2024河北省部分学校高三上学期期末质量监测联考试题数学含解析

这是一份2024河北省部分学校高三上学期期末质量监测联考试题数学含解析，共31页。

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 若，，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
4. 等比数列的前项和为，若，数列不是等比数列，则为（ ）
A. B. C. D.
5. 中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种
A. 144B. 264C. 288D. 432
6. 过点的直线l与抛物线交于A、B两点（A在第一象限），过点B作直线的垂线，垂足为M，若，则直线l的斜率为（ ）
A. B. 1C. D.
7. 函数部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，则曲线与围成的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若随机变量，，X、Y分布密度曲线如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 过点与函数相切的直线为（ ）
A B.
C. D.
11. 圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（ ）
A. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆
B. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线
C. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支
12. 正四面体的顶点在平面内，顶点B、C、D到的距离分别为3、3、2（B、C、D在同侧），则（ ）
A. 平面与夹角正弦值为
B. 平面与夹角正弦值为
C. 正四面体的内切球表面积为
D. 正四面体的外接球体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知多项式，则______，______．
14. 已知，则的值为______．
15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为______．
16. 牛顿法求函数零点操作过程是：先在x轴找初始点，然后作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得前n个三角形，，……，的面积和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C对边，是与的等差中项．
（1）求A的值；
（2）若∠A的平分线交BC于点D，且，，求△ABC的面积．
18. 已知数列满足，且．
（1）求；
（2）是数列的前n项和，求证：．
19. 如图所示，直角梯形PABC中，，，D为PC上一点，且，将PAD沿AD折起到SAD位置．
（1）若，M为SD的中点，求证：平面AMB⊥平面SAD；
（2）若，求平面SAD与平面SBC夹角的余弦值．
20. 已知函数在处的切线斜率为．
（1）求；
（2）证明：．
21. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9
（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；
（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
22. 为椭圆上一动点．
（1）结论一：动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为定值；
结论二：动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为定值；
从以上两结论中任选一个进行证明；
（2）过点且斜率为正值的直线交C于点A，过且与垂直的直线与曲线C交于点B，当四边形在x轴上方时，求其面积的最大值．河北省2024届高三年级质量监测考试
数学
命题：琢名小渔 审题：琢名小渔
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合中元素范围，再求交集即可.
【详解】集合或，所以．
故选：D．
2. 为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及复数几何的意义从而求解.
【详解】由已知，所以，
z对应点坐标为，在第三象限，故C正确.
故选：C．
3. 若，，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】（法一）设与夹角为．因为，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为，如图设，，由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案.
【详解】（法一）设与夹角为．因为，
得
，
当时，最大值9，的最大值3，故选：A．
（法二）因为，如图设，，
由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，
当点B与O、A在一条直线，位于图中位置时，的最大值3.
故选：A.
4. 等比数列的前项和为，若，数列不是等比数列，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
若，则，此时，数列不是等比数列，合乎题意；
若，对任意的，则，则，
此时，数列是等比数列，不合乎题意.
综上所述，，所以，.
故选：B.
5. 中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种
A. 144B. 264C. 288D. 432
【答案】B
【解析】
【分析】先求出正面区域可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案.
【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有种不同方法，
对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3，
则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种．
反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种．
同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种，
则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种，
所以双面绣不同色彩设计方法共有种．
故选：B．
6. 过点的直线l与抛物线交于A、B两点（A在第一象限），过点B作直线的垂线，垂足为M，若，则直线l的斜率为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】法一：由题意可证得A、O、M在一条直线上，可得，根据抛物线的定义作出几何图形，可求得直线l的斜率.
法二：由法一得到，即可得，联立直线和抛物线方程，韦达定理，即可求得直线l的斜率.
法二：由法一得到，结合点差法，可求得点的坐标，由，根据两点的斜率公式即可求得.
【详解】设，，，，，，
因为、、三点共线，，所以，
因为，，则，，所以，
，因为，则，因为，
，，又，
则，又有一个公共点，所以点、、在一条直线上，
由，得．
（法一）过点A作AN垂直与于点N，作于点D，
因为得，，所以，，
则在Rt△ABD中，，，，则直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率.
（法二）设直线与联立得．
设，，则，，
由得，
由，解得或
因为A在第一象限，所以（舍去），所以.
（法三）设，，
①
②
①－②得③
由得，，
，．
代入③得，解得，，则，，，所以直线AB的斜率为.
故选：D．
7. 函数的部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象求出，由的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数图象得到不等式组，解得即可.
【详解】由图可知函数过点，所以，即，又，
所以或，依题意可得，
若则靠近轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去；
所以，即，
因为，所以．
又，的图象如下所示：
要使函数在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，
则，解得，即的取值范围是.
故选：C．
8. 已知函数，则曲线与围成的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题设得到分段函数形式，讨论自变量范围求的解析式，数形结合求图象围成的面积即可.
【详解】由，又，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
函数图象如下图所示，故曲线，与围成的面积为．
故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若随机变量，，X、Y的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的图象，结合正态曲线的性质，逐项分析判断即得.
【详解】观察图象知，的均值比的均值小，的标准差比的标准差大，即，，即A正确，B错误；
，，
而，则，C错误；
由，，得，
因此，D正确.
故选：AD
10. 过点与函数相切的直线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求.
【详解】因为，所以；
若A点是切点，则，
则切线方程为，即，故C正确；
若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为，
又因为直线AB的斜率为，
则，，
化简可得，所以或（舍去，此时重合），
所以点B为，故切线斜率为，
则切线方程为，即，故D正确．
故选：CD．
11. 圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（ ）
A. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆
B. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线
C. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支
【答案】AB
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线定义求解.
【详解】当点在圆内且不与点重合时，由图可知：，
又，由椭圆定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，
即点的轨迹是椭圆；
当点在圆外时，由图可知：，
又，
由双曲线的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，即点的轨迹是双曲线，
故选：AB
12. 正四面体的顶点在平面内，顶点B、C、D到的距离分别为3、3、2（B、C、D在同侧），则（ ）
A. 平面与夹角正弦值为
B. 平面与夹角正弦值为
C. 正四面体的内切球表面积为
D. 正四面体的外接球体积为
【答案】BC
【解析】
【分析】A,求出四棱锥的边长，即可得出结论；B项，求出即可得出平面与夹角正弦值；C项，求出内切球半径即可得出表面积；D项，求出外接球半径即可得出体积.
【详解】由题意，点B、点C到的距离均为3，
∴
设BC中点为M，M、D在内投影为，，
则，，
正四面体中设，则，，
得
解得，
∴,
∴点到的距离均为3，
∴面ABC⊥面，故A错误，
由几何知识，,
平面与夹角为，
， B正确．
C项，取中点，连接，取点在的投影为，连接，在上取一点使得，则内切球半径，
由几何知识，，
,
在中，由勾股定理得,,
在中，由勾股定理得, ,解得：，
∴正四面体的内切球表面积为，故C正确.
D项，
在上取一点使得，则外接球半径，
在中，由勾股定理得,解得：,
∴正四面体的外接球体积为,
故D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查内切球与外接球，勾股定理，二面角，考查学生分析和处理问题的能力，作图能力，具有很强的综合性.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知多项式，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用二项式定理及赋值法求解即可
【详解】由题意
则含的项为：，故；
令，即，
令，即，∴，
故答案为：；．
14. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦切互化求解.
【详解】（法一）
．
（法二）因为，所以，
则
．
故答案为：．
15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据几何关系球内切球的半径和截面圆的半径，再代入圆台体积公式，即可求解.
【详解】如图，圆锥与内切球轴截面，，，所以，
所以，，
过球心且与圆锥底面平行的截面的截面圆的半径为，
所得圆台的体积
故答案为：
16. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在x轴找初始点，然后作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得前n个三角形，，……，的面积和为______．
【答案】
【解析】
【分析】导数求切点处切线的方程，得，，，表示出，利用等比数列求和公式结合对数的运算求值.
【详解】设，则，因为，所以，
则处切线为，
切线与x轴相交得，
，因为得，
所以，
，
所以
．
故答案为：（其它形式只要正确均得分）．
【点睛】关键点点睛：
本题关键步骤是利用处的切线方程求出坐标，得到和的值，从而得到每个三角形的底和高，可求出面积.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，是与的等差中项．
（1）求A的值；
（2）若∠A的平分线交BC于点D，且，，求△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，再结合三角恒等变形，进行化简，即可求得角；
（2）根据角平分线定理可得，，再根据三角形面积公式，即可求解.
【小问1详解】
△ABC中，，
所以，，
又因为是与的等差中项，
得，
，
，
，
．
【小问2详解】
由题意得，，即，所以，
因为，
所以，所以．
因为，所以，，
所以．
18. 已知数列满足，且．
（1）求；
（2）是数列的前n项和，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由递推公式利用累加法从而可求解.
（2）由（1）知可得，利用裂项求和从而可求解.
【小问1详解】
，
，，，．
由上述个等式相加得，
．
【小问2详解】
证明：
，，所以，
，
当时，，
，，，，．
．
综上，，得证．
19. 如图所示，直角梯形PABC中，，，D为PC上一点，且，将PAD沿AD折起到SAD位置．
（1）若，M为SD的中点，求证：平面AMB⊥平面SAD；
（2）若，求平面SAD与平面SBC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以O为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
梯形中，，，易知，
所以，而，所以为等边三角形，
∴，又∵，，
∴，面，，
∴面，∵面，
∴平面平面；
【小问2详解】
由（1）知△为等边三角形，
∴为等边三角形，取AD的中点O，
得，，，∵，∴，
因为面，，∴面．
以O为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系，
得，，，
，，
设平面的法向量为，
∴得，
令，则，则．
取平面的法向量为，
．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
20. 已知函数在处的切线斜率为．
（1）求；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率即可得解；
（2）可转化为求证，换元后求证，
构造函数后求函数的最小值不小于0即可得证.
【小问1详解】
，得，
所以．
函数在处的切线斜率为．
，得．
【小问2详解】
由（1）得．证明，即证，
即，设，即证．
下面证明成立：
构造函数，求导得，
则时，，单调递减；
时，，单调递增．
故函数，即恒成立，
得，所以，得证．
21. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9
（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；
（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
【答案】（1）应该派甲去，理由见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由平均数和方差的公式求出，，再比较它们的大小即可得出答案；
（2）设比赛局数为随机变量X，求出X的可能取值，及其对应的概率，由均值公式表示出，再结合错位相减法求出，即可得出答案.
【小问1详解】
分别计算甲乙运动员在平均成绩，和方差，
，
，
而，
，
因为，，
所以在平均数一样的条件下，乙的水平更为稳定，但考虑甲乙水平均不靠前，再加上中国乒乓球运动员的世界领先水平，我认为不应派成绩稳定的乙去参赛，应该派甲去，有可能超常发挥取得更好成绩．
【小问2详解】
设比赛局数为随机变量X，由题意知X的可能取值必须为偶数：2、4、6……20．
则，
当时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，且前两局二人各胜一局的概率为．
故．
发现，当时，双方前两局，前四局，……到前局甲乙胜负局数均相同，且第局，第X局均为甲胜或乙胜，于是设
．
显然时，也满足上式．
而时，说明双方前两局，前四局，……到前18局甲乙胜负局数均相同，
．
故X的分布列为
故X的数学期望．
设①
则②
①－②得
．
所以需要进行的比赛局数的数学期望为．
【点睛】关键点睛：本题的关键点是设比赛局数为随机变量X，求出X的可能取值，及其对应的概率，由均值公式表示出，再结合错位相减法求出，即可得出答案.
22. 为椭圆上一动点．
（1）结论一：动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为定值；
结论二：动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为定值；
从以上两结论中任选一个进行证明；
（2）过点且斜率为正值的直线交C于点A，过且与垂直的直线与曲线C交于点B，当四边形在x轴上方时，求其面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）为椭圆上一动点，根据条件列式整理即可；
（2）根据（1）的结论分别求出，然后表示出四边形的面积，利用三角变形求其最值.
【小问1详解】
选结论一证明，
为椭圆上一动点，，
所以，得，即．
动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为
．
选结论二证明，
为椭圆上一动点，
所以，得，即．
动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为
；
【小问2详解】
过点A作的垂线垂足为Q，过点作垂直于AQ，垂足为P，
由（1）知，
所以，
，
设，则，
，
得，
即，
因为，所以，
同理可得
则四边形面积
设，则，
且，因为为锐角，所以，，
所以．
函数在单调递减，
当时，取到最小值，
所以四边形ABEF面积最大值为．
【点睛】关键点点睛：一：充分利用第一问的结论来解决第二问的问题；二：充分利用和的关系，利用换元法求最值.
X
2
4
6
8
……
18
20
P