2023-2024学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若使二次根式 x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥5B. x>5C. x<5D. x≤5
2.下列说法正确的是( )
A. a2+b2是最简二次根式B. 在数轴上找不到 2
C. 1的立方根与1的平方根相等D. 12和 8是同类二次根式
3.如果把分式xx+y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的4倍B. 扩大为原来的2倍C. 不变D. 缩小为原来的12
4.小方用两块相同的含30°角的直角三角板拼成如下平面图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5.若x−y=3xy，则1x−1y的值是( )
A. −3B. 3C. −13D. 13
6.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 两锐角都大于45°B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45°D. 两锐角都小于45°
7.下列命题中，真命题的个数是( )
①全等三角形的周长相等；
②两边和一个角对应相等的两个三角形全等；
③全等三角形的面积相等；
④面积相等的两个三角形全等．
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a2+b2=c2B. ∠A+∠B=∠C
C. a：b：c=1：2：3D. a=3，b=4，c=5
9.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是( )
A. 甲B. 乙C. 甲，乙都可以D. 甲，乙都不可以
10.若一个正方形的面积为17，则下列有理数中最接近该正方形边长的是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
11.如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是( )
A. CA=CBB. CD⊥直线l
C. 点C，D关于直线l对称D. 点A，B关于直线CD对称
12.如图，△ABD≌△ECB，点E在BD上，若BC=11，DE=6，EC=7，则AD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
13.如图，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP=6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
14.由(1+c2+c−12)值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是( )
A. 当c=−2时，A=12B. 当c=0时，A≠12
C. 当c<−2时，A>12D. 当c<0时，A<12
15.如图，A、B是6×8网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有( )
A. 8个
B. 11个
C. 12个
D. 14个
二、填空题：本题共3小题，共10分。
16. 4=______．
17.如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=60°，AD⊥BC，∠B=60°，AD⊥BC于点D.则CD的长为______，S△ABC= ______．
18.实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？

(1)如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数−1对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是______．
(2)如图，数轴上的点A表示原点，BD⊥AC，垂足为D，且BD=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为______．
三、解答题：本题共6小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)(3 2+2 3)(3 2−2 3)；
(2) 50+ 13× 24．
20.(本小题10分)
命题：全等三角形的对应边上的高相等．
(1)写成“如果…，那么…”：______；
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
21.(本小题10分)
已知A=3a9a2+6a+1,B=13a+1．
(1)若B=1，求a；
(2)比较A与B的大小；
(3)当a=13时，求A−B的值．
22.(本小题10分)
如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(3)在图2的4×4方格中画一个面积为10的正方形．
23.(本小题10分)
应用题.已知：∠AOB=60°，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，∠DPE=120°与AO和BO交于点D和点E.求证：PD=PE．
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=25，BA=7，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B−C运动.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)BC= ______．
(2)当点P在斜边AC上时，
①当点P运动到AC的中点时，则BP= ______．
②当点P运动到BP最短时，则BP= ______．
(3)当P在边AB上时，AP的长为______.(用含t的代数式表示)
(4)若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵二次根式 x−5在实数范围内有意义，
∴x−5≥0，
解得x≥5．
故选：A．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A. a2+b2是最简二次根式，正确，符合题意；
B.在数轴上能找到 2，错误，不符合题意；
C.1的立方根是1，1的平方根是±1，错误，不符合题意；
D. 12=2 3， 8=2 2，不是同类二次根式，错误，不符合题意．
故选：A．
根据最简二次根式，平方根与立方根，同类二次根式的定义进行判断即可
本题考查了最简二次根式，平方根与立方根，同类二次根式，熟知以上知识是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：把分式中的x和y都扩大2倍得：
2x2x+2y=2x2(x+y)=xx+y，
所以分式的值不变，
故选：C．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵1x−1y=yxy−xxy
=y−xxy
=−x−yxy．
当x−y=3xy时，
原式=−3xyxy=−3．
故选：A．
先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．
本题主要考查了分式的加减，掌握分式加减法法则和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7.【答案】C
【解析】解：①全等三角形的周长相等，正确，符合题意；
②两边和夹角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意
③全等三角形的面积相等，正确，符合题意；
④面积相等的两个三角形不一定全等，错误，不符合题意；
故选：C．
根据判定和性质解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
C、∵a：b：c=1：2：3，12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
D、∵a=3，b=4，c=5，32+42=25=52，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：甲同学的的方案：
∵大正方形的面积=小正方形的面积+直角三角形的面积×4，
∴(a+b)2=c2+12ab×4，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
因此甲同学的的方案可以证明勾股定理；
乙同学的的方案：
∵大正方形的面积=矩形的面积×2+两个小正方形的面积，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴得不到a2+b2=c2，
因此乙同学的的方案不可以证明勾股定理．
故选：A．
由图形中的面积关系，应用完全平方公式即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，关键是应用面积法，完全平方公式．
10.【答案】A
【解析】解：∵4< 17<5，4.52=20.5，
∴4< 17<4.5，
∴ 17最接近整数4，
即最接近该正方形边长的是4，
故选：A．
先估算出 17位于4与5之间，再通过对4.5的比较进行求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．
11.【答案】C
【解析】解：由作法得CD垂直平分AB，所以B选项正确；
因为CD垂直平分AB，
所以CA=CB，所以A、D选项正确；
因为AD不一定等于AC，所以C选项错误．
故选：C．
利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．
本题考查了作图−基本作图：掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
12.【答案】C
【解析】解：∵△ABD≌△ECB，BC=11，
∴AD=BE，BD=BC=11．
又∵DE=6，
∴BE=BD−DE=5．
∴AD=BE=5．
故选：C．
欲求AD的长度，只需求得BE的长度即可．所以根据全等三角形的对应边相等推知AD=BE，BD=BC=11，则AD=BD−DE．
本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应边．
13.【答案】B
【解析】解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∵PD⊥OA，OP=6cm，
∴PD=12OP=3cm，
过点P作PE′⊥OB于点E′，
∵OC平分∠AOB，PE′⊥OB，PD⊥OA，
∴PE′=PD=3cm，
∴PE的最小值为3cm．
故选：B．
根据角平分线的性质可得∠AOP=30°，则PD=12OP=3cm，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答．
本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短．
14.【答案】C
【解析】解：A选项，当c=−2时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，A=12，故该选项不符合题意；
C选项，1+c2+c−12
=2+2c2(2+c)−2+c2(2+c)
=c2(2+c)，
∵c<−2，
∴2+c<0，c<0，
∴2(2+c)<0，
∴c2(2+c)>0，
∴A>12，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，∵2(2+c)的正负无法确定，
∴A与12的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
将c=−2和0分别代入A中计算求值即可判断出A，B的对错；当c<−2时可判断1+c2+c−12>0，故选项C正确．当c<0，无法判断1+c2+c−12的正负，故选项D不正确
本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：如图：
分三种情况：
当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点C1，C2，C3，C4，C5，C6；
当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点C7，C8，C9，C10，C11，C12；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格中的格点没有交点；
综上所述：以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有12个，
故选：C．
分三种情况：当AB=AC时；当BA=BC时；当CA=CB时；即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，即 4=2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
17.【答案】5 25 3
【解析】解：∵∠B=60°，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴BD=12AB=5，
∵AB=AC=10，AD⊥BC，
∴CD=BD=5，
∴AD= AB2−BD2=5 3，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×10×5 3=25 3，
故答案为：5，25 3．
根据含30°的直角三角形性质得到BD=12AB=5，再根据等腰三角形三线合一的性质得到CD=BD=5，根据勾股定理得到AD的值，然后，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了含30°的直角三角形性质，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形 到现在是解题的关键．
18.【答案】2π−1 − 5
【解析】解：(1)由题意知，点A，点B之间的距离为2π，
∴点B对应的实数是−1+2π，
故答案为：−1+2π；
(2)由勾股定理得，AB= 22+12= 5，
∴AC= 5，
∴点C表示的数为0− 5= 5，
故答案为：− 5．
(1)由题意知，点A，点B之间的距离为2π，则点B对应的实数是−1+2π；
(2)由勾股定理得，AB= 5，则AC= 5，点C表示的数为0− 5，计算求解，然后作答即可．
本题考查了数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=(3 2)2−(2 3)2
=18−12
=6；
(2)原式=5 2+ 8
=5 2+2 2
=7 2．
【解析】(1)利用平方差公式计算即可；
(2)先化简二次根式，再计算二次根式乘法；最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟知二次根式混合运算的法则．
20.【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边上的高相等
【解析】解：(1)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边上的高相等．
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边上的高相等．
(2)已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′．
求证：AD=A′D′．
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB=A′B′，∠B=∠B′，
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
在△ABD和△A′B′D′中，
∠ADB=∠A′D′B′∠B=∠B′AB=A′B′，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)，
∴AD=A′D′．
(1)寻找命题的题设和结论，即可解决问题；
(2)写出已知，求证，利用全等三角形的判定方法证明即可．
本题考查命题与定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)由题意可得13a+1=1，
去分母得：3a+1=1，
解得：a=0，
经检验a=0是方程的解，
那么a=0；
(2)∵A−B
=3a9a2+6a+1−13a+1
=3a(3a+1)2−3a+1(3a+1)2
=−1(3a+1)2<0，
∴A(3)当a=13时，
A−B
=−1(3a+1)2
=−1(3×13+1)2
=−14．
【解析】(1)由题意列得关于a的分式方程，解方程即可；
(2)将两式作差后与0比较大小即可；
(3)将a的值代入(2)中所得结果中计算即可．
本题考查分式的化简求值及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设魔方的棱长为x，根据题意，得x3=27，
解得x=327=3．
故魔方的棱长为3．
(2)∵魔方的棱长为3，
∴阴影面积为：32−12×2×1×4=5，
设正方形的边长为y，则y2=5，
解得y= 5,y=− 5(舍去)，
故正方形的面积是5，边长为 5．
(3)设正方形的边长为m，根据题意，得m2=10，
解得m= 10,m=− 10(舍去)，
画图如下：

【解析】(1)设魔方的棱长为x，根据题意，得x3=27，解答即可．
(2)根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可．
(3)设正方形的边长为m，根据题意，得m2=10，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可．
本题考查了立方根的计算，勾股定理，网格作图，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
23.【答案】证明：过点P作PM⊥OA于点M，P作PN⊥OB于点N，

∵OC是∠AOB的角平分线，
∴PM=PN，
∵∠AOB=60°，
∴∠MPN=120°，
∵∠DPE=120°，
∴∠DPM=∠EPN，
∴∠DPM=∠EPN．
在Rt△DPM和Rt△EPN中，
∠DPM=∠EPNPM=PN∠PMD=∠PNE，
∴Rt△DPM≌Rt△EPN(ASA)，
∴PD=PE．
【解析】过点P作PM⊥OA于点M，P作PN⊥OB于点N，证明Rt△DPM≌Rt△PEN即可．
本题考查了角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，关键是全等三角形判定定理的应用．
24.【答案】24 252 16825 3t−25
【解析】解：(1)∵∠ABC=90°，AC=25，BA=7，
∴BC= AC2−BA2= 252−72=24，
故答案为：24．
(2)①如图1，点P是AC的中点，
∵∠ABC=90°，
∴BP=12AC=12×25=252，
故答案为：252．
②如图2，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC=12AC⋅BP=12BA⋅BC，
∴12×25BP=12×7×24，
解得BP=16825，
故答案为：16825．
(3)当点P在AB上，
∵点P运动的距离为3t，AB=25，
∴AP=3t−25，
故答案为：3t−25．
(4)如图3，点P在∠BAC的平分线上，则点P在BC边上，作PD⊥AC于点D，
∵PB⊥AB，
∴PD=PB，
∵S△PAC=12AC⋅PD=12PC⋅AB，且CP=24−PB，
∴12×25PB=12×7(24−PB)，
解得PB=214，
∴3t=25+7+214，
解得t=14912，
∴t的值为14912．
(1)由∠ABC=90°，AC=25，BA=7，根据勾股定理得BC= AC2−BA2=24，于是得到问题的答案；
(2)①由点P是AC的中点，根据“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”得BP=12AC=252，于是得到问题的答案；
②因为垂线段最短，所以当BP⊥AC时，BP最短，由S△ABC=12×25BP=12×7×24，求得BP=16825，于是得到问题的答案；
(3)由点P运动的距离为3t，AB=25，得AP=3t−25，于是得到问题的答案；
(4)当点P在∠BAC的平分线上，作PD⊥AC于点D，则PD=PB，由S△PAC=12AC⋅PD=12PC⋅AB，得12×25PB=12×7(24−PB)，求得PB=214，则3t=25+7+214，求得t=14912．
此题重点考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．