠BAE，
∴∠FEA=∠B′AE，
∴FA=FE，
∴FB′=AB′-AF=9-FE，
在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得
EF2=FB′2+EB′2，
∴EF2=（9-FE）2+32，
解得EF=5．
故答案为：5．
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
15．
【分析】连接，证明，可得，设，在中，有，可解得，知，由矩形沿折叠，折叠后点与点重合，得，可得，，故，从而得到 ．
解：连接，如图：
四边形是矩形，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
，
，
，
，
设，则
在中，
，
解得：，
，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
//，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．
16．
【分析】连接CE，过点C作于点H，首先证明，可推导，，再证明，在中，由勾股定理计算，然后借助三角形面积求出，根据“垂线段最短”可知，当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答案．
解：连接CE，过点C作于点H，如下图，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是解题关键．
17．．
【分析】根据四边形是矩形，可知，，，由是的中点，可知，由折叠性质可知，，即可证明
，再利用三角形的内角和，得到，根据，，可知垂直平分，即可得到，利用勾股定理得到，设，代入等式，即可求出的值，即可解决问题．
解：四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
由折叠的性质可知，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，，
是的中点，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
设，
则，
解得：，
，
．
故答案为：．
【分析】本题四边形的综合题，考查了矩形的性质，图形的折叠，全等三角形的性质，勾股定理等知识．
18．
【分析】根据四个全等的直角三角形，已知是的中点，可得，可得，在根据三角形中线的性质可得，，设，，根据三角形的面积公式可求出的值，可求出的值，根据正方形的面积公式即可求解．
解：四个全等的直角三角形，即，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵四个全等的直角三角形，
∴，
∵和的面积之比为，即，
∴，，
已知是的中点，
∴在中，点是的中点，
∴，则，
设，，
∴，
∴，，
∴，解得，，
∴
在中，，
∵四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，
∴四个直角三角全等，围成的四边形是正方形，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，面积计算方法，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．
19．(1)见分析；(2)①见分析；②
【分析】（1）根据题意，易证，又因为，即可得到结论；
（2）①先证，得到，接着证明，即可得到结论；
②先证，然后通过求出，接着通过求出，即可得到结果．
解：（1）
；
（2）①，
在和中
，，
；
②，，
由勾股定理得
在和中
，
在中
由勾股定理得
，
，
由勾股定理得
．
的长为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．
20．(1)；(2)见分析；(3)
【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由对称性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；
（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根据∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，从而证明结论；
（3）当∠C'BD=90°时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，设BC'为x，则C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程从而解决问题．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵点C关于AD的对称点C′恰好落在AB边上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
（2）证明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
（3）存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能为90°，
当BC'⊥BC时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，
∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四边形ACBE为矩形，设BC'为x，则C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′长为．
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
21．（1）（Ⅰ），；（Ⅱ）见分析；（2）见分析；（3）A，C
【分析】（1）（I）根据勾股定理和直角三角形全等的判定可得结论；
（II）先证明，再根据可证明两三角形全等；
（2）在线段上截取，过点B作，使得，连接，作线段的垂直平分线交于点C，连接，即为所求；
（3）根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
解：（1）（I）设，的周长的周长，．
∴，
在中，根据勾股定理，得：
，
∴，
解得；
同理可得：．
由此可得．又，
根据，可以知道．
故答案为：，；
（II）∵，且和的周长相等，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）如图，即为所求；
（3）A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确；
B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等，错误；
C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确；
D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等，错误．
故答案为：A，C．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．(1)不能；(2)＝；＞；(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2）
【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解；
（2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得；
（3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得，，，进而可得．
（1）解：如图1，图2，
∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65，
∴S正方形S长方形，
故答案为：不能；
（2）解：如图3中，
左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4× ab=c2+2ab，
∴a2+2ab+b2= c2+2ab，
∴a2+b2= c2，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2 =(a+b)2-2ab，
∵，
∴，
∴，
故答案为：=， ；
（3）
解：如图4，
，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
23．(1)①；(2)3；(3)见详解；(4)45；(5)变化；最大值是50
【分析】（1）依题意画出图形分析是否满足条件即可得到答案；
（2）利用角平分线上的点到两边距离相等的性质，可得与等高，然后运用面积比等于底边长的比得到答案；
（3）利用AP是角平分线构造全等三角形证明即可；
（4）运用勾股定理可得，，然后运用图中等量关系将AG和BG转化为AB与AC即可；
（5）当时面积取得最大值．
解：（1）如图4，将两个全等的直角三角形沿斜边拼在一起组成一个新的四边形，则此四边形满足对角线平分一组对角；且一组对角互补
两个全等的直角三角形一定能拼成余缺四边形；
如图5，将两个全等的等边三角形拼在一起组成一个新的四边形，此四边形的一组对角相加等于
两个全等的等边三角形无法拼成余缺四边形；
故答案为：①
（2）如图6，过C点分别作AB，AD的垂线，垂足为E，F
平分，
（3）如图7，过点P作，，垂足为G，H
AP平分,，
点P在BC的垂直平分线上
在和中
平分，
是余缺四边形．
（4）由勾股定理可知，，
（5）如图8，取BC中O，连接OA，作于点Q，
则在BC运动的过程中，始终有：
是直角三角形，OA是斜边上的中线，
；
是等腰直角三角形
．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及勾股定理，综合性较强，熟练掌握全等三角形的构造与相关证明方法是本题的解题关键．
24．（1）见分析；（2）或；（3）见分析
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
解：（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．设，的周长的周长，．
在中，根据勾股定理，得______，解得；
同理可得．由此可得．又，
根据______，可以知道．
如图②，在和中，分别延长，至G，H，使得，，连接．
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