浙江省杭州市滨江区杭州二中白马湖学校2023—2024学年八年级上学期期末考试数学试题

这是一份浙江省杭州市滨江区杭州二中白马湖学校2023—2024学年八年级上学期期末考试数学试题，共26页。试卷主要包含了下列各点中，在直线上的是，若已知，则下列不等式中成立的是，下列命题的逆命题是真命题的是，上的三个点，则，，的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各点中，在直线上的是
A．B．C．D．
2．（3分）若已知，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为
A．B．C．D．
4．（3分）直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为 ．
A．30B．60C．45D．15
5．（3分）如图，已知等腰的底边在轴上，且，，点的坐标是
A．B．C．D．
6．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是
A．若，则B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角D．全等三角形的面积相等
7．（3分）已知，，是直线为常数）上的三个点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
8．（3分）不等式组有3个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在中，，，等边的顶点在上，边交于点，若，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：
①、之间的距离为；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③；
④．
以上结论正确的有
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．（4分）直线不经过第 象限．
13．（4分）在中，，外角，则 ．
14．（4分）如图，直线与相交于点，点的横坐标为，直线交轴于点，直线的函数表达式为，则直线的函数表达式为 ．
15．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是 ．
16．（4分）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
三、全面答一答（本大题有8个小题，第17～19每小题6分，第20，21每小题6分，第22，23每小题6分，第24题12分，共66分）
17．（6分）解下列不等式（组
（1）
（2）．
18．（6分）
尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
19．（6分）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水900立方米，换水时打开排水孔，以每小时300立方米的速度将水放出．设放水时间为小时，游泳池内存水量为立方米．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）放水多少小时后，游泳池内存水量小于300立方米？
20．（8分）如图，在矩形中，是的中点，把矩形沿折叠，使点落在矩形外的一点上，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
21．（8分）已知，，．
（1）若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
（2）若点在第四象限内，且的面积为8，，求点的坐标．
22．（10分）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与轴围成的三角形面积为3，求的值．
23．（10分）在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲车从地沿这条公路匀速驶向地，乙车从地沿这条公路匀速驶向地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离（单位：，（单位：与甲车行驶时间（单位：之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式；
（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？
24．（12分）在四边形中，，，，为中点，连接，交于点．
（1）当时， ， ；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则 ．
2023-2024学年浙江省杭州二中白马湖学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各点中，在直线上的是
A．B．C．D．
【分析】分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可．
【解答】解：、当时，，故不合题意；
、当时，，故不合题意；
、当时，，故符合题意；
、当时，，故不合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．（3分）若已知，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变对进行判断；根据不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变对、进行判断；根据不等式的两条性质对进行判断．
【解答】解：、若，则，所以选项错误；
、若，当，，所以选项错误；
、若，则，所以，所以选项正确；
、若，当，则，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】根据点在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于的不等式组，解之即可得的取值范围．
【解答】解：点在第二象限，
可得到，
解得的取值范围为．
故选：．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
4．（3分）直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为 ．
A．30B．60C．45D．15
【分析】据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：直角三角形的斜边上的中线为，
斜边为，
直角三角形斜边上的高为，
此直角三角形的面积为，
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
5．（3分）如图，已知等腰的底边在轴上，且，，点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】过作于，若求顶点的坐标则求出和的长即可．
【解答】解：过作于，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
6．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是
A．若，则B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角D．全等三角形的面积相等
【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
【解答】解：、其逆命题是“若，则，错误，故是假命题；
、其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”错误，故是假命题；
、其逆命题是“对顶角相等”正确，是真命题；
、其逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，错误，故是假命题．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
7．（3分）已知，，是直线为常数）上的三个点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：一次函数为常数）中，，
随的增大而减小．
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．（3分）不等式组有3个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组只有3个整数解，得到整数解，进而得到关于的不等式，求得的范围．
【解答】解：，
解不等式得：，
不等式组有3个整数解，一定是3，4，5．
则
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
9．（3分）如图，在中，，，等边的顶点在上，边交于点，若，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等腰三角形的性质，由，得到，再根据等边三角形的性质得，，则可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，所以．
【解答】解：，，
，
△为等边三角形，
，，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．（3分）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：
①、之间的距离为；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③；
④．
以上结论正确的有
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【分析】①由时，可得出、之间的距离为，结论①正确；②根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；③根据路程二者速度和运动时间，即可求出，结论③错误；④根据甲走完全程所需时间两地间的距离甲的速度，即可求出，结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①当时，，
、之间的距离为，结论①正确；
②乙的速度为，
甲的速度为，
，
乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③，结论③错误；
④，结论④正确．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点关于轴对称的点的坐标是 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是．
【解答】解：根据轴对称的性质，得点关于轴对称的点的坐标是．
【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．
记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
12．（4分）直线不经过第 三 象限．
【分析】由，，即可判断出图象经过的象限．
【解答】解：直线中，
，，
直线的图象经过第一，二，四象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，同时考查了函数的增减性，即一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
13．（4分）在中，，外角，则 ．
【分析】先根据邻补角定义得到的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角．
【解答】解：如图，
，
．
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质．属于基础题，比较简单．
14．（4分）如图，直线与相交于点，点的横坐标为，直线交轴于点，直线的函数表达式为，则直线的函数表达式为 ．
【分析】根据的解析式求出点的坐标，再设出的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式．
【解答】解：设点坐标为，代入，得，
点．
设直线的函数表达式为，
把、分别代入，
得，
．
直线的函数表达式为．
故答案为：．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
15．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是 或 ．
【分析】根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．
【解答】解：（1）当顶角是锐角时，如图．
是的高线，
．
，，
．
即当顶角是锐角时，顶角的度数是．
（2）当顶角是钝角时，如图．
为的高线，
．
，，
．
即当顶角是钝角时，顶角的度数是．
综上可知，等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，关键是等腰三角形的性质定理．
16．（4分）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，求得，由折叠的性质得到，，设，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
设，
，
，，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），含直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
三、全面答一答（本大题有8个小题，第17～19每小题6分，第20，21每小题6分，第22，23每小题6分，第24题12分，共66分）
17．（6分）解下列不等式（组
（1）
（2）．
【分析】（1）移项、合并同类项即可求解；
（2）先解不等式，求出解集，确定两个不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）移项，得，
合并同类项，得；
（2），
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集是：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间．
18．（6分）
尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
【分析】作射线，在射线上截取，使得，在的上方作，，射线，交于点，即为所求．
【解答】解：如图，即为所求．
【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
19．（6分）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水900立方米，换水时打开排水孔，以每小时300立方米的速度将水放出．设放水时间为小时，游泳池内存水量为立方米．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）放水多少小时后，游泳池内存水量小于300立方米？
【分析】（1）用存水900减去放出的水即可得到函数表达式；
（2）根据列不等式解答．
【解答】解：（1）设放水时间为小时，
以每小时300立方米的速度将水放出，共放出立方米，
存水900立方米，
游泳池内存水量为；
（2）当时，，
解得．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
20．（8分）如图，在矩形中，是的中点，把矩形沿折叠，使点落在矩形外的一点上，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质可得与是直角三角形，，再根据即可证明．
（2）根据全等三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可求的长．
【解答】（1）证明：是边的中点，
，
又四边形是矩形，
．
在与中，
，
；
（2）解：，
，
设，，
在中，
，
，
解得，
即．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度．
21．（8分）已知，，．
（1）若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
（2）若点在第四象限内，且的面积为8，，求点的坐标．
【分析】（1）因为点在第二象限内，所以，，因为，，所以，，即点的坐标为，再根据点，的坐标，即可得出的面积；
（2）因为的面积为8，点在第四象限内，所以，得，由，得，即可得出点的坐标．
【解答】解：（1）点在第二象限内，
，，
，，
，，
点的坐标为，
，，
的面积；
（2）的面积为8，点在第四象限内，
，
，
，
，
点的坐标为．
【点评】本题考查直角坐标系内点的坐标的确定，解题的关键是正确处理线段长度与坐标之间的关系．
22．（10分）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与轴围成的三角形面积为3，求的值．
【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为，把、代入即可求得；
（2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得或．
【解答】解：（1），
的“逆反函数”为，
点在的“逆反函数”图象上，
，
，
故答案为：；
（2），
的“逆反函数”为，
图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
，
解得，
；
（3），
它的“逆反函数”为，
两函数与轴的交点分别为，，
由解得，
两函数的交点为，
和它的“逆反函数”与轴围成的三角形面积为3，
，
或．
【点评】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键．
23．（10分）在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲车从地沿这条公路匀速驶向地，乙车从地沿这条公路匀速驶向地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离（单位：，（单位：与甲车行驶时间（单位：之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式；
（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？
【分析】（1）根据速度等于路程除以时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）根据图象信息，分类用待定系数法即可求解；
（3）设乙车出发小时，两车相遇，根据时间路程速度和，列方程即可求解．
【解答】（1）甲车行驶速度是，乙车行驶速度是，
甲车行驶速度是，乙车行驶速度是；
（2）当时，；
当时，设，
图象过点，，，
，
，
；
当时，
，
图象过点，
设，
图象过点，，，
，
，
．
；
（3）设乙车出发小时，两车相遇，由题意得：
，
解得：．
乙车出发小时，两车相遇．
【点评】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合并熟练掌握行程问题的基本数量关系是解题的关键．
24．（12分）在四边形中，，，，为中点，连接，交于点．
（1）当时， ， ；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出的度数，根据，可以求出的度数；
（2）连接，求出是等边三角形，分别表示出，，即可求解；
（3）如图，作，交于点，求出是等边三角形，再证明，从而得出，，之间的数量关系；
（4）根据，设，，结合（3）得出，再根据，由30度直角三角形性质得出，由此即可解题．
【解答】解：（1），，
，
如图，连接
，，
是等边三角形
，，
又为中点，
，
，
．
．
，
．
故答案为：，；
（2）结论：不变，
证明：如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
又为中点，
，
，
．
；
（3）如图，作，交于点．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，，
．
（4），
设，，
由（3）得：，
，
，为中点，
，
由（2）知，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的知识，解题的关键是根据题目的条件，证明出等边三角形，之后运用相关性质定理进行推论．
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