2023-2024学年广西崇左市江州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西崇左市江州区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次函数y=−3(x+1)2的对称轴是( )
A. 直线．x=1B. y轴C. 直线x=−1D. 直线x=3
2.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦值( )
A. 扩大3倍B. 扩大9倍C. 保持不变D. 缩小3倍
3.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )
A. △ABC∽△A′B′C′B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上
C. AB/​/A′B′D. AO：AA′=1：2
4.在△ABC中，∠C=90°，AC=9，sinB=34，则AB等于( )
A. 15B. 12C. 9D. 6
5.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为( )
A. y=2(1+x)2B. y=(2+x)2C. y=2+2x2D. y=(1+2x)2
6.下列表格中是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似根是( )
A. 6.17B. 6.18C. 6.19D. 6.20
7.如图，小明在横格作业纸(横线等距)上画了个“×”，与横格线交于A，B，C，D，O五点，如果线段AB=6cm，则线段CD的长等于( )
A. 8cm
B. 9cm
C. 10cm
D. 12cm
8.如图，有一个小山坡AB，坡比i=34.已知小山坡的水平距离AC=80m，则小山坡AB的长是( )
A. 45m
B. 60m
C. 75m
D. 100m
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点P在边AC上，过P画直线截△ABC使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可画( )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
10.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=4.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 4 33
D. 8 33
11.如图，是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，对称轴为直线x=−1，下列结论：①abc>0；②当x=−1时，ca(m≠−1的实数).其中正确的命题有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.如图，A，B是双曲线y=kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为4.5，D为OB的中点，则k的值为( )
A. 18
B. 4.5
C. 8
D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.已知α为锐角，且sinα=12，则α=______度．
14.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.6m，测得AB=1.2m，BC=10.8m，则建筑物CD的高是______．
15.已知抛物线y=−2x2+6x+m的顶点在x上，则m= ______．
16.大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是______．
17.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB=AC=20，BC=24，则tan∠OBD的值是______．
18.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是128，小正方形面积是16，则(sinθ−csθ)2= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算： 18×cs45°−(tan60°)2+20180．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
(2)已知△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是______．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA= 33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD=2 3，求BC，AB的长及△ABC的面积．
22.(本小题10分)
如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E．
(1)求证：GEEB=BEEF；
(2)若EF=15，GE=5，求BE的长．
23.(本小题10分)
如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
(参考数据：cs37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cs66°≈0.4)
24.(本小题10分)
某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题10分)
如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图象相交于A(m,2)，B两点，分别连接OA，OB．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”，若抛物线y=x2+bx+c经过(0,3)，(1,2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线y=x2+bx+c与x轴的“亲近距离”；
(3)在探究问题：求抛物线y=x2−2x+3与直线y=x−1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线y=x−1相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵y=−3(x+1)2，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
故选：C．
由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标及对称轴．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2.【答案】C
【解析】解：Rt△ABC中，csA=bc，
Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，
csA=3b3c=bc．
故选：C．
根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】D
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，A选项说法正确，不符合题意；
点C、点O、点C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
AB/​/A′B′，C选项说法正确，不符合题意；
AO：AA′=1：3，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
根据位似图形的概念判断即可．
本题考查的是位似变换的概念，掌握两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题知，
在Rt△ABC中，
sinB=ACAB，
则9AB=34，
所以AB=12．
故选：B．
表示出∠B的正弦即可解决问题．
本题考查解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y=2+2x+(2+2x)x=2(1+x)2．
故选：A．
设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得出y与x的函数关系式．
此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出传染人数是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：当x=6.18时，y=−0.01；当x=6.19时，y=0.02．
∵−0.01更接近于0，
∴方程的一个近似根为6.18．
故选B．
根据表格中的数据可得出“当x=6.18时，y=−0.01；当x=6.19时，y=0.02.”由−0.01更接近于0即可得出结论．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：过点O作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，如图所示．
∵AB/​/CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴CDAB=ONOM，即CD6=32，
∴CD=9cm．
故选：B．
过点O作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，由AB/​/CD，可得出△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质，即可求出CD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵斜坡AB的坡度为34，
∴BCAC=34，
∵AC=80m，
∴BC=60m，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 802+602=100(m)，
故选：D．
根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理求出AB．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过P作直线PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴PD/​/BC，PE/​/AB，
∴△ADP∽△ABC，△CEP∽△CBA，
∵∠APF=∠B=90°，∠PAF=∠BAC，
∴△AFP∽△ACB，
∴过P画直线截△ABC使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可画3条．
故选：C．
过P作直线PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，推出△ADP∽△ABC，△CEP∽△CBA，△AFP∽△ACB，即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定，关键是要分情况讨论．
10.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，BD=4，
∴AD=BD=4，
∵∠C=60°，
∴AC=ADsinC=4 32=8 33，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC=4 33，
故选：C．
根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据正弦的定义求出AC，再根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−10，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴ctB，
∴调度中心应该派遣B岛上的维修船．
【解析】作AD⊥BC的延长线于点D，先解Rt△ADB，求出AD，BD，再解Rt△ADC，求出AC，CD，则BC=BD−CD.然后分别求出A岛、B岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出BD与CD的值是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由所给函数图象可知：14k+b=22016k+b=180，
解得：k=−20b=500，
故y与x的函数关系式为y=−20x+500；
(2)∵y=−20x+500，
∴w=(x−13)y=(x−13)(−20x+500)
=−20x2+760x−6500
=−20(x−19)2+720，
∵−20