广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键．
【详解】解：这个立体图形的主视图为：

故选：B．
2. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入关于的一元二次方程得：
，
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3. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 30C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据菱形的性质可得，再证是等边三角形，由此可得，进而得菱形的边长为6，由此可求出菱形的周长．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及菱形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
∴菱形的周长为：

，
故选：A．
4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】，
两边同时加1，得：，即．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程—配方法，配方法步骤：（1）将二次项系数化为1；（2）常数项移动方程右边；（3）左右两边都加上一次项系数一半的平方；（4）左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数；（5）开方转化为两个一元一次方程来求解．
5. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A. 0.46B. 0.50C. 0.55D. 0.61
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
6. 一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案．
【详解】解：过点作交于点，交于点，
，
，
，
．
故选：C
7. 击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点处将球传出，经地面点处反弹后被接球选手在点处接住，将球所经过的路径视为直线，此时．若点距地面的高度为，点距地面的高度为，传球选手与接球选手之间的距离为，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．先根据两角分别相等的两个三角形相似证得，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，
，
，
设，
则，
，
，即，
故选：D
8. 据报道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由万元增长至万元，设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，根据2020年至2022年人均可支配收入由万元增长至万元，列出方程即可．
【详解】解：设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，
，
故选：A．
9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知5a＝2b，则a：b＝_____．
【答案】2:5
【解析】
【分析】依据比例的性质进行变形即可．
【详解】解：∵5a＝2b，
∴a：b＝2：5．
故答案为2：5．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
12. 为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的运用，设这棵树的高度是米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．熟记同一时刻的物高与影长成比例是解题的关键．
【详解】解：设该树的高度为，
依题意得：，
解得：，
则该树的高度为，
故答案为：．
13. 深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：“香港回归”和“改革开放”发生于新中国成立以后．
将“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”分别记为，，，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果有：，，共2种，
八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点B落在点C处，且轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查翻折的性质、反比例函数的性质以及勾股定理，延长交x轴于点D，则，设，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求得，得到点C的坐标为，结合点C在反比例函数图象上，可求得，进一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案．
【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示：

设，则，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
由翻折的性质得：，，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴．
故答案为：．
15. 如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．若图中有等边三角形，常用辅助线作法是做出一边上的高．把所求线段放在一个直角三角形中当斜边也是常用辅助线作法．，，可得为等边三角形．作于点，可得为的中点，可求得的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得为的一半．作于点，则 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得的长，利用勾股定理可得的长，进而根据勾股定理可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接．
，
．
，
．
，，
为等边三角形，
．
，
．
．
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 深圳蕴藏丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点．
（1）参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后利用概率公式计算事件的概率．
（1）由随机事件发生的概率即可求得结果；
（2）从树状图中找到小明和小颖的景点都是“莲花春早”结果数，利用概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：∵有A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪三个选项，
∴小军选择景点为“梧桐烟云”的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种，
∴，
则小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为．
18. 已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数表达式为 ；
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
上面表格中m的值是 ；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小．
【答案】（1）
（2），画图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的解析式，图象的画法以及性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点并能灵活运用．
（1）利用矩形的面积公式可以得到与之间的函数关系式；
（2）将代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描点，再用光滑的曲线顺次连接即可画出图象；
（3）根据反比例函数的单调性即可得到答案．
【小问1详解】
根据题意得：，
所以，
则与之间的函数表达式为．
故答案为：．
【小问2详解】
【小问3详解】
由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小，
，
．
19. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
【答案】（1）
（2）每本画册应降价4元
【解析】
【分析】（1）根据“画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本”列式即可．
（2）根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去；
本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题——利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
由题意可知，每天的销售量为本．
故答案为：．
【小问2详解】
由题意可得，
，
整理得，
解得，，
∵要求每本售价不低于55元，
∴符合题意．
故每本画册应降价4元．
20. 如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得，并说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形：
（1）添加，证明，即可；
（2）根据勾股定理可得，证明，可得，在 和中，利用锐角三角函数可得，即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
，
∵，
，
又∵，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∵，
，
又∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
21. 【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是 ；
③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：）
【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10
【解析】
【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解；
（3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解；
（4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由图形可知是等腰直角三角形，则，
故答案为：；
（3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H，
∵四边形为矩形，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
（4）如图4，过点A作轴于点，
由勾股定理可得，
∴，
把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
设直线与的交点为P，则，
过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
∴，
∵，
∴的最大整数值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键．
22. 已知点是正方形内部一点，且．
【初步探究】
（1）如图1，延长交于点．求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）可得出，，从而得出结论；
（2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得，
从而得出；
（3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
不妨设，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当时，即，
设，
分别延长，，分别交于，交于，
，
、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即，
同理可得：，
，
，
，
，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力．试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
3
m
15
1
…