2023-2024学年云南省保山市隆阳区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省保山市隆阳区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图标中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.水是生命之源，水以多种形态存在，固态的水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的水蒸气，水分子的半径约是0.0000000002.将数据0.0000000002用科学记数法表示正确的是( )
A. 0.2×10−9B. 2×10−10C. 2×1010D. 2×10−9
3.下列计算正确的是( )
A. 2a3−a2=aB. (a−2)4=a8
C. (a+b)2=a2+b2D. 2a8÷a2=2a6
4.下列长度的三条线段首尾相接不能围成三角形的是( )
A. 1，3，4B. 3，7，8C. 6，9，10D. 13，12，20
5.一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知x的二次三项式x2+kx+9可以写成一个完全平方式，则k的值是( )
A. 3B. ±3C. 6D. ±6
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，DC=2，则点D到AB的距离是( )
A. 2B. 4C. 3D. 5
8.已知a+1a=3，则a2+1a2的值是( )
A. 1B. 7C. 9D. 11
9.用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即PM=PN，画射线OP，则OP平分∠AOB.作图过程用了△OMP≌△ONP，那么△OMP≌△ONP所用的判定定理是( )
A. SSS
B. AAS
C. HL
D. ASA
10.如果实数a，b满足(a+1)2+|b−3|=0，那么ba等于( )
A. 13B. −13C. −3D. 3
11.在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙，根据图甲、图乙阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式是( )
A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
12.如图，已知点A(1,0)和点M(0,1)，在x轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有( )
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.分解因式：4x2−4= ．
14.如果分式1x−1有意义，那么x的取值范围是______．
15.如图，点C，B，E，F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AB=DE，请你添加一个条件：______，使得△ABC≌△DEF．
16.等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
(−1)2023−|−2|+(3.14−π)0+(−13)−1．
18.(本小题6分)
解方程：3x−3=x3−x−1．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−yx)÷x2−2xy+y2x2，其中x−3y=0．
20.(本小题7分)
如图，△ABC顶点分别为A(−2,2)，B(−4,5)，C(−5,1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)在y轴上找一点M，使得△MBC的周长最小(画出图形，找到点M的位置)．
21.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E在边BC上，AD=AE．
求证：BD=CE．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，点F在BC的垂直平分线上．
(1)求证：△AEF是等边三角形；
(2)若BD=1，求DC的长．
23.(本小题8分)
某超市购进A，B两种鲜花饼，费用分别为240元和200元，其中A种鲜花饼的数量是B种鲜花饼数量的2倍，已知B种鲜花饼每盒的单价比A种鲜花饼每盒的单价多8元．
(1)求A，B两种鲜花饼每盒的单价；
(2)超市计划本次购进A，B两种鲜花饼共30盒，购进总费用不高于500元，若A，B两种鲜花饼每盒的单价均不变，A种鲜花饼至少购进多少盒？
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，∠BAD的角平分线过点E，连接BE并延长交AD的延长线于点F．
(1)如图甲，求证：DF=BC；
(2)如图乙，若∠C=90°，求证：AB=AD+BC．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图标都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000000002=2×10−10．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A、2a3与−a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(a−2)4=a−8，故B不符合题意；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故C不符合题意；
D、2a8÷a2=2a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则整式的除法的法则，完全平方公式对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】A
【解析】解：A、1+3=4，长度是1、3、4的线段不能围成三角形，故A符合题意；
B、3+7>8，长度是7、3、8的线段能围成三角形，故B不符合题意；
C、6+9>10，长度是6、9、10的线段能围成三角形，故C不符合题意；
D、13+12>20，长度是13、12、20的线段能围成三角形，故D不符合题意．
故选：A．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5.【答案】D
【解析】解：设该多边形的边数为n
则：(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
故选：D．
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°去求．
本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程
6.【答案】D
【解析】解：因为x的二次三项式x2+kx+9可以写成一个完全平方式，
所以x2+kx+9=(x±3)2=x2±6x+9，
所以k=±6．
故选：D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H．
由作图可知AD平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DC=2．
∴点D到AB的距离为2，
故选：A．
如图，过点D作DH⊥AB于点H.证明DH=DC=2，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
8.【答案】B
【解析】解：∵a+1a=3，
∴(a+1a)2=9，
即a2+2+1a2=9，
∴a2+1a2=9−2=7．
故选：B．
把a+1a=3两边平方，然后根据完全平方公式展开整理即可得解．
本题主要考查了利用完全平方公式进行计算，利用好乘积二倍项不含字母是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OP=OPPM=PN，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．
故选：C．
根据HL证明三角形全等即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法．
10.【答案】A
【解析】解：∵(a+1)2+|b−3|=0，而(a+1)2≥0，|b−3|≥0，
∴a+1=0，b−3=0，
即a=−1，b=3，
∴ba=3−1=13．
故选：A．
根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．
本题考查偶次方、绝对值的非负性，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的关键．
11.【答案】D
【解析】解：图甲中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的图乙是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D．
用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵点A(1,0)，点M(0,1)，
∴OA=OM=1，AM= 2，
∵点P在x轴上，△AMP为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①当AM为底边时，则PA=PM，
∵OA=OM=1，
∴当点P与点O重合时，△PAM为等腰三角形；
∴点P的坐标为(0,0)；
②当AM为腰，点A为顶点时，
以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P1，P2，则P1A=P2A=AM= 2，如图1所示：

此时△P1AM和△P2AM均为等腰三角形，点P1的坐标为(− 2+1,0)，点P2的坐标为( 2+1,0)；
③当AM为腰，点M为顶点时，
以点M为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P，则PM=AM= 2，如图2所示：

此时△PAM为等腰三角形，点P的坐标为(−1,0)．
综上所述：使得△AMP为等腰三角形时，则满足条件的点P共有4个．
故选：B．
由点A(1,0)，点M(0,1)得OA=OM=1，AM= 2，再分三种情况讨论如下：①当AM为底边时，则PA=PM，由OA=OM=1得此时当点P与点O重合；②当AM为腰点A为顶点时，以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P1，P2，则P1A=P2A=AM= 2，点P1(− 2+1,0)，点P2( 2+1,0)；③当AM为腰点M为顶点时，以点M为圆心以AM为半径画弧交x轴于P，则PM=AM= 2，点P(−1,0)，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是解决问题的易错点．
13.【答案】4(x+1)(x−1)
【解析】解：原式=4(x2−1)=4(x+1)(x−1)．
故答案为：4(x+1)(x−1)．
所求代数式中含有公因数4，可先提取公因数，然后运用平方差公式分解因式．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行分解，注意要分解彻底．
14.【答案】x≠1
【解析】解：由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
分式有意义的条件是分母不为零，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
15.【答案】AC=DF(或BC=EF或CE=FB或∠A=∠D或∠C=∠F或AC//DF)答案不唯一
【解析】解：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∵AB=DE，
∴当添加AC=DF时，Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
当添加BC=EF(或CE=FB)时，△ABC≌△DEF(SAS)，
当添加∠A=∠D时，△ABC≌△DEF(ASA)，
当添加∠C=∠F(或AC//DF)时，△ABC≌△DEF(AAS)．
故答案为：AC=DF(或BC=EF或CE=FB或∠A=∠D或∠C=∠F或AC//DF).答案不唯一
根据全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
16.【答案】30°或60°
【解析】解：当底角的外角为150°时，如图1，
∴∠ACD=150°，
∴∠ACB=180°−∠ACD=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAE=∠ABC+∠ACB=60°，
∵BE⊥CA，
∴∠ABE=90°−60°=30°；
当顶角的外角为150°时，如图2，
∴∠BAD=150°，
∴∠BAC=180°−∠BAD=180°−150°=30°，
∵BE⊥CA，
∴∠ABE=90°−30°=60°；
综上，一腰上的高与另一腰的夹角是30°或60°，
故答案为：30°或60°．
分两种情况讨论：当底角的外角为150°时，如图1，先求出∠BAE的度数，即可求出∠ABE的度数；当顶角的外角为150°时，方法同上．
本题考查了等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．
17.【答案】解：(−1)2023−|−2|+(3.14−π)0+(−13)−1
=−1−2+1−3
=−5．
【解析】先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加减即可．
本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂等知识点，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：原方程两边同乘以(x−3)，去分母得：3=−x−(x−3)，
去括号得：3=−x−x+3，
移项，合并同类项得：2x=0，
解得：x=0，
检验：当x=0时，x−3=−3≠0，
故原分式方程的解为x=0．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(1−yx)⋅x2x2−2xy+y2
=x−yx⋅x2(x−y)2
=xx−y，
由x−3y=0，得x=3y，
把x=3y，代入xx−y=32．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用y表示出x代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，
A(−2,−2)，B1(−4,−5)，C1(−5,−1)；

(2)如图点M的位置如图所示．
【解析】(1)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)作C关于y轴对称点C′，连接C′B，与y轴交点即为所求的点M．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
21.【答案】证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∠B=∠C，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠C∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE．
【解析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可推出∠BAD=∠CAE，从而可利用AAS判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可证得结论．
此题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件．
22.【答案】(1)证明：∵点F在BC的垂直平分线上，∠C=30°，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠C=30°，
∴∠AFE=∠FBC+∠C=60°，
∵AD⊥BC于D，∠FBC=30°，
∴∠BED=90°−∠FBC=60°，
∴∠AEF=∠BED=60°，
∴△AEF为等边三角形；
(2)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠BAD=90°−∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=1，∠BAD=30°，
∴AB=2BD=2，
在Rt△ABC中，AB=2，∠C=30°，
∴BC=2AB=4，
∴CD=BC−BD=4−1=3．
【解析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得FB=FC，进而得∠FBC=∠C=30°，则∠AFE=∠FBC+∠C=60°，再通过计算得出∠AEF=∠BED=60°即可得出结论；
(2)先求出∠ABC=60°，进而可求出∠BAD=30°，利用直角三角形的性质得AB=2BD=2，BC=2AB=4，由此可得CD的长．
此题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解两个角都等于60°的三角形是等边三角形；在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种鲜花饼每盒的单价是x元，则B种鲜花饼每盒的单价是(x+8)元，
根据题意得：240x=200x+8×2，
解得：x=12，
经检验，x=12是所列方程的解，且符合题意，
∴x+8=12+8=20(元)．
答：A种鲜花饼每盒的单价是12元，B种鲜花饼每盒的单价是20元；
(2)设A种鲜花饼购进m盒，则B种鲜花饼购进(30−m)盒，
根据题意得：12m+20(30−m)≤500，
解得：m≥252，
又∵m为正整数，
∴m的最小值是13，
答：A种鲜花饼至少购进13盒．
【解析】(1)设A种鲜花饼每盒的单价是x元，则B种鲜花饼每盒的单价是(x+8)元，利用数量=总价÷单价，结合用240元购进A种鲜花饼的数量是用200元购进B种鲜花饼数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A种鲜花饼每盒的单价，再将其代入(x+8)中，即可求出B种鲜花饼每盒的单价；
(2)设A种鲜花饼购进m盒，则B种鲜花饼购进(30−m)盒，利用总价=单价×数量，结合总价不超过500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】证明：(1)∵AF/​/BC，
∴∠F=∠FBC，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE．
在△DEF和△CEB中，
∠F=∠EBC∠DEF=∠CEBDE=CE，
∴△DEF≌△CEB(AAS)，
∴DF=BC；
(2)如图，过点E作EM⊥AB于点M，

∵AF/​/BC，∠C=90°，
∴∠EDF=∠C=90°，
即DE⊥AF．
∵AE是∠BAF的角平分线，EM⊥AB，
∴DE=ME．
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∴EM=EC，
∵EM⊥AB，EC⊥BC，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
∵AF/​/BC，
∴∠F=∠EBC，
∴∠F=∠ABE，
∴AF=AB．
∵AF=AD+FD，
由(1)知，FD=BC，
∴AB=AD+BC．
【解析】(1)证明△DEF≌△CEB(AAS)，由全等三角形的性质得出DF=BC；
(2)过点E作EM⊥AB于点M，证出AF=AB.则可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键