2023-2024学年新疆吐鲁番市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年新疆吐鲁番市九年级（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件属于必然事件的是( )
A. 打开电视，正在播放新闻B. 抛一枚硬币，正面朝上
C. 实数a<0，则2a<0D. 任意三条线段可以组成三角形
2.在平面直角坐标系中，点(3,−2)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (3,2)B. (−3,−2)C. (−3,2)D. (3,−2)
3.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.将方程x2−2x=2配成(x+a)2=k的形式，方程两边需加上( )
A. 1B. 2C. 4D. −1
5.已知⊙O的半径r=5，圆心O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
6.二次函数y=x2−2x−3的图象如图所示，下列说法中错误的是( )
A. 函数图象与y轴的交点坐标是(0,−3)
B. 顶点坐标是(1,−3)
C. 函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(−1,0)
D. 当x<0时，y随x的增大而减小
7.如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是( )
A. 5
B. 5 2
C. 7.5
D. 5 3
8.元旦那天，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程( )
A. 2π(60+10)6=2π(60+10+x)8B. 2π(60+x)8=2π×606
C. 2π(60+10)×6=2π(60+π)×8D. 2π(60−x)×8=2π(60+x)×6
9.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )
A. h=mB. k=nC. k>nD. h>0，k>0
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
10.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是______(填上一个符合条件的方程即可答案不惟一)．
11.若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是______．
12.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于45，则m的值为______．
13.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−3,0)、(1,0)，则这条抛物线的对称轴是直线______．
14.如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是______cm．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
用适当的方法解方程：
(1)2x2−7x+6=0；
(2)(x−3)2+4x(x−3)=0．
16.(本小题12分)
(1)某商场今年2月份的营业额为190万元，3月份的营业额比2月份多10万元，5月份的营业额达到242万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．
(2)如图，扇形OAB的半径为9cm，圆心角的度数为120°，将此扇形围成一个圆锥.求这个圆锥的底面圆的半径．
17.(本小题10分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB=30°，OD=2时，求扇形OAD的面积．
18.(本小题10分)
为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图.请根据统计图解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽查了______名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为______度.
(2)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
19.(本小题11分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转40°得到△ADE，BC与AD、DE交于点G、F．
(1)求∠AGC的度数；
(2)求证：四边形ABFE是菱形．
20.(本小题11分)
“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
(1)现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？
21.(本小题12分)
如图，点A，B，C在⊙O上，AC是直径，AB是弦，点P是⊙O外一点，分别作射线PA，PB，其中PA是⊙O的切线，线段PA=PB．
(1)求证：PB是⊙O的切线．
(2)若∠CAB=25°，求∠P的度数．
22.(本小题14分)
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A.D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、打开电视，正在播放新闻是随机事件，不符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
C、实数a<0，则2a<0是必然事件，符合题意；
D、任意三条线段可以组成三角形是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】C
【解析】【分析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征判断即可．
【解答】
解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点(3,−2)关于原点对称的点的坐标为(−3,2)，
故选：C．
【点评】
本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=35．
故选C．
根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了中心对称图形．
4.【答案】A
【解析】解：∵x2−2x=2，
∴x2−2x+1=2+1，即(x−1)2=3，
故选：A．
两边都加上一次项系数一半的平方可得．
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，5>3，
∴d∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：dr；即可选出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵y=x2−2x−3，
∴x=0时，y=−3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是(0,−3)，故本选项说法正确；
B、∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点坐标是(1,−4)，故本选项说法错误；
C、∵y=x2−2x−3，
∴y=0时，x2−2x−3=0，
解得x=3或−1，
∴函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(−1,0)，故本选项说法正确；
D、∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴对称轴为直线x=1，
又∵a=1>0，开口向上，
∴x<1时，y随x的增大而减小，
∴x<0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：B．
A、将x=0代入y=x2−2x−3，求出y=−3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断；
B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；
C、将y=0代入y=x2−2x−3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断；
D、利用二次函数的增减性即可判断．
本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：过O作OD⊥AC于D，连接OA，OC，
∴AD=DC，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠OAD=12×(180°−∠AOC)=30°，
在Rt△AOD中，AO=5，
∴OD=52，
由勾股定理得AD= OA2−OD2=52 3，
∴AC=5 3，
故选：D．
作辅助线，构建直角三角形，根据垂径定理得：AD=CD，利用30°的直角三角形的性质求AD的长，即可求得答案．
本题考查了正三角形和外接圆，要知道圆心既是内心也是外心，.正确作出辅助线是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设每人向后挪动的距离为x，则这8个人之间的距离是：2π(60+10+x)8，6人之间的距离是：2π(60+10)6，
根据等量关系列方程得：2π(60+10+x)8=2π(60+10)6．
故选A．
首先理解题意找出题中存在的等量关系：8人之间的距离=原来6人之间的距离，根据等量关系列方程即可．
列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
9.【答案】B
【解析】解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为(h,k)，(m,n)，
因为点(h,k)在点(m,n)的上方，所以k=n不正确．
故选：B．
借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．
本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．
10.【答案】x2=4
【解析】解：设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，把x=2代入可得，4a+2b+c=0
所以只要a(a≠0)，b、c的值满足4a+2b+c=0即可．
如x2=4等．
答案不唯一．
设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，把x=2代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一．
此题是开放性题目，主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．
11.【答案】a≤1
【解析】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以Δ=b2−4ac=4−4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
(1)二次项系数不为零；
(2)在有实数根下必须满足Δ=b2−4ac≥0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式．当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意得：5+m7+m=45，
解得：m=3．
故答案为：3．
由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于45可得方程，继而求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】x=−1
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−3,0)、(1,0)，
∴这条抛物线的对称轴是直线x=−3+12=−1，
故答案为：x=−1．
根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−3,0)、(1,0)，可以求得这条抛物线的对称轴，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14.【答案】 3
【解析】解：如图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F；
连接WE，WF，CW，OC，OW，则OW=CF，WF=1，∠WCF=12∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF=WF⋅ct∠WCF=WF⋅ct30°= 3．
根据题意画图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OWFC是矩形；构造直角三角形利用直角三角形中的30°角的三角函数值，可求得点O移动的距离为OW=CF=WF⋅ct∠WCF=WF⋅ct30°= 3．
本题利用了切线的性质，矩形的性质，余切的概念，切线长定理求解．
15.【答案】解：(1)2x2−7x+6=0，
(2x−3)(x−2)=0，
∴2x−3=0或x−2=0，
∴x1=32，x2=2；
(2)(x−3)2+4x(x−3)=0，
(x−3)(x−3+4x)=0，
∴x−3=0或5x−3=0，
∴x1=3，x2=35．
【解析】(1)利用十字相乘法，解方程即可；
(2)利用提公因式法因式分解，解方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
16.【答案】解：(1)设3月份到5月份的营业额的平均月增长率是x，
根据题意，得(190+10)(1+x)2=242，
200(1+x)2=242，
∴x1=0.1，x2=−2.1(舍)，
答：3月份到5月份的营业额的平均月增长率是10%；
(2)设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，
l弧=nπR180=120π×9180=6π，
∵l弧=2πr，
∴6π=2πr，
∴r=3，
答：这个圆锥的底面圆的半径为3cm．
【解析】(1)根据三月份的营业额×(1+x)2=五月份的营业额列出方程，再解方程即可；
(2)设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，列方程即可．
本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程和圆锥的计算，关键是掌握求平均变化率的方法和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】(1)证明：∵OD⊥AC OD为半径，
∴CD=AD，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
(2)解：∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=2∠OBD=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∵OD=2，
∴扇形OAD的面积=nπR2360=60⋅π⋅22360=2π3．
【解析】(1)由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得CD=AD，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
(2)首先由OB=OD，求得∠AOD的度数，根据扇形的面积公式即可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
18.【答案】50 57.6
【解析】解：(1)8÷16%=50(名)，
所以一共抽查了50名学生；
扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为度16%×360°=57.6°；
故答案为：50，57.6；
(2)画树状图如下：(用A、B、C、D分别表示“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目)
画树状图为：
共有16种等可能的结果，选中“舞蹈、声乐”这两项的结果数为2种，
所以恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率=212=16．
(1)用喜欢“声乐”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用喜欢“声乐”的人数所占的百分比乘以360°得到扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角的度数；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果．再找出喜欢“舞蹈、声乐”这两项结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
19.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=100°
∴∠B=∠C=40°，
∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转40°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=40°，∠B=∠D=40°，∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠AGC=∠B+∠BAD=80°
(2)∵∠D=∠BAD=40°，
∴AB//DE，
∵∠DAE+∠AGC=180°
∴AE/​/BF
∴四边形ABFE是平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=40°，由旋转的性质可得AB=AE，∠BAD=40°，∠B=∠D=40°，∠BAC=∠DAE=120°，由外角性质可求解；
(2)由平行线的判定可得AB//DE，AE/​/BF，可证四边形ABFE是平行四边形，且AB=AE，可得四边形ABFE是菱形．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
20.【答案】解：(1)设每箱应涨价x元，
则每天可售出(50−2x)箱，每箱盈利(10+x)元，
依题意得方程：(50−2x)(10+x)=600，
整理，得x2−15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10，
∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，
答：每箱产品应涨价5元．
(2)设利润为y元，则y=(50−2x)(10+x)，
整理得：y=−2x2+30x+500，
配方得：y=−2(x−7.5)2+612.5，
当x=7.5时，y可以取得最大值，
∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．
【解析】此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量．
(1)设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；
(2)设利润为y元，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求解．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OB，OP；
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OAP和△OBP中，
PA=PBOA=OBOP=OP，
∴△OAP≌△OBP(SSS)，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
又OB是半径，
∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CAB=25°，
∴∠COB=2∠CAB=50°，
∴∠AOB=180°−50°=130°，
∵∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠AOB+∠APB=180°，
∴∠APB=50°．
【解析】(1)如图，连接OB，OP；根据切线的性质得到∠OAP=90°，根据全等三角形的性质得到∠OBP=∠OAP=90°，根据切线的判定定理即可得到PB是⊙O的切线；
(2)根据圆周角定理得到∠COB=50°，求得∠AOB=130°，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)抛物线的顶点坐标为(8,8)，
则其表达式为：y=a(x−8)2+8，
将点O(0,0)代入上式得：0=64a+8，解得：a=−18，
故函数的表达式为：y=−18(x−8)2+8，(0≤x≤16)；
(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5−3.5=4，
当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米，
因为5.8<6，故该车辆能通行；
(3)点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，
则点A(8−m,y)，则AB=y=−18(x−8)2+8=−18m2+8，
设：w=AB+AD+DC=2m+2AB=−14m2+2m+16=−14m−42+20，
∵−14<0，故w有最大值，
当m=4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【解析】【分析】
(1)抛物线的顶点坐标为(8,8)，则其表达式为：y=a(x−8)2+8，将点O(0,0)代入上式，即可求解；
(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5−3.5=4，即可求解；
(3)点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，则AB=y=−18(x−8)2+8=8−18m2，w=AB+AD+DC=2m+2AB=−14m2+2m+16，即可求解．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．正确理解题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．