2023-2024学年江西省鹰潭市余江区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省鹰潭市余江区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一杆古秤在秤物时的状态如图所示，已知∠1=75°，则∠2=( )
A. 105°
B. 115°
C. 15°
D. 75°
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是( )
A. 9cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 18cm
3.下列各式中运算正确的是( )
A. 2+ 3=2 3B. 2 3− 3=3C. 14=12D. (−2)2=−2
4.如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是( )
A. 甲同学平均分高，成绩波动较小B. 甲同学平均分高，成绩波动较大
C. 乙同学平均分高，成绩波动较小D. 乙同学平均分高，成绩波动较大
5.在平面直角坐标系中，点A(1,5)，B(m−2,m+1)，若直线AB与y轴垂直，则m的值为( )
A. 0B. 3C. 4D. 7
6.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=bx−k的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.化简(− 3)2的结果是______．
8.某学校组织的全校师生迎“元旦”诗词大赛中，25名参赛同学的得分情况如图所示.这些同学成绩的众数是______．
9.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则△ABC的外角∠ACD的度数等于 °.
10.如图已知函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组y=x+1y=ax+3的解是______．
11.《孙于算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为______．
12.将一副三角板如图1所示摆放，直线GH/​/MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，则所有满足条件的t的值为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程组：5x−3y=163x−5y=0；
(2)计算： 27− 2× 8+ (−2)2．
14.(本小题6分)
已知正实数a的两个平方根分别是x和x+y．
(1)若x=2，求y的值；
(2)若x−y=3，求a的值．
15.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知点M(m−2,2m+3)．
(1)若点M在y轴上，求m的值；
(2)若点N(3,−1)，且直线MN/​/x轴，求线段MN的长．
16.(本小题6分)
在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F(N)和所悬挂物体的重力G(N)的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象(不计绳重和摩擦)，请你根据图象求：
(1)物体的拉力和重力的函数解析式；
(2)当物体的重力G=7N时，需要的拉力F的值．
17.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，已知线段AB.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，过点P作AB的平行线；
(2)在图2中，过点P作AB的垂直平分线．
18.(本小题8分)
塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm，当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是多少cm．
19.(本小题8分)
如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是______；
(2)若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为______；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，EF/​/DC，点H在BC边上，且∠1+∠2=180°．
(1)求证：∠A=∠BDH；
(2)若CD平分∠ACB，∠AFE=30°，求∠BHD的度数．
21.(本小题9分)
某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组(每组10人)学生成绩如下(单位：分)
甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9．
(1)以上成绩统计分析表中a=______，b=______，c=______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
22.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．

(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)点G是射线MD上一动点(不与点M、F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①如图2，若β=40°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得，AB/​/CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=75°，
∴∠3=75°，
∴∠2=180°−∠3=180°−75°=105°，
故选：A．
如图，根据两直线平行，内错角相等得出∠3=∠1=75°，再根据邻补角互补的性质即可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长即可．
【解答】
解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC2=AB2+BC2=122+92=152，
∴AC=15cm．
则这支铅笔的长度大于15cm．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：A.2+ 3无法合并，故此选项不合题意；
B.2 3− 3= 3，故此选项不合题意；
C. 14=12，故此选项符合题意；
D. (−2)2=2，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用二次根式的加减以及二次根式的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：乙同学的平均分是：15×(100+85+90+80+95)=90，
甲同学的平均分是：15×(85+90+80+85+80)=84，
因此乙的平均数较高；
S乙2=15×[(100−90)2+(85−90)2+(80−90)2+(95−90)2]=50，
S甲2=15×[(85−84)2+(90−84)2+(80−84)2+(80−84)2+(85−84)2]=14，
∵50>14，
∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；
故选：D．
分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
本题考查平均数、方差的计算方法，从统计图中获取数据，是正确计算的前提．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(1,5)，B(m−2,m+1)，若直线AB与y轴垂直，
∴m+1=5，
解得m=4，
故选：C．
点A(1,5)，B(m−2,m+1)，直线AB与y轴垂直，即点A，点B到x轴的距离相等，也就是其纵坐标相等，解m+1=5即可．
本题考查点的坐标，理解平面内点的坐标的定义，掌握平面内点的坐标确定点的位置的方法是正确解答的前提，理解“点A(1,5)，B(m−2,m+1)，直线AB与y轴垂直，就是它们纵坐标相等”是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数y=bx−k图象经过的象限，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k0，
∴b>0，−k>0，
∴一次函数y=bx−k图象第一、二、三象限，
故选：B．
7.【答案】3
【解析】解：(− 3)2=3．
故答案为：3．
利用二次根式的性质“( a)2=a”和积的乘方可得结果．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质“( a)2=a”是解决本题的关键．
8.【答案】98分
【解析】解：98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分．
故答案为：98分．
利用众数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
9.【答案】135
【解析】解：由勾股定理可知，AB=BC= 12+22= 5，AC= 12+32= 10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°−45°=135°，
故答案为：135．
根据勾股定理得出AB，BC，AC，进而利用勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AB，BC，AC解答．
10.【答案】x=1y=2
【解析】解：把x=1代入y=x+1，得出y=2，
函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P(1,2)，
即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组y=x+1y=ax+3的解是x=1y=2．
故答案为x=1y=2．
先把x=1代入y=x+1，得出y=2，则两个一次函数的交点P的坐标为(1,2)；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11.【答案】x3=y−2x−92=y
【解析】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
x3=y−2x−92=y，
故答案为：x3=y−2x−92=y．
根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12.【答案】30或120
【解析】解：由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，
(1)如图1，当DE/​/BC时，延长AC交MN于点P，
①当DE在MN上方时，
因为DE/​/BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
所以AP//DF，
所以∠FDM=∠MPA，
因为MN/​/GH，
所以∠MPA=∠HAC，
所以∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，
所以t=30，
②当DE在MN下方时，∠FDP=2t°−180°，
因为DE/​/BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
所以AP//DF，
所以∠FDP=∠MPA，
因为MN/​/GH，
所以∠MPA=∠HAC，
所以∠FDP=∠HAC，即2t°−180°=t°+30°，
所以t=210(不符合题意，舍去)，
(2)如图2，当BC/​/DF时，延长AC交MN于点I，
①当DF在MN上方时，∠FDN=180°−2t°，
因为DF/​/BC，AC⊥BC，
所以AI⊥DF，
所以∠FDN+∠MIA=90°，
因为MN/​/GH，
所以∠MIA=∠HAC，
所以∠FDN+∠HAC=90°，即180°−2t°+t°+30°=90°，
所以t=120，
②当DF在MN下方时，∠EDM=90°−(360°−2t°)=2t°−270°，
因为DF/​/BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
所以AC/​/DE，
所以∠AIM=∠MDE，
因为MN/​/GH，
所以∠MIA=∠HAC，
所以∠MDE=∠HAC，即2t°−270°=t°+30°，
所以t=300(不符合题意，舍去)，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
根据题意得∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，(1)如图1，当DE/​/BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①当DE在MN上方时，②当DE在MN下方时，分别找到角度关系列式求解即可；(2)当BC/​/DF时，延长AC交MN于点I，分两种情况讨论：①当DF在MN上方时，②当DF在MN下方时，分别找到角度关系列式列式求解即可．
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13.【答案】解：(1)5x−3y=16①3x−5y=0②，
①×5−②×3，得：16x=80，
解得x=5，
将x=5代入①，得：y=3，
∴原方程组的解是x=5y=3；
(2) 27− 2× 8+ (−2)2．
=3 3− 16+2
=3 3−4+2
=3 3−2．
【解析】(1)根据加减消元法可以解答此方程组；
(2)先化简，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和消元法解方程组是解答本题的关键．
14.【答案】解：(1 )由题意得，x+x+y=0，
∴2x+y=0．
∴当x=2时，2×2+y=0．
∴y=−4．
(2)由(1)2x+y=0，
又x−y=3，
∴x=1，y=−2．
∴a的两个平方根为1和−1．
∴a=1．
【解析】(1)依据题意，根据平方根的意义，可得x+x+y=0，再结合x=2，从而可求出y的值；
(2)依据题意，由(1)2x+y=0，从而可得x，y的值，故可以得解．
本题主要考查了解二元一次方程及平方根，解题时需要熟练掌握并理解．
15.【答案】解：(1)由题意得：m−2=0，
解得：m=2；
(2)∵点N(3,−1)，点M(m−2,2m+3)，且直线MN/​/x轴，
∴2m+3=−1，
解得：m=−2．
∴M(−4,−1)，
∴MN=3−(−4)=7．
【解析】(1)根据点在y轴上横坐标为0求解．
(2)根据平行x轴的纵坐标相等求解．
此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，平行于x轴上的点的特征．
16.【答案】解：(1)∵拉力F是重力G的一次函数，
∴设拉力F与重力G的函数解析式为F=kG+b(k≠0)，
则k+b=0.74k+b=1.3，
解得：k=0.7b=0.5，
∴拉力F与重力G的函数解析式为F=0.2G+0.5；
(2)当G=7时，F=0.2×7+0.5=1.9．
∴当物体的重力G=7N时，需要的拉力F的值为1.9N．
【解析】(1)用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)把G=7代入解析式求出F的值即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出一次函数解析式．
17.【答案】解：如图：

(1)PQ即为所求；
(2)PF即为所求．
【解析】(1)根据网格线的特点作图；
(2)根据正方形的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及正方形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：设1支塑料凳子的高度为x cm，每叠放1支塑料凳子高度增加y cm，
根据题意得：x+2y=55x+4y=65，
解得：x=45y=5，
∴x+9y=45+9×5=90(cm)．
答：10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为90cm．
【解析】设1支塑料凳子的高度为x cm，每叠放1支塑料凳子高度增加y cm，根据“3支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65cm”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可求出x，y的值，再将其代入x+9y中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】解：(1)
△ABC的面积是：
3×4−12×1×2−12×2×4−12×2×3=4；
故答案为：4；
(2)(−4,−3)；
(3)∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP=8，
∴点P的横坐标为：2+8=10或2−8=−6，
故P点坐标为：(10,0)或(−6,0)
【解析】此题主要考查了三角形面积求法以及关于原点对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)画出△ABC，，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
(2)利用关于原点对称点的性质得出答案；
(3)利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
解：(1)所画图形见答案，△ABC的面积是：
3×4−12×1×2−12×2×4−12×2×3=4；
故答案为：4；
(2)∵C(4,3)，
∴点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：(−4,−3)；
故答案为：(−4,−3)；
(3)见答案．
20.【答案】(1)证明：∵EF/​/DC，
∠2+∠FCD=180°，
∠1+∠2=180°，
∠1=∠FCD，
∴DH/​/AC，
∴∠A=∠BDH；
(2)解：∵EF/​/DC，∠AEF=30°，
∠ACD=∠AEF=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°，
由(1)知DH/​/AC，
∴∠BHD=∠ACB=60°．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠2+∠FCD=180°，求出∠1=∠FCD，根据平行线的判定得出DH/​/AC，根据平行线的性质得出即可；
(2)根据角平分线的定义以及平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
21.【答案】6 6.8 7 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是6+62=6，则中位数a=6；
b=110×(5+6+6+6+7+7+7+7+8+9)=6.8，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c=7．
故答案为：6，6.8，7；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加决赛．理由如下：
∵甲乙两组学生平均数相同，而S甲2=3.76>S乙2=1.16，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
22.【答案】解：(1)∵直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，
令x=0，则y=4，
∴B(0,4)，
∴OB=4，
令y=0，则−43x+4=0，
解得x=3，
∴A(3,0)，
∴OA=3，
在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2=5；
(2)∵OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8,0)，
设OD=x，则CD=DB=x+4，
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，
即(x+4)2=x2+82，
解得x=6，
∴D(0,−6)；
(3)∵S△PAB=12S△OCD，
∴S△PAB=12×12×6×8=12，
∵点P在y轴上，S△PAB=12，
∴12×BP×OA=12，
即12×3BP=12，
解得BP=8，
∵P点B点上方或B点下方，
∴P点的坐标为(0,12)或(0,−4)．
【解析】(1)先求得点A和点B的坐标，则可得到OA，OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长；
(2)依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD=x，则CD=DB=x+4，在Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D的坐标；
(3)先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵EM平分∠AEF
∴∠AEM=∠FEM，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠FME，
∴AB/​/CD；

(2)①如图2，∵AB/​/CD，β=40°
∴∠AEG=140°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，
∴∠MEH=12∠AEG=70°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°−70°=20°，
即α=20°；
②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α=12β．
证明：∵AB/​/CD，
∴∠AEG=180°−β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，
∴∠MEH=12∠AEG=12(180°−β)，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°−∠MEH=90°−12(180°−β)=12β，
即α=12β；
如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°−12β．
证明：∵AB/​/CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF−∠HEF
=12(∠AEF−∠FEG)
=12∠AEG
=12β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°−∠MEH，
即α=90°−12β．
【解析】(1)依据角平分线，可得∠AEM=∠FEM，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEM=∠FME，进而得出AB/​/CD；
(2)①依据平行线的性质可得∠AEG=130°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=12∠AEG=65°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°−65°=25°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α=12β.当点G在点F的左侧时，α=90°−12β．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
6.8
a
6
3.76
乙组
b
7
c
1.16