2023-2024学年福建省福州市鼓楼区重点中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区重点中学八年级（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图图案中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. 2 3− 3= 3B. 2+ 3= 5
C. 3 5× 5=4 5D. (−3)2=−3
3.下列因式分解正确的是( )
A. a2−a=a(a+1)B. a2−1=(a+1)(a−1)
C. a2+1=(a+1)2D. a3−a2=a(a2−a)
4.如图，图中每个四边形都是正方形，字母A所代表的正方形的面积为( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 64
5.计算4xx2−4−2x−2的结果是( )
A. 2x+2B. 2x−2C. −2x+2D. −2x−2
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC=65°，则∠BAC的大小为( )
A. 35°B. 50°C. 65°D. 70°
7.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
8.如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=20，BD=12，E、F分别是线段OD、OA的中点，则EF的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 8
9.如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x>y)表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是( )
A. x2+2xy+y2=49
B. x2−2xy+y2=4
C. x2+y2=25
D. x2−y2=14
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知a=1，则化简 (a−2)2的结果是______．
11.已知a、b为直角三角形的两边长，且满足(a−3)2+|b−4|=0，则第三边长为______．
12.如图，∠BCD是△ABC的一个外角，∠B=50°，∠BCD=110°，CE平分∠ACB，则∠BEC=______．
13.已知△ABC的三边长为x，2，6，△DEF的三边长为5，6，y，若△ABC与△DEF全等，则x+y= ______．
14.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是______cm．
15.若x满足(x+2023)(x+2025)=3，则代数式(x+2023)2+(x+2025)2的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)(x−2y)2+2x(3x+2y)；
(2)(12)−1−2 2+1 2−1．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+1x−xx+2)÷3x+2x2+4x+4，其中x= 2．
18.(本小题8分)
如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB/​/DE，AB=DE，AF=DC．
求证：BC=EF．
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°．
(1)请在图中用尺规作图的方法作出AB的垂直平分线交AC于点D，并标出D点；(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
20.(本小题8分)
有一块四边形草地ABCD(如图)，测得AB=AD=5，CD=13，BC=12，∠A=60°．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求四边形草地ABCD的面积．
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M．
(1)若CD=2，求DM的长；
(2)若M是AD的中点，连结BM，求证：BM平分∠ABC．
22.(本小题10分)
随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁里程比普快里程缩短了90km，运行时间减少了8h，已知甲市到乙市的普快列车里程为1220km.高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速；
(2)某日王先生要从甲市去距离大约780km的丙市参加14：00召开的会议，如果他买到当日9：20从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要1小时．试问在高铁列车准点到达的情况下，它能否在开会之前20分钟赶到会议地点？
23.(本小题12分)
综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
(1)如图1，若∠EAD=∠CAB，求证：BD=CE；
(2)如图1，若∠ABC=∠ADE=55°，求∠BEC的度数；
拓广探索：
(3)如图2，若∠CAB=∠EAD=120°，BD=4，CF⊥BE于点F，求CF的长度．
24.(本小题12分)
材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)．
(1)分解因式：ab+a+b+1；
(2)若a，b(a>b)都是正整数且满足ab−a−b−4=0，求a+b的值；
(3)若a，b为实数且满足ab−a−b−5=0，S=2a2+3ab+b2+5a−b，求S的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、这个图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：A.2 3− 3= 3，所以A选项符合题意；
B. 2与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C.3 5× 5=3×5=15，所以C选项不符合题意；
D. (−3)2=3，所以D选项不符合题意．
故选：A．
利用二次根式的减法运算对A选项进行判断；利用二次根式的加法运算对B选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.a2−a=a(a−1)≠a(a+1)，故选项A分解错误；
B.a2−1=(a+1)(a−1)，故选项B分解正确；
C.a2+1≠(a+1)2，故选项C分解错误；
D.a3−a2=a(a2−a)=a2(a−1)，故选项D分解错误．
故选：B．
利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
本题考查了因式分解，掌握提公因式法、公式法等知识点是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289−225=64．
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：4xx2−4−2x−2
=4x(x+2)(x−2)−2x−2
=4x(x+2)(x−2)−2(x+2)(x+2)(x−2)
=4x−2(x+2)(x+2)(x−2)
=4x−2x−4(x+2)(x−2)
=2(x−2)(x+2)(x−2)
=2x+2．
故选：A．
根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=65°，
∴∠B+12∠BAC=65°，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠BAC=50°，
故选：B．
根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC，根据三角形的外角性质得到∠B+12∠BAC=65°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：直角三角形较短的直角边为 102−82=6，
所以，正方形EFGH的面积=10×10−8×6÷2×4=100−96=4．
故选：A．
根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积−4个全等的直角三角形的面积，求出即可．
本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．
8.【答案】B
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA=90°，AC=20，BD=12，
∴AO=CO=10，BO=DO=6，
故AD= AO2−DO2= 102−62=8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF/​/AD，EF=12AD，
则EF的长为：4．
故选：B．
首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO.DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出EF的长．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出AD的长是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：A、由正方形图案的面积为49，则正方形图案的边长为7，
同时边长还可用(x+y)来表示，故(x+y)2=x2+2xy+y2=49，正确；
B、由图象可知(x−y)2=4，即x2−2xy+y2=4，正确；
C、由(x+y)2=x2+2xy+y2=49和(x−y)2=x2−2xy+y2=4，可得2x2+2y2=53，则x2+y2=26.5≠25，错误；
D、由x+y=7，x−y=2，可得(x+y)(x−y)=x2−y2=14，正确．
故选：C．
本题中正方形图案的边长7，同时还可用(x+y)来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是(x+y)2，还可以是(4xy+4)，阴影部分面积是4，边长是2，同时还可用(x−y)来表示，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，全等图形，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
10.【答案】1
【解析】解： (a−2)2
=|a−2|，
当a=1时，
原式=|1−2|=1．
故答案为：1．
利用二次根式的性质先化简，再代入求值．
本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
11.【答案】5或 7
【解析】解：∵(a−3)2+|b−4|=0，
∴a−3=0，b−4=0，
解得：a=3，b=4，
∵直角三角形的两边长分别为a，b，
∴第三边长 32+42=5或 42−32= 7，
故答案为：5或 7．
直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及非负数的性质，正确分情况讨论是解题关键．
12.【答案】95°
【解析】解：∵∠B=50°，∠BCD=110°，
∴∠A=∠BCD−∠B=110°−50°=60°，
∵∠A++B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°60°−50°=70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB=35°，
∴∠BEC=∠A+∠ACE=60°+35°=95°．
故答案为：95°．
根据三角形外角的性质得出∠A=60°，再利用三角形的内角和定理可求解∠ACB的度数，由CE平分∠ACB，求得∠ACE的度数，再根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查了角的平分线的定义，以及三角形的内角和定理以及三角形外角的性质．
13.【答案】7
【解析】解：因为△ABC与△DEF全等，△ABC的三边长为x，2，6，△DEF的三边长为5，6，y，
所以x=5，y=2，
所以x+y=7，
故答案为：7．
根据全等三角形对应边相等解答即可．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=AB+BC=16(cm)，
故答案为：16．
由题意知AE=BE，根据△BCE的周长为BE+CE+BC=AB+BC，计算求解即可．
本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：(x+2023)2+(x+2025)2
=[(x+2023)−(x+2025)]2+2(x+2023)(x+2025)
=(−2)2+2×3
=10，
故答案为：10．
利用完全平方公式变形解题即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(x−2y)2+2x(3x+2y)
=x2+4y2−4xy+6x2+4xy
=7x2+4y2；
(2)(12)−1−2 2+1 2−1
=2− 2+ 2+1
=3．
【解析】(1)先根据完全平方公式，单项式乘多项式的法则分别计算出各数，再合并同类项即可；
(2)根据负整数指数幂及分母有理化的法则把各式进行化简，再进行计算即可．
本题考查的是分母有理化、单项式乘多项式及完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】解：(x+1x−xx+2)÷3x+2x2+4x+4
=(x+1)(x+2)−x2x(x+2)⋅(x+2)23x+2
=x2+2x+x+2−x2x(x+2)⋅(x+2)23x+2
=3x+2x(x+2)⋅(x+2)23x+2
=x+2x，
当x= 2时，原式= 2+2 2=1+ 2．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AF=DC，
∵AC=AF+CF，DF=DC+CF，
∴AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D
∴在△ACB和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ACB≌△DEF(SAS)，
∴BC=EF(全等三角形的对应角相等)．
【解析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=EF．
本题考查了全等三角形的判断和全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19.【答案】(1)解：如图所示，点D就是所求．
(2)证明：由(1)可知：AB的垂直平分线AC于D，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∵，∠BCA=90°，
∴∠ABC=90°−∠A=60°．
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴：BD平分∠CBA．
【解析】(1)利用作线段的垂直平分线的得到作图；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，所以∠DBA=∠A=30°，然后计算出∠ABD=∠CBD=30°，于是可判断BD平分∠CBA．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20.【答案】解：(1)连接BD，
∵AB=AD=5，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=5，∠ABD=60°，
在△BCD中，BD=5，CD=13，BC=12，
∵BD2+BC2=52+122=132=CD2，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=150°；
(2)过D作DE⊥AB于E，
∵AD=BD，
∴AE=BE=12AB=52，
∴DE= BD2−BE2=5 32，
∴四边形草地ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅BD=12×5×5 32+12×12×5=30+25 34，
答：四边形草地ABCD的面积为30+25 34．
【解析】(1)连接BD，由等边三角形的判定证得△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，再由勾股定理的逆定理证得∠CBD=90°，即可求得∠ABC；
(2)过D作DE⊥AB于E，由等腰三角形的性质求得BE，再由勾股定理求得DE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论．
本题考查了的等边三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠BCM=∠DMC，
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM=∠DCM，
∴∠DMC=∠DCM，
∴DM=DC=2；
(2)如图，延长BA，CM，交于点E，则∠AME=∠DMC，
∵BE/​/CD，
∴∠D=∠EAM，∠E=∠DCM，
∵M是AD的中点，
∴DM=AM，
∴△CDM≌△EAM(ASA)，
∴EM=CM，
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM=∠DCM，
∴∠E=BCM，
∴BE=BC，
∴BM平分∠ABC．
【解析】(1)依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到DM=DC；
(2)延长BA，CM，交于点E，依据△CDM≌△EAM，即可得到EM=CM，再根据BE=BC，即可得出BM平分∠ABC．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
22.【答案】解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，
由题意得，1220x−1220−902.5x=8，
解得：x=96，
经检验，x=96是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x=240，
答：高铁列车的平均时速为240千米/小时；
(2)780÷240=3.25，
则坐车共需要3.25+1=4.25(小时)，
从9：20到下午1：40，共计413小时>4.25小时，
故王先生能在开会之前到达．
【解析】(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，根据题意可得，高铁走(1220−90)千米比普快走1220千米时间减少了8小时，据此列方程求解；
(2)求出王先生所用的时间，然后进行判断．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23.【答案】(1)证明：如图1，∵∠EAD=∠CAB，
∴∠EAD−∠CAD=∠CAB−∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE．
(2)解：如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ADE=55°，
∴∠ACB=∠ABC=55°，∠AED=∠ADE=55°，
∴∠BAC=∠DAE=180°−55°−55°=70°，
由(1)得△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180°−∠ADE=180°−55°=125°，
∴∠AEC=125°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=125°−55°=70°，
∴∠BEC的度数是70°．
(3)解：如图2，∵∠CAB=∠EAD=120°，BD=4，
∴∠BAD=∠CAE=120°−∠CAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE=4，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADE=∠AED=12×(180°−120°)=30°，点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180°−∠ADE=180°−30°=150°，
∴∠AEC=150°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=150°−30°=120°，
∴∠CEF=180°−∠BEC=180°−120°=60°，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠F=90°，
∴∠FCE=90°−∠CEF=90°−60°=30°，
∴EF=12CE=12×4=2，
∴CF= CE2−EF2= 42−22=2 3，
∴CF的长度是2 3．
【解析】(1)由∠EAD=∠CAB推导出∠CAE=∠BAD，而AB=AC、AD=AE，即可根据“SAS”证明△BAD≌△CAE，得BD=CE；
(2)由∠ABC=∠ADE=55°，根据等腰三角形的性质得∠ACB=∠ABC=55°，∠AED=∠ADE=55°，则∠BAC=∠DAE=70°，所以△BAD≌△CAE，则∠ADB=∠AEC=125°，求得∠BEC=∠AEC−∠AED=70°；
(3)由∠CAB=∠EAD=120°，得∠BAD=∠CAE=120°−∠CAD，即可证明△BAD≌△CAE，得BD=CE=4，∠ADB=∠AEC，因为∠ADE=∠AED=30°，所以∠ADB=∠AEC=150°，求得∠BEC=∠AEC−∠AED=120°，则∠CEF=60°，而∠F=90°，则∠FCE=30°，所以EF=12CE=2，由勾股定理得CF= CE2−EF2=2 3．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
24.【答案】解：(1)ab+a+b+1
=(ab+a)+(b+1)
=a(b+1)+(b+1)
=(a+1)(b+1)；
(2)由题得ab−a−b+1=5，即(a−1)(b−1)=5，
∵a，b为正整数且a>b，
∴a−1=5b−1=1，即a=6b=2，
∴a+b=8；
(2)由题得ab=a+b+5，
S=2a2+3ab+b2+5a−b
=2a2+3a+3b+15+b2+5a−b
=2a2+8a+b2+2b+15
=2(a2+4a+4)+(b2+2b+1)+6
=2(a+2)2+(b+1)2+6，
∵(a+2)2≥0，(b+1)2≥0，
∴S≥6，(当且仅当a=−2，b=−1时取等号)，
经验证：a=−2，b=−1满足ab−a−b−5=0，
综上，S的最小值为6．
【解析】(1)先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
(2)现将ab−a−b−4=0变形为ab−a−b+1=5，即(a−1)(b−1)=5，然后再解决本题．
(3)先将ab−a−b−5=0变形为ab=a+b+5，再代入S，然后进行变形，得到S=2(a+2)2+(b+1)2+6，最后探究S的最小值．
本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键．