浙江省杭州市杭州育才中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省杭州市杭州育才中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 我国地域辽阔，南北温差大．某日哈尔滨的最高气温为，海口的最高气温为，则该日这两地的温差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．根据题意列算式计算即可得到结果．
【详解】解：∵一天的最低气温为，最高气温为，
∴该地这天的温差为：，
故选：A．
2. 在，0这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数大小比较的方法，解题关键是要熟练掌握：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据“正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小”进行判断．
【详解】解：∵，
∴，
所以最小的数是．
故选：A．
3. a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
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【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点，原点左边表示负数，原点右边表示正数；以及绝对值的意义即可进行解答．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、∵，，∴，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据数轴比较两数大小和绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握数轴上的点，原点左边表示负数，原点右边表示正数；绝对值表示数轴上的点与原点的距离．
4. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数，确定，即可．
【详解】解：∵，
故选： B．
5. 一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了由近似数推断真值范围．根据四舍五入的近似法则，应看百分位上的数字，即可得到答案．
【详解】解：把a精确到十分位的近似数是，则a的取值范围是，
故选：D．
6. 如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出的是（ ）
A. ①②B. ①③
C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】分析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【详解】①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3=∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠B=∠DCE，
∴AB∥CD；
④∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC；
∴能得到AB∥CD的条件是①③.
故选择：B
【点睛】本题考查了平行线的判定， 掌握平行线的三种判定方法是解此题的关键.
7. 若，则代数式的值为（ ）
A. 11B. 7C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
；
故选D
8. 有个数值转换器,原理如下:
当输入x值为16时,输出的y是( )
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意，得：x=16时， =4，4是有理数，将4的值代入x中；
当x=4时， =2，2是有理数，将2的值代入x中；
当x=2时， 是无理数，故y 的值是，故选D.
【点睛】本题考查了实数的运算，弄清程序的计算方法是解答此类题的关键．
9. 规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解新定义运算法则．根据新定义型运算法则列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵的运算结果与的运算结果相同，
∴，
∴，
∴．
故选C．
10. 己知是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在上方有7个，在下方有4个，构成大长方形．己知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变的长度，空余部分的面积与的差不改变，则a，b之间的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了整式的加减的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则．用含、、的式子表示出，，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
若长度变化，而的值总保持不变，
，
解得：．
故选：B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 计算：____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握算术平方根的含义是解本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：
12. 化简____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是整式的加减运算，先去括号，再合并同类项，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键．
【详解】解：
；
故答案为：
13. 若关于x的方程的解为，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
【详解】解：将代入方程得：
，
解得：．
故答案为：．
14. 已知的余角比的2倍少，则_____度．
【答案】35
【解析】
【分析】先根据题意列出关于的方程，求解即可．
详解】解：由题意，可得，
∴，
∴．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了余角的知识，理解题意列出关于的方程是解决本题的关键．
15. 如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形，则第2024根火柴在第____________个图形中．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题是关键．由图形可知：有1个三角形，需要3根火柴棍，有2个三角形，需要根火柴棍，有3个三角形，需要根火柴棍，…有n个三角形，需要根火柴棍，再根据题意列出方程即可解决问题．
【详解】解：含有1个三角形，需要3根火柴棍，
有2个三角形，需要根火柴棍，
有3个三角形，需要根火柴棍， …
有n个三角形，需要根火柴棍；
由，解得，
∴ 第2024根火柴在第个图形中
故答案为．
16. 已知数轴上两点A，B对应的数分别是和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点P与点Q同时出发，经过____________秒后，P，Q之间距离2个单位长度．
【答案】1或2
【解析】
【分析】此题考查了数轴上的动点问题，利用代数式表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解动点问题是解题的关键．设经过t秒后，P、Q之间的距离为2个单位，利用点P，Q的运动方向和速度，可得到点P，Q表示的数，再根据P、Q之间的距离为2个单位，可得到关于t的方程，然后解方程求出t的值．
【详解】解：设经过t秒后，P、Q之间的距离为2个单位，
∵P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴点P表示出的数为，点Q表示的数为，
∵P，Q之间的距离为2个单位，
∴，即，
∴或，
解得：或．
故答案为：1或2．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
小明同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算；
（2）如果计算结果等于4，求被污染的数字．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的运算法则，根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
（1）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号内的，即可得出结果．
（2）设被污染的数字为，根据计算结果等于4，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
设被污染的数字为，由题意，得：，
∴，
∴，
解得：；
∴被污染的数字为．
18. 已知，求的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
19. 解方程
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟记解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成．
（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化成，进行解答；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成，进行解答．
【小问1详解】
解：，
去括号得：，
移项得：，
∴，
解得：；
【小问2详解】
，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：．
20. 如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握相关定理是证明的关键．先根据角平分线的性质得出，，再由可得，从而可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
∵平分平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
21. 如图，已知线段．
（1）尺规作图（不写画法，但要保留画图痕迹）：
①延长线段到C，使B点为线段的中点；
②延长线段到D，使是的三分之一．
（2）求线段与线段长度之间的大小关系．
（3）如果，求线段和的长．
【答案】（1）①画图见解析；②画图见解析
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查的是画一条线段等于已知线段，线段的和差运算，中点的含义，熟练的画图是解本题的关键．
（1）①在线段的延长线上截取即可；②在线段的延长线上截取，则；
（2）由作图可得：，从而可得答案；
（3）由作图可得：，结合，从而可得答案；
【小问1详解】
解：①如图，即为所求，满足为线段的中点；
②如图，即为所求；
．
【小问2详解】
由作图可得：，
∴；
【小问3详解】
∵，由作图可得：，
∴，
∴，．
22. 某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等
（1）求足球的单价．
（2）该训练营需要购买30套队服和个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：
①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．
②请比较到哪个商家购买比较合算？
【答案】（1）足球的单价为90元；
（2）①到甲商家购买装备所需费用：元， 到乙商家购买装备所需费用：元；② 当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多， 当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算， 当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式的应用，以及最优购物问题，找出题目中的等量关系是解题的关键．
（1）设足球的单价为x元，则队服的单价为元，根据题意“三套队服与五个足球的费用相等”，可得到等量关系，列方程求解即可；
（2）①购买装备所需费用=买队服的费用+买足球的费用，用含有y的代数式表示即可； ②由①中的结论，先求出当甲商家的消费=乙商家的消费时，再分情况比较哪个商家购买较合算．
【小问1详解】
解：设足球的单价为x元，则队服的单价为元，
根据题意得， ， 解得，
答：足球的单价为90元；
【小问2详解】
①由（1）得足球的单价为90元，则队服的单价为元，
到甲商家购买装备所需费用：，
到乙商家购买装备所需费用：；
②当甲商家消费=乙商家的消费时，即，
解得，
∴当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，
当甲商家的消费＞乙商家的消费时，即，
解得，
∴当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，
当甲商家的消费＜乙商家的消费时，即，
解得，
又∵，
∴当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．
23. 综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在上取一点O，以为折痕翻折纸片，点B落在点，以为折痕翻折纸片，点A落在点，分别连接．
图1 图2 图3
（1）根据题意，____________，____________．
（2）记．
①如图1，若点恰好落在上，求的度数．
②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点在的外侧，求的度数（用含有的代数式表示）．
③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点在的内部，求的度数（用含有的代数式表示）．
【答案】（1），；
（2）①；②，③．
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，平角的定义，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）由轴对称的性质可得答案；
（2）①由，，结合，可得，从而可得答案；②由，，可得；③由，，结合，可得答案．
【小问1详解】
解：由折叠可得：
，；
【小问2详解】
①如图，由折叠可得：，，
又，
，
，
②如图，
∵，
∴，，
∴；
③如图，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24. 杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：
（1）①10月份用气量为30立方米，需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？
（2）12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．
（3）1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为元/，那么小刘家预估用气是多少立方米？
【答案】（1）①75元；②103元；
（2）他家12月份用了45立方米的天然气；
（3）小刘家预估用气是220立方米．
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
（1）①用月用气量乘以价格即可； ②把30立方米气费加上超出30且不超过50部分的10立方米气费相加即可；
（2）设他家12月份用了x立方米的天然气，根据交了117元的气费得：，即可解得答案；
（3）设小刘家预估用气是y立方米，根据使用天然气的平均价格为元/得：，可解得答案．
【小问1详解】
解：①∵（元），
∴10月份用气量为30立方米．需要交气费75元；
②∵（元），
∴11月份用气量为40立方米，需要交气费103元；
【小问2详解】
∵（元），
∴12月份交了117元的气费，用气量小于50立方米，
设他家12月份用了x立方米的天然气，
根据题意得：，
解得，
∴他家12月份用了45立方米的天然气；
【小问3详解】
设小刘家预估用气是y立方米，而天然气的平均价格为元/，
∴，
根据题意得：，
解得，
∴小刘家预估用气是220立方米．商家
优惠方案
甲
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乙
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月用气量（单位：立方米）
价格（单位：元/立方米）
30以下（含30）
超出30且不超过50部分
超出50部分