2023-2024学年广东省阳江市高新区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省阳江市高新区高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={−1,0,2,3,4,5}，则A∩B=( )
A. {0,2,3}B. {2,3}C. {3,4,5}D. {4,5}
2.已知1≤a−b≤2，3≤a+b≤4，则ab的最大值为( )
A. 154B. 92C. 3D. 4
3.若x>0，y>0且x+2y=1，则1x+xy的最小值是( )
A. 1+2 2B. 32+ 2C. 2D. 32
4.函数f(x)= 2x−1+ 1−x的定义域为( )
A. {x|x≥12}B. {x|12≤x≤1}C. {x|x≥1}D. {x|12cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b∈R，a0(c为常数，且c≠2)
19.(本小题12分)
近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系：Q(v)=600vv2+2v+400(00)的最小正周期为π．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)单调递增区间．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=−x2+4ax+a+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[t,t+2]时，求f(x)的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意：A={0,1,2,3}，∴A∩B={0,2,3}．
故选：A．
先求出集合A，再按交集的定义求A∩B即可．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为1≤a−b≤2，3≤a+b≤4，
所以1≤(a−b)2≤4，9≤(a+b)2≤16，
所以−4≤−(a−b)2≤−1，
所以5≤(a+b)2−(a−b)2≤15，
即5≤4ab≤15，
所以54≤ab≤154，
则ab的最大值为154．
故选：A．
由已知结合不等式性质及重要不等式即可求解．
本题主要考查了重要不等式及不等式性质的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为x>0，y>0且x+2y=1，所以x=1−2y，
所以1x+xy=1x+1−2yy=1x+1y−2=(1x+1y)(x+2y)−2=1+2+2yx+xy−2≥1+2 2yx⋅xy=1+2 2，
当且仅当2yx=xy，即x= 2y，即y=2− 2，x=2 2−2时取等号，
所以1x+xy的最小值为1+2 2．
故选：A．
由题意所求代数式转化为1x+xy=1x+1y−2，再由“1”的活用及基本不等式可得答案．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f(x)= 2x−1+ 1−x，
则2x−1≥01−x≤0，解得{x|12≤x≤1}．
故选：B．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
5.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线x=−2a，
由函数f(x)在(−∞,6)上单调递减可得−2a≥6，解得a≤−3．
故选：D．
根据二次函数的单调性可得出关于实数a的不等式，解之即可．
本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：令ax=t，则y=a2x+2ax−1=t2+2t−1=(t+1)2−2．
当a>1时，因为x∈[−1,1]，所以t∈[1a,a]，
又函数y=(t+1)2−2在[1a,a]上单调递增，
所以ymax=(a+1)2−2=14，解得a=3(a=−5舍去)．
当02，则ln2x2+1x2>0，
因此sin2x⋅ln2x2+1x2>0，C错误，A符合题意．
故选：A．
首先判断函数的奇偶性，再根据函数在(0,π2)上函数值的正负情况，利用排除法判断即可．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：a=4lg2 32=22lg2 32=2lg2( 32)2=( 32)2=34，
b=lg147=1−lg142=1−ln2ln14，c=lg126=1−lg122=1−ln2ln12，
因为4lg142=lg1424=lg1416>1，则lg142>14，
所以1−lg142ln12>0，所以ln2ln141−ln2ln12，即b>c；
综上：a>b>c．
故选：A．
利用指对数运算法则得到a=34，b=1−lg142=1−ln2ln14，c=1−ln2ln12，从而利用对数函数的性质分析判断得bc，从而得解．
本题解决的关键是利用b=1−lg142与34比较大小，利用b=1−ln2ln14与c=1−ln2ln12比较大小，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a=−2，b=−1时，满足a2}．
构造函数，根据函数的单调性即可求出解集．
本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】6
【解析】解：由题意f(x)=acs(π2+x)+btanx+8=−asinx+btanx+8，f(−2)=10=−asin(−2)+btan(−2)+8=asin2−btan2−8+16
=−(−asin2+btan2+8)+16=−f(2)+16，
解得f(2)=6．
故答案为：6．
由题意结合诱导公式和整体思想进行运算即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
17.【答案】解：(1)(1)A={x|2x≤1}={x|x≤12}；
当a=1时，B={x|x>−1}，
∴A∩B={x|−1−a}，
∴−a≥12⇒a≤−12，所以a的取值范围是(−∞,−12)．
【解析】(1)直接计算即可；
(2)关键在于A⊆∁RB⇒A∩B=⌀，然后计算就可以得出答案．
本题考查集合的运算，集合之间的关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为不等式x2−(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以1和2是方程x2−(a+2)x+b=0的两根，
由根与系数的关系知，1+2=a+21×2=b，解得a=1，b=2．
(2)不等式(x−c)(ax−2)>0即为(x−c)(x−2)>0，
由c≠2，则c2时，解不等式得，xc；
综上，c2时，不等式的解集为{x|xc}．
【解析】(1)根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出a、b的值．
(2)不等式为(x−c)(x−2)>0，讨论c2，写出对应不等式的解集．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)电动自行车流量不少于10千辆/小时，
即Q(v)=600vv2+2v+400≥10，
化简可得v2−58v+400≤0，解得8≤v≤50，
又因为最高设计时速为25千米/小时，故8≤v≤25，
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，则v∈[8,25]．
(2)Q(v)=600vv2+2v+400=600v+400v+2，
由基本不等式可得v+400v≥2 v⋅400v=2 400=40，
当且仅当v=400v，即v=20时取到最小值，
此时电动车流量有最大值，最大值为Q(v)=60042=1007≈14.3，
故平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时．
【解析】(1)由Q(v)≥10，求解即可；
(2)利用基本不等式求解最值即可．
本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为M(4,3)为角α终边上一点，
所以sinα=3 42+32=35，tanα=34；
(2)cs(π2−α)+2cs(π+α)sin(π−α)−sin(π2+α)=sinα−2csαsinα−csα=tanα−2tanα−1=−5．
【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义即可求解；
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π，则2πω=π，ω=2，
f(x)=2sin(2x+π3)+1，f(π6)=2sin(2×π6+π3)+1= 3+1；
(2)取2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z．
【解析】(1)根据周期确定ω；(2)根据正弦函数的性质即可求．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=−x2+2ax+a+1．
则f(0)=a+1=0，解得a=−1，
即当x≤0时，f(x)=−x2−2x；
则当x>0时，−x0．
(2)作出函数f(x)的大致图象如图所示：

当t≥1，即t≥1时，函数f(x)在[t,t+2]上单调递增，
则f(x)min=f(t)=t2−2t；
当−1≤t