浙江省杭州市上城区2023—-2024学年上学期八年级期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区2023—-2024学年上学期八年级期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图书馆标志是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是
A．4B．6C．8.5D．10
4．（3分）能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例是
A．B．C．0D．2
5．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A．B．C．D．
7．（3分）下列四个不等式中，一定可以推出的是
A．B．C．D．
8．（3分）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用长度为的篱笆围成，设长方形的长为 ，宽为 ，则下列函数图象能反映与关系的是
A．B．
C．D．
9．（3分）一次函数图象过点，点，，，在一次函数图象上，且，则下列判断正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（3分）如图，在中，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点；
②以为圆心，长为半径画弧交于点．
方方探究得到以下两个结论：
①是等腰△；
②若，，则点到的距离为，
则
A．结论①正确，结论②正确B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确D．结论①错误，结论②错误
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）与3的和的一半是负数，用不等式表示为
12．（3分）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
13．（3分）已知轴负半轴上的点到原点的距离为2，则 ， ．
14．（3分）一次函数、为常数且，与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ．
15．（3分）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 三角形；
（2）若，，，则边上的“中高距”为 ．
16．（3分）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）已知：如图，与相交于点，，，求证：．
19．（8分）如图，的顶点落在格点上，将向右平移4个单位长度得到．
（1）画出；
（2）若以为原点建立平面直角坐标系．
①点关于轴的对称点的坐标为 ；
②若点在轴上，且，求点的坐标．
20．（8分）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
（1）求一个大玻璃球的体积；
（2）放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
21．（10分）如图，已知等腰，，是的外角．
（1）尺规作图：作的平分线，与的延长线交于点；
（2）在（1）条件下，设为，为．
①求关于的函数表达式；
②若为等腰三角形，求的值．
22．（10分）一次函数恒过定点．
（1）若一次函数还经过点，求的表达式；
（2）若有另一个一次函数．
①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：；
②设函数，当时，函数有最大值6，求的值．
23．（12分）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，
（1）若，求度数；
（2）若．
①求证：；
②设，求的长（用含的代数式表示）．
24．（12分）综合与实践
2023-2024学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图书馆标志是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限，
故选：．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是
A．4B．6C．8.5D．10
【答案】
【分析】设三角形第三边的长是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案．
【解答】解：设三角形第三边的长是，
，
，
第三边的长不可能是10．
故选：．
4．（3分）能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例是
A．B．C．0D．2
【答案】
【分析】根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可．
【解答】解：、当时，，不能说明是假命题，不符合题意；
、当时，，不能说明是假命题，不符合题意；
、当时，，能说明是假命题，符合题意；
、当时，，不能说明是假命题，不符合题意；
故选：．
5．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，，结合，可求出的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【解答】解：，，
．
又是的外角，
．
故选：．
6．（3分）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：，
，
、，又，，由判定，故不符合题意；
、，和，分别是和的对角，不一定能判定，故符合题意；
、由，得到，而又，得到，由判定，故不符合题意；
、，又，，由判定，故不符合题意．
故选：．
7．（3分）下列四个不等式中，一定可以推出的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：．，当时，，故本选项不符合题意；
．由可得，故本选项符合题意；
．不能推出，故本选项不符合题意；
．当时，，故本选项不符合题意．
故选：．
8．（3分）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用长度为的篱笆围成，设长方形的长为 ，宽为 ，则下列函数图象能反映与关系的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据菜园的三边的和为，进而得出一个与的关系式即可．
【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为，
即，
所以，
所以函数图象能反映与关系的是．
故选：．
9．（3分）一次函数图象过点，点，，，在一次函数图象上，且，则下列判断正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】
【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
【解答】解：，
随的增大而减小，
点，，，，在一次函数的图象上，且，
，
若，则．
故选：．
10．（3分）如图，在中，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点；
②以为圆心，长为半径画弧交于点．
方方探究得到以下两个结论：
①是等腰△；
②若，，则点到的距离为，
则
A．结论①正确，结论②正确B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确D．结论①错误，结论②错误
【答案】
【分析】①错误，理由反证法判断即可；
②正确．求出，再利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：①错误．当时，，重合，明显不是等腰三角形；
②正确．
理由：过点作于点，过点作于点．
，，，
，
，
，
由作图可知，
，
，
，
，
，故②正确．
故选：．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）与3的和的一半是负数，用不等式表示为
【分析】理解：和的一半，应先和，再一半；负数，即小于0．
【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
12．（3分）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
【答案】．
【分析】根据轴对称性质，对应的角相等，．
【解答】解：与关于所在直线为对称，
，，
又，
，
．
故答案为：．
13．（3分）已知轴负半轴上的点到原点的距离为2，则 1 ， ．
【答案】1，．
【分析】根据在轴负半轴上的点的坐标特征：横坐标是0，纵坐标的绝对值是到原点的距离，进行解答即可．
【解答】解：点在轴上，
，
又点在轴的负半轴上，到原点的距离为2，
，
解得，
，
故答案为：1，．
14．（3分）一次函数、为常数且，与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ．
【答案】．
【分析】把代入求出，根据点的横坐标，即可求出答案．
【解答】解：把代入得：，
解得，
，
关于的方程的解为
故答案为：．
15．（3分）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 等腰 三角形；
（2）若，，，则边上的“中高距”为 ．
【答案】（1）等腰；
（2）．
【分析】（1）利用垂直平分线的性质即可解答；
（2）根据含角的直角三角形的性质求出，，根据等腰直角三角形的性质得，可得，由即可求解．
【解答】解：（1）边上的“中高距”为0，
边上的中线、高线重合，
垂直平分，
，
的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰；
（2）为边上的中线，，，，
，，，
，
，
．
故答案为：．
16．（3分）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
【答案】．
【分析】利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则，，代入运算得到，设，则，设，则，，利用求得，利用三角形的面积公式和矩形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：为等腰△，且，
，，
四边形为矩形，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
，
，
设，则，
设，则，，
，
．
，
．
．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②是：，
其解集在数轴上表示为：
故原不等式组的解集为：．
18．（6分）已知：如图，与相交于点，，，求证：．
【答案】见解析．
【分析】证明，即可得到结论．
【解答】证明：，，
，
在和中，
，
．
19．（8分）如图，的顶点落在格点上，将向右平移4个单位长度得到．
（1）画出；
（2）若以为原点建立平面直角坐标系．
①点关于轴的对称点的坐标为 ；
②若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）①；
②或．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）①利用轴对称变换的性质求解；②根据，判断即可．
【解答】解：（1）如图，即为所求；
（2）①点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
②若点在轴上，，点的坐标或．
20．（8分）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
（1）求一个大玻璃球的体积；
（2）放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
【答案】（1）一个大玻璃球的体积为；
（2）一个小玻璃球体积的大于且不大于．
【分析】（1）利用容器的底面积倒入水的体积水面的高度，可求出容器的底面积，再利用一个大玻璃球的体积容器的底面积放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可求出一个大玻璃球的体积；
（2）设一个小玻璃球的体积是 ，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：容器的底面积为，
一个大玻璃球的体积为．
答：一个大玻璃球的体积为；
（2）设一个小玻璃球的体积是 ，
根据题意得：，
解得：．
答：一个小玻璃球体积的大于且不大于．
21．（10分）如图，已知等腰，，是的外角．
（1）尺规作图：作的平分线，与的延长线交于点；
（2）在（1）条件下，设为，为．
①求关于的函数表达式；
②若为等腰三角形，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）①；
②或．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）①利用角平分线的定义求解即可；
②由，推出两种情形：或．分别构建方程求解．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）①，
，
，
平分，
，
，
；
②，
两种情形：或．
，
，
．
或
，
，
综上所述，的值为或．
22．（10分）一次函数恒过定点．
（1）若一次函数还经过点，求的表达式；
（2）若有另一个一次函数．
①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：；
②设函数，当时，函数有最大值6，求的值．
【答案】（1）；
（2）①答案见解答过程；②或1．
【分析】（1）将点和点代入之中，求出，，由此可得的表达式；
（2）①根据一次函数恒过定点，得，由此得，，在根据点和点分别在一次函数和的图象上，得，，进而可得，据此即可得出结论；
②先由①得，，在根据，得，根据，分两种情况讨论如下：（ⅰ）当时，对于，随的增大而减小，因此当时，为最大，则，由此可求出的值；（ⅱ）当时，对于，随的增大而增大，因此当时，为最大，则，由此可求出的值，综上所述可得出答案．
【解答】（1）解：一次函数经过点和点，
，，解得：，，
的表达式为：；
（2）①证明：一次函数恒过定点，
，
，
的表达式为：，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
点在一次函数的图象上，
，
，
即，
，
；
②解：由①得，，
，
，
，
有以下两种情况：
（ⅰ）当时，
对于，随的增大而减小，
又，
当时，为最大，
，
解得：
（ⅱ）当时，
对于，随的增大而增大，
又，
当时，为最大，
，
解得：，
综上所述：当时，函数有最大值6，的值为或1．
23．（12分）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，
（1）若，求度数；
（2）若．
①求证：；
②设，求的长（用含的代数式表示）．
【答案】（1）度数为；
（2）①证明过程见解答；
②的长为．
【分析】（1）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）①过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后利用证明，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，即可解答；
②利用①的结论可得，再利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，从而可得，，进而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，从而可得点是的中点，进而可得是的中位线，再利用三角形的中位线定理可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
，
度数为；
（2）①证明：过点作，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
②解：，，
，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
的长为．
24．（12分）综合与实践
【答案】任务1：描点并作图见解答；是，，25；
任务；
任务．
【分析】任务1：直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值；当时求出的值即可．
任务2：根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可；
任务3：当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可．
【解答】解：任务1：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
任务背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/21 0:15:39；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2
对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据：
双层部分长度
2
6
10
14
单层部分长度
116
108
100
92
70
素材3
单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4
小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
任务2
设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
任务3
当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2
对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据：
双层部分长度
2
6
10
14
单层部分长度
116
108
100
92
70
素材3
单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4
小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
任务2
设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
任务3
当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．