2023-2024学年新疆阿克苏地区阿瓦提县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆阿克苏地区阿瓦提县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列事件中是必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 买一张彩票，一定不会中奖
3.如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为a，则sin∠BAC的值为( )
A. 12
B. 1
C. 22
D. 3
4.将一元二次方程x2−2x−3=0配方后所得的方程是( )
A. (x−2)2=4B. (x−1)2=4C. (x−1)2=3D. (x−2)2=3
5.小明向图中的格盘中随意挪一棋子，使之落在三角形内的概率是( )
A. 49
B. 29
C. 13
D. 59
6.如图，在△ABC中，∠BAC=55°，∠C=20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度(0<α<180°)得到△ADE，若DE/​/AB，则α的值为( )
A. 65°
B. 75°
C. 85°
D. 130°
7.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=28°，则∠P的度数是( )
A. 56°
B. 58°
C. 50°
D. 55°
8.如图，点P是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于( )
A. 2.5
B. 10
C. −10
D. −5
9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③4acb2<1；④3a+c=0.其中结论正确的个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.点P(2,−3)关于原点的对称点P′的坐标为______．
11.已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，(sinA− 32)2+|csB−12|=0，则∠C的度数是______．
12.如图是一个几何体的三视图.则几何体的表面积S= ______．
13.将二次函数y=(x−2)2−4的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为______．
14.如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD= cm．
15.点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则下列结论中，正确的是 (填序号)．
①此反比例函数图象经过点(1,1)；
②此反比例函数的解析式为y=2x；
③若点(a,b)在此反比例函数图象上，则点(−a,−b)也在此反比例函数图象上；
④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在此反比例函数的图象上且x1三、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算．
(1) 8+(13)−2−|1− 2|−2cs45°．
(2) 16−2sin45°+(13)−1−|2− 2|.
17.(本小题10分)
解方程：
(1)x2−3x−4=0；
(2)2x2+5x−1=0．
18.(本小题13分)
如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米.设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．
(1)分别用含x的代数式表示BC与S；
(2)若S=54，求x的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？
19.(本小题12分)
如图，平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于点A(1,2)和B(−2,m)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出y1>y2时x的取值范围；
(3)过点B作BE/​/x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD=3CD，求点C的坐标．
20.(本小题10分)
如图，在数学实践活动课上，某班甲乙两组同学测量建筑物BE上的旗杆AB的高度.甲组在C处测得旗杆底部B的仰角为60°，乙组在距离C处20m的D处测得旗杆顶部A的仰角为45°(D、C、E在同一直线上).已知建筑物BE高30m.求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1m)(y=56x2−53x−52)
21.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC的平分线交AC于点E.以BE为弦作⊙O，圆心O恰好在BC边上．
(1)试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若CD=2，AB=3，求⊙O的面积．
22.(本小题13分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0)，B(5,0)．
(1)求这条抛物线对应函数的表达式；
(2)若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．
(3)直接写出y≥—5时，x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形)逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】C
【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意可得，
∵S长方形EFGC=2a×3a=6a2，S△AEC=12AE⋅CE=12×a×3a=3a22，S△AFB=12AF⋅FB=12×a×2a=a2，
S△CBG=12BG⋅CG=12×a×2a=a2，
∴S△ABC=S长方形EFGC−S△AEC−S△AFB−S△BGC=6a2−3a22−a2−a2=5a22，
在Rt△AEC中，
AC= AE2+CE2= (3a)2+a2= 10a，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12× 10a×BD=5a22，
解得BD= 102a，
在Rt△AFB中，
AB= AF2+FB2= a2+(2a)2= 5a，
在Rt△ABD中，
sin∠BAC=BDAB= 102a 5a= 22．
故选：C．
根据题意补全图形，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示，根据题意，则可计算长方形EFGC的面积，△AEC，△AFB和△CBG的面积，由面积差可计算出△ABC的面积，在Rt△AEC中，根据勾股定理可计算出AC的长度，由S△ABC=12AC⋅BD可计算出BD的长，在Rt△AFB中，根据勾股定理可计算出AB的长，在Rt△ABD中，由三角函数sin∠BAC=BDAB，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形，熟练应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：x2−2x−3=0，
x2−2x=3，
x2−2x+1=3+1，
(x−1)2=4，
故选B．
先移项，再配方，即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程−配方法．
5.【答案】C
【解析】解：由图形知，格盘总面积为3×3=9，三角形的面积为12×3×2=3，
所以向图中的格盘中随意挪一棋子，使之落在三角形内的概率是39=13，
故选：C．
格盘总面积为9，三角形的面积为3，再用三角形的面积除以总面积即可．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
6.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=55°，∠C=20°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠C=180°−55°−20°=105°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度(0<α<180°)得到△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=105°，
∵DE//AB，
∴∠ADE+∠DAB=180°，
∴∠DAB=180°−∠ADE=75°
∴旋转角α的度数是75°，
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA=∠ABC=105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出∠ADE=∠ABC=105°是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，
∴PA=PB，
∴AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∵∠BAC=28°，
∴∠PBA=∠PAB=∠PAC−∠BAC=90°−28°=62°，
∴∠P=180°−∠PBA−∠PAB=180°−62°−62°=56°，
故选：A．
由PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，得PA=PB，PA⊥AC，则∠PAC=90°，所以∠PBA=∠PAB=∠PAC−∠BAC=62°，则∠P=180°−∠PBA−∠PAB=56°，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、三角形内角和定理等知识，证明∠PAC=90°及∠PBA=∠PAB是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵PM⊥x轴，△POM的面积等于5，
∴12|k|=5，
而图象在第二象限，k<0，
∴k=−10，
故选：C．
利用反比例函数k的几何意义得到12|k|=5，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了反比例函数的性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确，
∵b=2a，
∴2a+b=2a+2a=4a>0，故②错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，
∵b>0，
∴b2>0，
∴4acb2<1，故③正确，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标(−3.0)，
∴9a−3b+c=0，
∵b=2a，
∴9a−3×2a+c=0，
∴3a+c=0，故④正确，
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴交点判断c的正负，由抛物线对称轴判断a与b的关系，由抛物线与x轴交点判断b2−4ac的正负，根据抛物线的图象的性质对结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
10.【答案】(−2,3)
【解析】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
所以点(2,−3)关于原点的对称点的坐标为(−2,3)．
故答案为：(−2,3)．
由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．
考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11.【答案】60°
【解析】解：∵(sinA− 32)2+|csB−12|=0，
∴sinA− 32=0，csB−12=0，
∴sinA= 32，csB=12，
∵∠A，∠B都是锐角，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，
故答案为：60°．
根据绝对值和偶次方的非负性可得sinA− 32=0，csB−12=0，从而可得sinA= 32，csB=12，进而可得∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和偶次方的非负性，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】96πcm2
【解析】解：由三视图可得该几何体为圆锥，
且底面直径为12cm，即底面半径为r=6cm，圆锥的母线长l= 62+82=10(cm)，
则圆锥的底面积S底面=π⋅r2=36π(cm2)，
侧面积S侧面=π⋅6⋅10=60π(cm2)，
故几何体的表面积S=36π+60π=96π (cm2).
故答案为：96π cm2．
由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，代入圆锥的表面积公式，我们易得结论．
本题考查的知识点是由三视图求面积，根据三视图判断几何体的底面半径和母线长是解答本题的关键．
13.【答案】y=(x−1)2−2
【解析】解：将二次函数y=(x−2)2−4的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为y=(x−2+1)2−4+2，即y=(x−1)2−2．
故答案为：y=(x−1)2−2．
根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
14.【答案】(8+5 2)
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8(cm)，
∵CD平分∠ACD，
∴AD=BD，
∴AD=BD= 22AB=5 2(cm)，
∴BC+AD=(8+5 2)(cm)．
故答案为：(8+5 2).
利用勾股定理求出BC，证明AD=BD，求出AD，可得结论．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，角平分线的定义，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】②③
【解析】解：根据题意可得，
|k|=2S△OAB=2×1=2，
∵反比例函数在第一象限内，
∴k>0，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x，
故结论②正确；
1×1=1≠2，故结论①错误；
若点(a,b)在此反比例函数图象上，则ab=2，
−a⋅(−b)=ab=2，
故结论③正确；
结合函数图像特点，
x1y1>y2，
故结论④错误；
综上所述，正确结论为②③．
故答案为：②③．
|k|=2S△OAB=2×1=2，可得反比例函数的解析式为y=2x，再结合函数图像特点，分析每一个结论即可．
本题考查了函数图像系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图像的特点是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
16.【答案】解：(1)原式=2 2+9−( 2−1)−2× 22
=2 2+9− 2+1− 2
=2 2− 2− 2+9+1
=10；
(2)原式=4−2× 22+3−(2− 2)
=4− 2+3−2+ 2
= 2− 2+3+4−2
=5．
【解析】(1)(2)小题均把特殊角的三角函数值代入算式，然后根据实数整数指数幂的性质、绝对值的性质进行计算即可．
.本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、实数整数指数幂的性质和绝对值的性质．
17.【答案】解：(1)x2−3x−4=0，
(x−4)(x+1)=0，
x−4=0或x+1=0，
所以x1=4，x2=−1；
(2)2x2+5x−1=0，
∵a=2，b=5，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=52−4×2×(−1)=33>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−5± 332×2=−5± 334，
∴x1=−5+ 334，x2=−5− 334．
【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x−4=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可；
(2)先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18.【答案】解：(1)由题意得，BC=33−3x，
∴S=AB⋅BC=x(33−3x)=−3x2+33x；
(2)由题意得，−3x2+33x=54，
∴x2−11x+18=0，
解得，x1=2，x2=9，
∵墙长为12米，
∴33−3x≤12，
∴x≥7，
∴x1=2应舍去，
∴x的值为9；
(3)S=x(33+1.5×2−3x)=−3x2+36x=−3(x−6)2+108，
∵墙长为12米，
∴36−3x≤1236−3x≥3，
∴8≤x≤11，
∵a=−3<0，
∴开口向下，
∴当x≥6，S着x的增大而减小，
∴当x=8时，S有最大值，最大值为：8×(36−3×8)=96．
【解析】(1)根据矩形的性质列式求出BC，再根据矩形面积公式求出S即可；
(2)根据(1)所求得到方程−3x2+33x=54，解方程并检验即可得到答案；
(3)先求出S=−3(x−6)2+108，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)把A(1,2)代入y2=kx中得k=2，
∴反比例函数的表达式为y2=2x，
∴B(−2,−1)，
把A(1,2)和B(−2,−1)代入一次函数y1=ax+b得a+b=2−2a+b=−1，
解得a=1b=1，
∴一次函数的表达式为y1=x+1；
(2)从图象可以看出，y1>y2时x的取值范围为−21；
(3)点A(1,2)，点B(−2,−1)，
则AD=2−(−1)=3，
由AD=3CD得CD=1，
故点C(0,−1)或(2,−1)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)点A(1,2)，点B(−2,−1)，则AD=2−(−1)=3，由AD=3CD得CD=1，进而求解．
本题考查了反比例函数的图象的性质以及一次函数的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
20.【答案】解：在Rt△BEC中，∠BCE=60°，EC=BEtan∠BCE=30 3=10 3≈17.32，
∵CD=20，
∴ED=EC+CD=37.32，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，tan∠ADE=AEED=1，
∴ED=AE=AB+BE，
∴AB=37.32−30=7.32≈7.3(m)，
答：旗杆AB的高度约为7.3 m．
【解析】首先在Rt△BEC中根据三角函数可求得EC，然后在Rt△ADE中，根据三角函数可得AE，进而可得AB的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)AC与⊙O相切．
理由如下：连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠OEB，
∴OE/​/AB，
∴∠CEO=∠CAB=90°，
∴OE⊥AC，
∵OE是半径，
∴AC与⊙O相切；
(2)由(1)知OE/​/AB，
∴△COE∽△CBA，
∴OEAB=COCB，
设⊙O的半径为r，
则r3=2+r2+2r，
解得r1=2，r2=−32(舍去)，
∴⊙O的面积为π×22=4π．
【解析】(1)连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠OBE=∠OEB，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠OBE，推出OE/​/AB，得到∠OEC=∠CAB=90°，于是得到结论；
(2)由相似三角形的判定证得△COE∽△CBA，根据相似三角形的性质求出半径，即可求出答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)点(1,0)，(5,0)在抛物线y=−x2+bx+c上．
则有0=−12+1×b+c0=−52+5×b+c，
解得：b=6c=−5，
则所求表达式为y=−x2+6x−5；
(2)设P点坐标为(a,b)，
依题意，得AB=5−1=4，
当b>0时，12×4×b=8，
解得b=4，
∴−a2+6a−5=4，
即a2−6a+9=0，
解之得：a1=a2=3；
当b<0时，12×4×(−b)=8，则b=−4，
∴−a2+6a−5=−4 即a2−6a+1=0．
解得a3=3+2 2，a4=3−2 2，
所求点P坐标为(3,4)或(3+2 2,−4)或(3−2 2,−4)；
(3)当y=−5时，−x2+6x−5=−5，
解得：x1=0，x2=6，
根据函数的图象和性质，y=−5时，x的取值范围为0≤x≤6．
【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；
(2)根据A、B两点坐标得AB=5−1=4，由三角形面积公式求P点纵坐标的绝对值，得出P点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P点横坐标；
(3)先解出y=−5时方程的解，再结合函数图象得出结论．
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P点纵坐标的关系是解题关键．