初中数学北师大版七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了教案设计

这是一份初中数学北师大版七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了教案设计，共8页。


教学目标
1.让学生能够通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
2.使学生能利用一元一次方程解决简单的图形问题.
教学重难点
重点：分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程解应用题.
难点：从实际问题中抽象出数学模型.
教学过程
复习巩固
（1）长方形的周长= 2(a+b) ，面积= ab ；
长方体的体积= abc .
（2）正方形的周长= 4a ，面积= a2 ；
正方体的体积= a3 .
（3）圆的周长= 2 πr ，圆的面积 = πr2 ；
圆柱的体积= πr2h .
导入新课
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
探究新知
（一）应用一元一次方程解决等积变形问题
对于引入问题的求解：
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径/m
2
1.6
高/m
4
x
体积/m3
π×22×4
π×1.62× x
2.根据表格中的数据，找出等量关系.
旧水箱的容积=新水箱的容积.
3.列出方程并求解.
π×22×4=π×1.62×x，
解得x=6.25.
因此，水箱的高度变成了6.25 m.
总结：形积变化问题中的等量关系
形积变化问题分以下几种情况：
形状发生了变化，体积不变.
其相等关系是变化前物体的体积＝变化后物体的体积.
形状、面积发生了变化，周长不变.
其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长.
(3)形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系.
（二）应用一元一次方程解决图形的等长变化问题
例1 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4 m，则此时长方形的长、宽各是多少米？
(2)若该长方形的长比宽多0.8 m，则此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
解：(1) 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4)m.
根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10，
解得 x =1.8.
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2 m，宽为1.8 m.
(2)设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x+0.8）m.
根据题意，得
(x+0.8+x)×2 =10，
解得 x=2.1.
2.1+0.8=2.9.
此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.9×2.1=6.09(m2).
(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).
（3）设正方形的边长为x m.
根据题意，得(x +x)×2=10，
解得 x=2.5.
正方形的边长为2.5 m.
正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2).
比(2)中面积增大 6.25-6.09=0.16（m2）.
例 2 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.
根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)，
圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2).
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
所以圆的面积大.
答：铁丝的长度为8π m，圆的面积较大.
总结：等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变.
解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程.
面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式，如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等.记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键.
（三）列一元一次方程解应用题的步骤
（1）审——通过审题找出等量关系.
（2）设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
（3）列——依据等量关系列出方程.
（4）解——解方程.
（5）检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
（6）答——写出答案，注意单位名称.
课堂练习
1.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方程为( )
A.2(x＋10)＝10×4＋6×2
B.2(x＋10)＝10×3＋6×2
C.2x＋10＝10×4＋6×2
D.2(x＋10)＝10×2＋6×2
2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是( )
A.20 cm B.24 cm
C.48 cm D.144 cm
3.如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮料瓶的容积为30 cm3，则瓶内现有饮料________cm3.
4.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子上的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾?
参考答案
1.A
2.B
3.24
4.解：设应分配x名工人生产脖子上的丝巾.
根据题意，得1 800(70-x)=2×1 200x，
解得x=30，
70-x=70-30=40.
答:应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾.
课堂小结
布置作业
完成教材习题5.6.
板书设计
第五章 一元一次方程
3 应用一元一次方程——水箱变高了
（一）应用一元一次方程解决等积变形问题
（二）应用一元一次方程解决图形的等长变化问题
（三）列一元一次方程解应用题的步骤
（1）审——通过审题找出等量关系.
（2）设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
（3）列——依据等量关系列出方程.
（4）解——解方程.
（5）检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
（6）答——写出答案，注意单位名称.
教学反思
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