山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共22页。
1．本次考试时间120分钟，满分120分．
2．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答．作图用2B铅笔．
3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．祝考试成功！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：图1不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
图2不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
图3既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
图4是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
符合题意的只有图3
故选：D．
【点睛】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，熟练地掌握概念是解决本题的关键．
2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB//DC，AD=BC您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3/份 【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
3. 若分式中的的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值( )
A. 是原来的3倍B. 是原来的C. 是原来的D. 是原来的
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】原式；
故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
【详解】解：有图形可得，
第一个图形得到：，
第二个图形得到：，
∴，
故选：C．
5. 下表是某地援鄂医疗人员的年龄分布
对于不同下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 众数、中位数B. 众数、方差C. 平均数、方差D. 平均数、中位数
【答案】A
【解析】
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为18，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及中位数，进而可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为31岁与年龄为32岁的频数和为m＋18−m＝18，
则总人数为：15＋20＋18＝53，
故该组数据的众数为30岁，中位数为：30岁，
即对于不同的m，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6. 如图，在中，，，，由ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=1，
∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形的性质．
7. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一对和二队工作效率之和乘以30天等于列方程即可．
【详解】解：∵由建筑一队施工，那么180天可盖成，
∴一队的工作效率是．
∵由建筑二队单独施工，则需要天完成，
∴二队的工作效率是．
∵由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
8. 已知a2－3a＋1＝0，则分式的值是( )
A. 3B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，易求a2+1=3a，左右平方，可得a4+1=（a2+1）2-2a2=7a2，再整体代入所求分式中计算即可．
【详解】解：∵a2-3a+1=0，
∴a2+1=3a，
∴（a2+1）2=9a2，
∴a4+1+2a2=9a2，
∴a4+1=7a2，
∴,
故选：D
9. 如图，中，是边的中点，平分于已知则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长BE交AC于F，由三线合一定理，得到△ABF是等腰三角形，则AF=AB=10，BE=EF，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长交于点.
，平分，
为等腰三角形.
,E为的中点
又为的中点
为的中位线，
故选：A.
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三线合一定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11. 若分式有意义，则应满足的条件是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）即可求出答案．
【详解】解：由分式有意义的条件可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可.
详解】
=
=，
故答案.
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13. 已知多边形的每一个外角都等于40°，这个多边形的内角和的度数为________．
【答案】1260°##1260度
【解析】
【分析】先利用360°÷40°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n-2）•180°计算即可求解．
【详解】解：360°÷40°=9，
∴（9-2）•180°=1260°．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角与边数的关系，求出多边形的边数是解题的关键．
14. 在学校优秀班集体评选中，七年级一班的“学习”、“卫生”、“纪律”、“德育”这四项成绩（百分制）依次为80、84、86、90．若按“学习”成绩占、“卫生”成绩占、“纪律”成绩占、“德育”成绩占进行考核打分（百分制），则该班得分为______．
【答案】84.5
【解析】
【分析】本题主要考查了加权平均数的应用，明确加权平均数的含义是解答本题的关键．运用加权平均数解答即可．
【详解】解：，
所以该班得分为84.5分，
故答案为：84.5．
15. 如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，，，由旋转的性质可得，，，，，则，，证明，则，由勾股定理得，，然后作答即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
由旋转的性质可得，，，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握半角的全等模型，旋转的性质是解题的关键．
16. 如图，已知等边三角形的边长为8，是内一点，，，，点，，分别在，，上，则__________．
【答案】8
【解析】
【分析】过E点作EGPD，过D点作DHPF，根据平行四边形的判定和性质可得EG＝DP，PE＝GD，易证△BEG为等边三角形，可得EG＝PD＝GB，同理求出DH＝PF＝AD，即可得到PD＋PE＋PF＝AB＝8．
【详解】解：过E点作EGPD，过D点作DHPF，
∵PEAB，
∴四边形DGEP为平行四边形，
∴EG＝DP，PE＝GD，
又∵△ABC是等边三角形，EGAC，
∴△BEG为等边三角形，
∴EG＝PD＝GB，
同理可证：DH＝PF＝AD，
∴PD＋PE＋PF＝BG＋GD＋AD＝AB＝8，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和性质及等边三角形的判断和性质．熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （1）先化简，再求值：，其中；
（2）先化简，然后在2，，中选一个你认为合适的值，代入求值．
【答案】（1），；（2），时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简的一般步骤，注意分式有意义的条件．
（1）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，然后化简求出x的值，再代入计算即可．
（2）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，再代入恰当的数值计算即可．
【详解】（1）
=
=
=
=，
∵
∴原式．
（2）
=
=
=
=．
∵，，
∴，，
∴当时，原式=．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【解析】
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后对应点，
得到A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
19. 已知是关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程的解为正数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
（1）将代入原方程，解关于x的方程即可求解；
（2）先求出原方程的解，然后根据解为正数和分式有意义得出关于a的不等式组，然后求解即可．
【小问1详解】
解：原方程为，
解得，
检验：当时，．
∴是原方程的根；
【小问2详解】
解：解分式方程得，
∵分式方程的解是正数，
∴且，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是：且．
20. 某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在、两位投篮高手间进行了次投篮比赛，每人每次投个球，将他们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图．
（1）根据图中所给信息填写下表：
（2）设他们这次投篮进球个数的方差分别为、，根据折线统计图判定： （填“”或“”）；
（3）如果这个班只能在、之间选派一名学生参赛，应该选派谁？请你利用学过的统计知识对问题进行简单分析，并作出决策．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）选择，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据折线统计图得到的次投篮进球个数，再根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（）根据折线的波动程度即可求解；
（）根据平均数和方差即可判断；
本题考查了折线统计图，平均数、中位数、众数、方差，由折线统计图得到的次投篮进球个数是解题的关键．
【小问1详解】
解：由折线统计图可得，的次投篮进球个数为，
的次投篮进球个数为，
∴的平均数为；
把的次投篮进球个数按从小到大的顺序排列为，
∴的中位数为；
∵的次投篮进球个数出现了最多，
∴的众数为；
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由折线统计图可知，的投篮进球个数更稳定，的波动更大，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：选择．
理由：的平均数相同，但的方差更小，成绩更稳定，所以应该选择．
21. 如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中位线定理，根据题意得，，结合推出即可求解．
【详解】解：∵、、分别是、、的中点，
∴是的中位线、是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
22. 某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个．
（1）求第一次每个足球的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按150元/个的价格销售，当售出10个后，根据市场情况，商店决定对剩余的足球全部按同一标准一次性打折售完，但要求这次的利润不少于450元，问该商店最低可打几折销售？
【答案】(1)100元;(2) 7.5折
【解析】
【分析】（1）设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进足球的数量﹣10个＝第二次购进足球的数量，可得分式方程，然后求解即可；
（2）设商店对剩余的足球按同一标准一次性打a折销售时，可使利润不少于450元．先根据（1）中求得的数得到第二次购进足球的数量和价格，再根据数量关系：第一次销售完10个获得的利润+第二次打折销售完足球获得的利润≥450元，列出不等式，然后求解即可得出答案．
【详解】（1）设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，
根据题意得，＝10，
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原方程的根，
答：第一次每个足球的进价是100元；
（2）设该商店最低可打a折销售，
根据题意得，150×10+（﹣10）×150×﹣3600≥450，
解得：a＝7.5
答：该商店最低可打7.5折销售．
【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，关键是理解题意，第一问以数量作为等量关系列方程求解，第二问以利润作为不等量关系列不等式求解．
23. 在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小；
（2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数；
（2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【小问1详解】
解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵点F是边中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，

∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，和为等边三角形，
∴，
∵点F为的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
24. 已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
（1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
（2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积；
（3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1）
（2）的面积为
（3）或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可；
（2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可．
【小问1详解】
解：如图①所示：

四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
【小问2详解】
解：如图②所示：

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图③所示：

，
∴当时，四边形是平行四边形，
①当时，，，
∴，
解得：；
②当时，，，
∴，
解得：；
③当时，，，
∴，
解得：；
④当时，，，
∴，
解得：；
∴或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．年龄/岁
频数
投中个数统计
平均数
中位数
众数
①
②
③