2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+12(BC−BD)等于( )
A. ADB. FAC. AFD. EF
2.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b/​/c，则|a+b|=．( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
3.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4.已知直线 3x+y−1=0与直线2 3x+my+3=0平行，则它们之间的距离是
( )
A. 1B. 54C. 3D. 4
5.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度为( )
A. 2 6mB. 4 6mC. 4 2mD. 12 m
6.已知{an}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5⋅a6=−8，则公差d=( )
A. 6B. −6C. −2D. 4
7.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 33B. 43C. 2D. 2
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为12，直线y=kx与该椭圆交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A. ±32B. ±23C. ±12D. ±2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2,−1,−4)，AD=(4,2,0)，AP=(−1,2,−1).下列结论正确的有( )
A. AP⊥ABB. AP⊥AD
C. AP是平面ABCD的一个法向量D. AP//BD
10.已知圆方程为：(x−1)2+(y−1)2=4与直线x+my−m−2=0，下列选项正确的是( )
A. 直线与圆必相交B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为2 3D. 直线与圆可以相切
11.若双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是( )
A. C的渐近线上的点到F的距离最小值为4B. C的离心率为54
C. C上的点到F距离的最小值为2D. 过F的通径长为323
12.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2 6的正三角形，底面ABCD为矩形，CD=2 3，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是( )
A. CQ⊥平面PAD
B. PC与平面AQC所成角的余弦值为2 23
C. 点Q到面ABCD的距离为3 22
D. 三棱锥B−ACQ的体积为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.过点M(2,−3)且与直线x+2y−9=0垂直的直线方程是______．
14.等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a3+a4=42，则S5= ______．
15.已知F1，F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|+|F2B|=14，则|AB|= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知△ABC中，点A(1,3)，B(2,1)，C(−1,0)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求△ABC的面积．
17.(本小题12分)
已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
18.(本小题12分)
已知直线l：12x+5y−4=0与圆C：x2+y2−2x−2y−7=0交于A，B两点．
(1)求圆C的弦AB的长；
(2)若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程．
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1CE=2，M为棱A1B1的中点．
(Ⅰ)求证：C1M⊥B1D；
(Ⅱ)求二面角B−B1E−D的正弦值；
(Ⅲ)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−1，n∈N*.数列{bn}是公差大于0的等差数列，b2=a3，且b1，b2，a4成等比数例．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若Tn=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+an−1bn−1+anbn，求Tn．
21.(本小题12分)
已知椭圆，C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为M(2,0)，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q为左顶点，过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当QA⋅QB取得最大值时，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：连接AF，E，F分别是BC，CD的中点，
则AD+12(BC−BD)=AD+12DC=AD+DF=AF．
故选：C．
根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出a+b，由此能求出|a+b|.
【解答】
解：设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，
且a⊥c，b/​/c，
∴2x−4+2=012=y−4，解得x=1y=−2,
∴a+b=(1,1,1)+(1,−2,1)=(2,−1,2)，∴|a+b|= 4+1+4=3．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本小题主要考查直三棱柱ABC−A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
【解答】
解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB= 2AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
由题意利用两条直线平行的性质求出m，再利用两条平行直线间的距离公式求得结果．
【解答】
解：由题意直线 3x+y−1=0与直线2 3x+my+3=0平行，
可得 32 3=1m⇒m=2，即2 3x+2y+3=0，
则直线 3x+y−1=0可化为2 3x+2y−2=0，
所以两直线之间的距离为d=|3+2| (2 3)2+22=54，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，设该抛物线的方程为x2=−2py，
又由当水面离拱顶2m时，水面宽8m，即点(4,−2)和(−4,−2)在抛物线上，
则有16=−2p(−2)，解可得p=4，
故抛物线的方程为x2=−8y，
若水面下降1m，即y=−3，则有x2=24，解可得x=±2 6，
此时水面宽度为2 6−(−2 6)=4 6，
故选：B．
根据题意，设该抛物线的方程为x2=−2py，分析可得抛物线的方程，将y=−3代入，计算可得x的值，据此分析可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线的几何性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵{an}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5⋅a6=−8，
∴a5+a6=2，
∴a5，a6是方程x2−2x−8=0的两个根，且a50)的渐近线为ax±by=0，
圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，
∴圆心C到渐近线的距离为|2a| a2+b2=1，且c2=a2+b2
则c=2a
因此该双曲线的离心率为e=ca=2
故选：D
8.【答案】A
【解析】解：由题可知，不妨设A、B两点的坐标分别为(−c,−kc)，(c,kc)，
∵A、B均在椭圆上，∴c2a2+k2c2b2=1，
又椭圆的离心率为12，∴ca=12，∴cb=c a2−c2=c 4c2−c2=1 3，
∴14+k23=1，解得k=±32．
故选：A．
不妨设A、B两点的坐标分别为(−c,−kc)，(c,kc)，将其代入椭圆方程可得c2a2+k2c2b2=1，再结合离心率ca=12和b2=a2−c2，可推出cb=1 3，然后把所得结论代入c2a2+k2c2b2=1，即可求出k的值．
本题考查椭圆的性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，AB⋅AP=2×(−1)+(−1)×2+(−4)×(−1)=0，∴AP⊥AB，即AP⊥AB，A正确；
对于B，AP⋅AD=(−1)×4+2×2+(−1)×0=0，∴AP⊥AD，即AP⊥AD，B正确；
对于C，由AP⊥AB，且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一个法向量，C正确；
对于D，由AP是平面ABCD的法向量，得出AP⊥BD，则D错误．
故选：ABC．
由AB⋅AP=0得出AP⊥AB，判断A正确；
由AP⋅AD=0得出AP⊥AD，判断B正确；
由AP⊥AB且AP⊥AD得出AP是平面ABCD的一个法向量，判断C正确；
由AP是平面ABCD的法向量得出AP⊥BD，判断D错误．
本题考查了空间向量的性质应用问题，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由题意，圆(x−1)2+(y−1)2=4的圆心C(1,1)，半径r=2，
直线x+my−m−2=0变形可得x−2+m(y−1)=0，
则直线恒过定点A(2,1)，
∵|CA|= (2−1)2+(1−1)2=10，y1+y2=−2tt2+2，y1⋅y2=−3t2+2；
所以QA⋅QB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9
=(t2+1)−3t2+2+3t−2tt2+2+9=−3t2−3−6t2t2+2+9=−9t2−3t2+2+9=15t2+2，
当t=0时，QA⋅QB取最大值152．
此时直线l方程为x=1．
【解析】(1)由椭圆的顶点坐标和离心率及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
(2)由(1)可得Q的坐标，分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，当斜率不为0时，设直线方程，与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出数量积QA⋅QB的表达式，由参数的范围求出其最大值．
本题考查求椭圆的方程的方法，及直线与椭圆的综合，属于中档题．